四川省广安代市中学校2021-2022学年高二上学期第三次月考数学（理）试卷
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高二第3次月考
数学（理科）试题
考试时间120分钟 分值150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、圆心为（1,1）且过原点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2、过点（1，2）且与直线y=2x+1垂直的直线的方程为（ ）
A. x+2y-3=0 B. 2x-y+4=0 C. x+2y+3=0 D. x+2y-5=0
3、点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、某校有1700名高一学生，1400名高二学生，1100名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取42名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（ ）
A.高一学生被抽到的概率最大 B.高三学生被抽到的概率最大
C.高三学生被抽到的概率最小 D.每位学生被抽到的概率相等
5、在区间[-1，3]上随机取一个数x，若x满足|x|＜m的概率为0.75，则m=（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6、下列命题正确的是（ ）
A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B. 若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C. 若一条直线平行于两个相交平面的交线，则这条直线与这两个平面都平行
D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交
7、四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）
A. B. C. D.
8、圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 16 D. 18
9、已知c是椭圆（a＞b＞0）的半焦距，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10、若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为（ ）
A. -7 B. -1或-7 C. -6 D.
11、若动点分别在直线：：上移动，则的中点P到原点的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.
12、已知椭圆E:（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l:3x－4y=0交椭圆E于A、B两点；若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题5分，共20 分）
13、直线(1+2q)x+3y+q=0必经过定点______.
14、若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据x1-1，x2-1，…，x10-1的标准差为______．
15、执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 .
16、如下图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正确的有________．（填上所有正确命题的序号）
①AC⊥BD
②AC=BD
③AC∥截面PQMN
④异面直线PM与BD所成的角为45°
三、解答题(共6 小题，17题10分，18-22题每题12分，共70 分)
17、（本小题满分10分）
已知，，，p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围。
18、（本小题满分12分）
甲乙两人各有个材质、大小、形状完全相同的小球，甲的小球上面标有5,6,7,8四个数字，乙的小球上面标有1,2,3,4四个数字.把各自的小球放入两个不透明的口袋中，两人同时从各自的口袋中随机摸出个小球.规定：若甲摸出的小球上的数字是乙摸出的小球上的数字的整数倍，则甲获胜，否则乙获胜.
（1）写出基本事件空间；
（2）你认为“规定”对甲、乙二人公平吗？说出你的理由.
19、（本小题满分12分）
已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0，其中m∈R．
（1）若m=1，求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．
20、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E是PD的中点，AB=2，PA=3．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求证：CD⊥AE；
21、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面是等边三角形，已知．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．
22、（本小题满分12分）
已知点与点关于原点对称,直线相交于点,且它们的斜率之积为.设点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程.
（Ⅱ）过点作斜率为的直线交曲线于两点,求弦的长.
理科数学
一、选择
1-5 CDBDC 6-10DBBDA 11-12 BA
二、填空
13、(-1/2,-1/6) 14、8 15、2 16、①③④
三、解答
18、解：（1）用表示发生的事件，其中甲摸出的小球上的数字为，乙摸出的小球上的数字为.则基本事件空间:
（2）由上一问可知，基本事件总数个，设甲获胜的事件为,它包括的基本事件有
共含有基本事件个数.------8分
所以.----------------------10分
乙获胜的概率.显然.
所以，甲乙获胜的概率相等，这个规定是公平的. ---------------------12分
19、
解:(1)m=1，配方得(x-1)2+(y-2)2=4，圆心到直线的距离为
所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为2=2 -----4分
（2）设M（x1，y1）、 N（x2，y2），
直线代入圆的方程得5x2-8x+4（m-4）=0， -----6分
因为Δ=(-8)2-4×5×4(m-4)>0即m<4
所以x1+x2=，x1x2= ---------------8分
因为OM⊥ON，所以x1x2+y1y2=0，
所以×-+4=0， ------------10分
所以m=，此时△＞0符合题意，所以m的值为.-----12分
20、 解法一：（坐标法）
证明：（1）如图，由已知得AB、AD、AP两两垂直，
以A为坐标原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，3），
∵点E是PD的中点，∴点E的坐标为E(0,1,)，
∴, ．
设平面EAC的法向量为，
由，得，令x=1，得，
又，
∴，∴，
∵PB⊄平面EAC，∴PB∥平面EAC．
（2）∵，
∴，
∴CD⊥AE．
21、解：（1）证明：在中，由于，，，
所以
故
又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面。
（2）过作交于O，
由于平面平面，
所以平面
因此为四棱锥的高，
又是边长为4的等边三角形
因此
在底面四边形中，，，
所以四边形是梯形，
在中，斜边边上的高为，
此即为梯形的高，
所以四边形的面积为
故。
22、解：（1）（本小问6分）由题意得，设，……………………………1分
则， ……………………………3分
化简曲线的方程： …………………6分（无条件扣1分）
（2）（本小问6分）
设,据题意得直线：……………………7分
由得
，……………………10分
=
所以弦的长为……………………12分
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