广东省广州市荔湾区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编 3解答题

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广东省广州市荔湾区区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编 03 解答题
三、解答题
50．（2021·广东广州·九年级期末）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，
求证：△ABC∽△ADE

51．（2021·广东广州·九年级期末）为了提高足球基本功，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
52．（2021·广东广州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC

（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
53．（2021·广东广州·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E.
(1)求证：BC是⊙D的切线；
(2)若AB＝5，BC＝13，求CE的长．

54．（2021·广东广州·九年级期末）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元．
（1）商店若想获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（2）用含x的代数式表示商店获得的利润W元，并计算商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少元？
55．（2021·广东广州·九年级期末）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例（k为常数，且k≠0）的图象交于A(1，a)，B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．

56．（2021·广东广州·九年级期末）已知ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．
（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式 ；
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．

57．（2021·广东广州·九年级期末）如图，抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+AD的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L：y＝x2﹣x﹣3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式．

58．（2020·广东广州·九年级期末）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．

（1）画出关于点O成中心对称的，并写出点B1的坐标；
（2）求出以点B1为顶点，并经过点B的二次函数关系式.
59．（2020·广东广州·九年级期末）如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．

60．（2020·广东广州·九年级期末）两会期间，记者随机抽取参会的部分代表，对他们某天发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据回答下列问题：

发言次数n
A
0≤n＜3
B
3≤n＜6
C
6≤n＜9
D
9≤n＜12
E
12≤n＜15
F
15≤n＜18

（1）求得样本容量为　 　，并补全直方图；
（2）如果会议期间组织1700名代表参会，请估计在这一天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发表提议的代表中恰有1为女士，E组发表提议的代表中只有2位男士，现从A组与E组中分别抽一位代表写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位代表恰好都是男士的概率．

61．（2020·广东广州·九年级期末）学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

62．（2020·广东广州·九年级期末）如图，正方形ABCD，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线AC（不含点A）上任意一点，将线段AM绕点A逆时针旋转60°得到AN，连接EN、DM．求证：EN＝DM．

63．（2020·广东广州·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）尺规作图：作出⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC为⊙O的切线．

64．（2020·广东广州·九年级期末）如图，在四边形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A（5，0），B（2，6），点D为AB上一点，且，双曲线y1＝（k1＞0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）一次函数y2＝k2x+b经过D、E两点，结合图象，写出不等式＜k2x+b的解集．

65．（2020·广东广州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y＝x2从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动．
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为m．
①用含m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；
（3）当线段PB最短时，平移后的抛物线上是否存在点Q，使S△QMA＝2S△PMA，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

66．（2020·广东广州·九年级期末）如图①，A（﹣5，0），OA＝OC，点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0）．
（1）求B、C坐标；
（2）求证：BA⊥AC；
（3）如图②，将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，连接DC，问：∠BDC的角平分线DE，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

67．（2022·广东广州·九年级期末）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．
68．（2022·广东广州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，A（1，0）、B（2，﹣2），C（4，﹣1）．将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1．

(1)画出△A1B1C1；
(2)求点C在旋转过程中运动的路径长．（结果保留π）
69．（2022·广东广州·九年级期末）如图所示，⊙O的弦BD，CE所在直线相交于点A，若AB＝AC，求证：BD＝CE．

70．（2022·广东广州·九年级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)结合图形，求y＞0时自变量x的取值范围．
71．（2022·广东广州·九年级期末）一只箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率．
72．（2022·广东广州·九年级期末）受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米．
(1)求房价年平均下降率；
(2)按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？
73．（2022·广东广州·九年级期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E．

(1)求作⊙O，并标出点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接CE，求证：CE平分∠BCD；
(3)若BC＝5，AB＝6，求CD的长．
74．（2022·广东广州·九年级期末）已知抛物线G：y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1（m≠0）经过定点A，直线l：y＝kx+b经过点A和抛物线G的顶点B．
(1)求点A的坐标；
(2)求直线l的解析式；
(3)已知点P为抛物线G上的一点，且△PAB的面积为2．若满足条件的点P有且只有3个，求抛物线的顶点B的坐标．
75．（2022·广东广州·九年级期末）如图1，ABCD是边长为4的正方形，以B为圆心的⊙B与BC，BA分别交于点E，F，还接EF，且EF＝4．

