高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.3 复数乘法几何意义初探同步训练题

第五章　2.2、2.3

A　组·素养自测

一、选择题

1．(2020·郑州高二检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在(　A　)

A．第一象限　 B．第二象限

C．第三象限　 D．第四象限

[解析]　∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，

∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．

2．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝(　C　)

A．0 B．1

C． D．2

[解析]　因为＝i，所以z＝，

所以z＋1＝＋1＝＝1－i，所以|z＋1|＝.

3．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2等于(　C　)

A．－1＋i B．－1－i

C．1＋i D．1－i

[解析]　＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.

4．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(　C　)

A．－2 B．4

C．－6 D．6

[解析]　∵＝＝为纯虚数，∴∴a＝－6.

5．(2019·全国Ⅲ卷理，2)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　D　)

A．－1－i B．－1＋i

C．1－i D．1＋i

[解析]　由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D．

6．已知