(1)求BE的长；
(2)在平面内将图1中△BEF绕点B顺时针旋转360°，在旋转的过程中，
①求∠CDE的取值范围；
②如图2，取DE的中点G，连接CG并延长交直线DF于点H，点P为正方形内一动点，试求PH+PA+PB的最小值．

【答案】
50．证明见解析
【分析】已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出∠DAE=∠BAC，即可得出结论．
【详解】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
∵∠AED=∠C，
∴△ABC∽△ADE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键.
51．（1）见解析；（2）球回到乙脚下的概率大
【分析】（1）根据题意画出树状图即可；
（2）根据（1）的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解，分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可．
【详解】（1）根据题意画出树状图如下：

由树形图可知三次传球有8种等可能结果；
（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率==；传到乙脚下的概率=，
所以球回到乙脚下的概率大．
【点睛】考点：列表法与树状图法．
52．（1）；（2）（2）或．
【分析】（1）.首先求出点A的坐标，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式求出解析式；
（2）.首先求出△ABC的面积，然后根据面积相等求出点P的坐标.
【详解】解（1）.将x=2代入y=2x中，得y=4．
∴点A坐标为(2,4)  
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×4=8
∴反比例函数的解析式为y=
（2）.关于原点对称，


设


经检验：是原方程的解且符合题意，
P(1,8)或P(－1，－8)
53．（1）证明详见解析；（2）．
【分析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得到AD=DF．根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到AB=FB．根据和勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BAD=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=DF．
∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，
∴BC是⊙D的切线；
（2）解：∵∠BAC=90°．
∴AB与⊙D相切，
∵BC是⊙D的切线，
∴AB=FB．
∵AB=5，BC=13，
∴CF=13-5=8，AC=12．
在Rt△DFC中，
设DF=DE=r，则，
解得：r=．
∴CE=．

【点睛】题目主要考查切线的判定、圆周角定理、角平分线的性质定理，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
54．（1）每个定价为70元，应进货200个；（2）W＝﹣10（x﹣15）2+6250，每个定价为65元时获得最大利润，可获得的最大利润是6250元
【分析】（1）总利润＝每个的利润×销售量，销售量为（400﹣10x）个，列方程求解，根据题意取舍；
（2）利用函数的性质求最值．
【详解】解：（1）根据题意得：（50﹣40+x）（400﹣10x）＝6000，
解得：x1＝10，x2＝20，
当x＝10时，400﹣10x＝400﹣100＝300，
当x＝20时，400﹣10x＝400﹣200＝200，
要使进货量较少，则每个定价为50+20＝70元，应进货200个．
答：每个定价为70元，应进货200个．
（2）根据题意得：W＝（50﹣40+x）（400﹣10x）＝﹣10x2+300x+4000＝﹣10（x﹣15）2+6250，
当x＝15时，y有最大值为6250．
所以每个定价为65元时获得最大利润，可获得的最大利润是6250元．
【点睛】一元二次方程和二次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据每个小家电利润×销售的个数=总利润列出方程是解题的关键．
55．（1），B(3，1)；（2）①P(，0)；②M(4，0)
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小；
（3）直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大，令y＝0，求得x的值，即可求得M的坐标．
【详解】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，得a＝3，
∴A（1，3），
把点A（1，3）代入反比例y＝，得k＝3，
∴反比例函数的表达式y＝，
联立，解得：或，
故B（3，1）．
（2）①作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小
∴D（3，﹣1）
设直线AD的解析式为y＝mx+n，则，解得，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，令y＝0，则x＝，
∴P点坐标为（，0）；
②直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大，
令y＝0，则x＝4，
∴M点的坐标为（4，0）．

【点睛】本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．
56．（1）AB+AC＝AD；（2）AB+AC＝AD，理由见解析；（3）
【分析】（1）在AD上截取AE＝AB，连接BE，由条件可知△ABE和△BCD都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得DE＝AC，则AB+AC＝AD；
（2）延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，证明△MBD≌△ACD，可得MD＝AD，证得AB+AC＝AD；
（3）延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，证明△NBD≌△ACD，可得ND＝AD，∠N＝∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得，可由AN＝AB+AC，求出的值．
【详解】解：（1）如图①，在AD上截取AE＝AB，连接BE，

∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，
∴△ABE和△BCD都是等边三角形，
∴∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC，
又∵AB＝BE，BC＝BD，
∴△BED≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC，
∴AD＝AE+DE＝AB+AC；
故答案为：AB+AC＝AD．
（2）AB+AC＝AD．理由如下：
如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，

∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠MBD＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△MBD≌△ACD（SAS），
∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，
∴MD⊥AD．
∴AM＝AD，即AB+BM＝AD，
∴AB+AC＝AD；
（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，

∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠NBD＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴△NBD≌△ACD（SAS），
∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，
∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，
∴△NAD∽△CBD，
∴，
∴，
又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝m，BD＝n，
∴＝．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题．
57．（1）AB解析式为y=x-3，抛物线顶点坐标为；（2）点P的坐标为，PD+AD的最大值为；（3）．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式，通过配方法可求顶点坐标；
（2）CD=ADsin∠BAO=AD，则PD+AD=PD+DC=PC为最大，即可求解；
（3）设点M（x1，y1），点N（x2，y2），则x1+x2=2（m+），而点A是MN的中点，故x1+x2=8，进而求解．
【详解】解：（1）∵抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，
令，则
解得：
令 则
∴点A（4，0），点B（0，-3），
设直线AB解析式为：y=kx-3，
∴0=4k-3，
∴k=，
∴直线AB解析式为：y=x-3①，
∵ y＝x2﹣x﹣3=，
∴抛物线顶点坐标为；
（2）∵点A（4，0），点B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=，
则sin∠BAO=，则CD=ADsin∠BAO=AD，
则PD+AD=PD+DC=PC为最大，
当点P为抛物线顶点时，PC最大，
故点P的坐标为
则PD+AD的最大值=PC为最大，最大值为；
（3）设平移后的抛物线L'解析式为②，
联立①②并整理得：，
设点M（x1，y1），点N（x2，y2），
∵直线AB与抛物线L'交于M，N两点，
∴x1，x2是方程的两根，
∴x1+x2=，
∵点A是MN的中点，
∴x1+x2=8，
∴，
∴m=，
∴平移后的抛物线L'解析式为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、解直角三角形、根与系数关系、中点坐标公式等知识，综合性强，难度适中．
58．（1）图见解析，点；（2）.
【分析】(1) 先由条件求出A点的坐标, 再根据中心对称的性质求出、 的坐标, 最后顺次连接、, △OAB关于点O成中心对称的△就画好了,可求出B1点坐标.
(2) 根据 (1) 的结论设出抛物线的顶点式, 利用待定系数法就可以直接求出其抛物线的解析式.
【详解】（1）如图，点.

（2）设二次函数的关系式是，
 把（4，2）代入上式得，，
即二次函数关系式是.
【点睛】本题主要考查中心对称的性质，及用待定系数法求二次函数的解析式，难度不大.
59．证明见解析
【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB∽△EAC．
【详解】证明：∵AD•AC＝AB•AE，
∴，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，正确理解三角形相似的判定定理是本题解题的关键．
60．（1）50，补图见解析；（2）306人；（3）．
【分析】（1）根据统计图可以求得本次调查的人数以及发言为和的人数，从而可以将直方图补充完整；
（2）根据统计图中的数据可以估计在这一天里发言次数不少于12次的人数；
（3）根据题意可以求得发言次数为和的人数，从而可以画出树状图，得到所抽的两位代表恰好都是男士的概率．
【详解】解：（1）由统计图可得，
本次调查的人数为：10÷20%＝50，
发言次数为C的人数为：50×30%＝15，
发言次数为F的人数为：50×（1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣8%）＝50×10%＝5，
故答案为：50，
补全的直方图如图所示，

（2）1700×（8%+10%）＝306，
即会议期间组织1700名代表参会，在这一天里发言次数不少于12次的人数是306；
（3）由统计图可知，
发言次数为A的人数有：50×6%＝3，
发言次数为E的人数有：50×8%＝4，
由题意可得，

故所抽的两位代表恰好都是男士的概率是，
即所抽的两位代表恰好都是男士的概率是．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、总体、个体、样本、样本容量、频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
61．（1）y＝﹣2x2+30x；6≤x＜15；（2）当x＝7.5时，y的最大值是112.5．
【分析】（1）利用矩形的面积公式，列出面积y关于x的函数解析式，即可求解；
（2）根据自变量的取值范围和函数的对称性确定函数的最大值即可．
【详解】解：（1）由题意可得，y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，
即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+30x；
∵墙的长度为18，
∴0＜30﹣2x≤18，
解得，6≤x＜15，
即x的取值范围是6≤x＜15；
（2）由（1）知，y＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+，
而6≤x＜15，
∴当x＝7.5时，y取得最大值，此时y＝112.5，
即当x＝7.5时，y的最大值是112.5．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到函数关系式，然后利用二次函数的性质进行求解即可．
62．证明见解析
【分析】利用等边三角形的性质以及旋转的性质，即可判定△EAN≌△DAM（SAS），依据全等三角形的对应边相等，即可得到EN＝DM．
【详解】证明：∵△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，BA＝EA，
由旋转可得，∠MAN＝60°，AM＝AN，
∴∠BAE＝∠MAN，
∴∠EAN＝∠BAM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝DA，∠BAM＝∠DAM＝45°，
∴EA＝DA，∠EAN＝∠DAM，
在△EAN和△DAM中，
EA＝DA．∠EAN=∠DAM，AN=AM，
∴△EAN≌△DAM（SAS），
∴EN＝DM．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握旋转图形的性质和全等三角形的判定和性质.
63．（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上，作AD的垂直平分线，与AB的交点即为所求；
（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线．
【详解】解：（1）如图所示，⊙O即为所求；

（2）证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC．
又∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线．
【点睛】本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
64．（1）；（2）＜x＜4．
【分析】（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN＝2，AN＝1，则ON＝OA﹣AN＝4，得到D点坐标为（4，2），然后把D点坐标代入反比例函数表达式中，求出k的值即可得到反比例函数解析式；
（2）观察函数图象即可求解．
【详解】解：（1）过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图，

∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），
∴BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴，即，
解得：DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA﹣AN＝4，
∴D点坐标为（4，2），
把D（4，2）代入y1＝得，k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为；
（2）由（1）知，点D的坐标为（4，2）；
对于，当y＝6时，即6＝，解得x＝，故点E（，6）；
从函数图象看，＜k2x+b时，x的取值范围为＜x＜4，
故不等式＜k2x+b的解集为＜x＜4．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的关系及相似三角形的判定与性质，关键是根据题意及相似三角形的性质与判定得到反比例函数的解析式，然后利用反比例函数与一次函数的关系进行求解即可．
65．（1）y＝2x；（2）①点P的坐标为（2，m2﹣2m+4）；②当m＝1时，线段PB最短；（3）点Q坐标为（2+，6+2）或（2﹣，6﹣2）．
【分析】（1）根据点A坐标，用待定系数法求出直线OA的解析式；
（2）①因为点M在线段OA所在直线上，可表示出M的坐标，然后用顶点式表示出二次函数解析式，代入可求出点P坐标；
②对线段PB的长度用完全平方公式可表示出最小值即可；
（3）本题关键是如何表示出△QMA的面积，通过设点Q的坐标可求出△QMA的面积，最终通过解方程可得Q的坐标．
【详解】解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y＝2x，
∵A（2，4），
∴2k＝4⇒k＝2，
∴OA所在直线的函数解析式为y＝2x；
（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y＝2m（0≤m≤2），
∴顶点M的坐标为（m，2m），
∴抛物线函数解析式为y＝（x﹣m）2+2m，
∴当x＝2时，y＝（2﹣m）2+2m＝m2﹣2m+4（0≤m≤2），
∴点P的坐标为（2，m2﹣2m+4）；
②∴|PB|＝|m2﹣2m+4|＝|（m﹣1）2+3|，
∵（m﹣1）2+3≥3，当且仅当m＝1时取得最小值，
∴当m＝1时，线段PB最短；
（3）由（2）可得当线段PB最短时，此时点M坐标为（1，2），抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2＝x2﹣2x+3，
假设抛物线上存在点Q使S△QMA＝2S△PMA，设点Q坐标为（a，a2﹣2a+3），
∴S△PMA ==，
要想符合题意，故S△QMA＝1，
∴|MA|＝=，
设点Q到线段MA的距离为h，
∴h＝，
∴S△QMA==1，即＝2，
即＝2或=﹣2，
解得a＝或a＝，
∴点Q坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题考查求函数解析式和抛物线的知识，会用待定系数法求函数解析式，对抛物线的性质的运用，是解决本题的关键．
66．（1）点B（3，4），点C（﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析．
【分析】（1）由中心对称的性质可得OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），由两点距离公式可求a的值，即可求解；
（2）由两点距离公式可求AB，AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理可求解；
（3）由旋转的性质可得DO＝BO＝CO，可得△BCD是直角三角形，以BC为直径，作⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC＝∠CDE＝45°＝∠BDE＝∠BCH，可证CH＝BH，∠BHC＝90°，由两点距离公式可求解．
【详解】解：（1）∵A（﹣5，0），OA＝OC，
∴OA＝OC＝5，
∵点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0），
∴OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），
∴5＝，
∴a＝3，
∴点B（3，4），
∴点C（﹣3，﹣4）；
（2）∵点B（3，4），点C（﹣3，﹣4），点A（﹣5，0），
∴BC＝10，AB＝4 ，AC＝2，
∵BC2＝100，AB2+AC2＝80+20＝100，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC；
（3）过定点，
理由如下：
∵将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，
∴CO＝DO，
又∵CO＝BO，
∴DO＝BO＝CO，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
如图②，以BC为直径，作⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，

∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE＝45°，
∴∠HBC＝∠CDE＝45°＝∠BDE＝∠BCH，
∴CH＝BH，∠BHC＝90°，
∵BC＝10，
∴BH＝CH＝5，OH＝OB＝OC＝5，
设点H（x，y），
∵点H在第四象限，
∴x＜0，y＞0，
∴x2+y2＝25，（x﹣3）2+（y﹣4）2＝50，
∴x＝4，y＝3，
∴点H（4，﹣3），
∴∠BDC的角平分线DE过定点H（4，3）．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
67．x1＝﹣1，x2＝3．
【分析】先把方程左边分解，原方程转化为x+1＝0或x﹣3＝0，然后解一次方程即可．
【详解】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：配方法、公式法和因式分解法．三种方法均可解出方程的根，这里选用的是因式分解法．
68．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据坐标系，以及网格的特点，找到A（1，0）、B（2，﹣2），C（4，﹣1）绕坐标原点O顺时针旋转90°的对应点，再顺次连接，则△A1B1C1即为所求；
（2）根据旋转的性质可知旋转角度为，半径为的长度，勾股定理求得，进而根据弧长公式求解即可
(1)
找到A（1，0）、B（2，﹣2），C（4，﹣1）绕坐标原点O顺时针旋转90°的对应点，再顺次连接，则△A1B1C1即为所求，如图，

(2)
根据题意旋转角为，则在旋转过程中运动的路径为为半径，为圆心角的弧，连接，则
则在旋转过程中运动的路径长为：
【点睛】本题考查了坐标系中画旋转图形，根据旋转的性质求旋转角，以及弧长，掌握旋转的性质以及弧长计算公式是解题的关键．
69．见详解
【分析】如图，连接DE，BC．证明∠ADE=∠AED，推出AD=AE，可得结论．
【详解】证明：如图，连接DE，BC．

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE+∠EDB=180°，∠C+∠EDB=180°，
∴∠ADE=∠C，
同法可证，∠AED=∠B，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴BD=EC．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明AD=AE．
70．(1)
(2)或

【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可；
（2）根据解析式令，求得点的坐标，进而根据抛物线与轴的交点结合函数图象即可求得y＞0时自变量x的取值范围．
(1)
解：将点代入抛物线y＝x2+bx+c，得

解得
则抛物线的解析式为：
(2)
由抛物线的解析式，令
即
解得

，，且抛物线开口向上，
y＞0时自变量x的取值范围为或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数图象求自变量的范围，数形结合是解题的关键．
71．（1）P（摸出白球）= ；（2）P（两次摸出白球）
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式，即可求解．
【详解】解：（1）P（摸出白球）=
(2)根据题意画出树状图，如下：

共有6种等可能的结果，其中两次摸出白球有2种结果
所以P（两次摸出白球）．
【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，能利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题的关键．
72．(1)10%
(2)

【分析】（1）设年平均下降率为，可得今年的房价＝去年的房价×（1-x），去年的房价＝前年的房价×（1-x），由此列方程求解即可．
（2）由（1）得年平均下降率为10%，根据题意计算即可．
(1)
设年平均下降率为，根据题意，得.
解得，（不合题意，舍去），
答：年平均下降率10%；
(2)
（元），
答：按照这个平均下降率，预计下一年房价每平方米元．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
73．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）按题意作出的中点，以O为圆心，OC为半径画圆即可；
（2）由等腰三角形的性质得出，由切线的性质得出，证出，由平行线的性质可得出结论；
（3）证出，连接，设，则，由勾股定理得出，求出的值，则可得出答案．
(1)
解：如图，

(2)
证明：连接CE，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
即平分；
(3)
解：∵OE⊥AB，∠A=∠B=90°，
∴，
∴,
∵为的中点，
∴E为AB中点，
为梯形的中位线，
，
，
连接，

为的直径，
，
四边形为矩形，
，
设，
，
，
，
解得，
，
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了尺规作图，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解是解题的关键．
74．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）解析式变形为，即可求得定点为；
（2）把抛物线化成顶点式，可得出点的坐标，利用待定系数法可解；
（3）过点作轴，交于点，设点，，由（2）可知，直线的解析式为：，，分两种情况讨论计算当时，得到的值，再根据的面积求出的值，令两者相等，求得即可；当时，思路同．
(1)
解：

，
时，，
定点；
(2)
，
顶点，，
将点和点代入解析式中，，
解得，
直线的解析式为：；
(3)
①当时，过点作轴，交于点，如图，

设点，，
由（2）可知，直线的解析式为：，
，
的面积为2，满足条件的点有且只有3个，
在直线的下方的点只有1个，即最大，
，
，
当时，有最大值，
，
，即，
，解得，
，
，
，
；
②当时，过点作轴，交于点，如图，

在直线的上方的点只有1个，即最大，
，
，
当时，有最大值，
，
，即，
，解得，
，
，
，
；
综上，或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数表达式，三角形的面积问题等知识，第（3）问注意需要分类讨论．也可以不分类讨论，线段的长加绝对值即可．
75．(1)
(2)①15゜≤∠CDE≤75゜②

【分析】（1）由△BEF是等腰直角三角形及勾股定理得BE的长；
（2）①当DE分别为⊙B的切线时，∠CDE最大或最小，由BD=2BE1即可求得∠E1DB为30度，从而解决；
②延长DC到 ，使，连接BD，，首先可以证明，则可看成是△BDF绕点B顺时针旋转90度得到的，则；再证明∠DHC=90゜，取CD中点O，连接OH，将△APB绕点A顺时针旋转60゜得到，连接，当点H、P、、 四点共线时，PA+PB+PH=，再求出的长度即可解决．
（1）
∵四边形ABCD是正方形
∴∠B=90゜
∵BE=BF
∴△BEF是等腰直角三角形
由勾股定理得：
即
∴
（2）
①如图，连接BD
当DE分别为⊙B的切线时，∠CDE最大或最小

∵BD为正方形的对角线
∴
当点E移动到位置时，∠CDE最小
在中，BD=2BE1
∴
∴
当点E移动到位置时，∠CDE最大
同理可计算得
∴15゜≤∠CDE≤75゜
②延长DC到 ，使，连接BD，，如图

则是等腰直角三角形
∴，
∵△BEF是等腰直角三角形
∴ BF=BE，∠FBE=90゜
∴
∴
∴可看成是△BDF绕点B顺时针旋转90度得到的
∴
∵G、C分别为DE、的中点
∴GC为的中位线
∴
∴CG⊥DF
即∠DHC=90゜
取CD的中点O，连接OH，则
将△APB绕点A顺时针旋转60゜得到，连接，
∴，，
∴是等边三角形，故有PA=
∵
∴
当点H、P、、 四点共线时，PH+PA+PB取得最小值，且最小值为
∵
∴是等边三角形
∴ ，
连接OA、OB，则可得OA=OB
∵
∴
∴
∴
设交AB于点M，在中，
∴
∴
即PH+PA+PB最小值为
【点睛】本题是一个综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到临界状态及旋转△APB是问题的关键与难点．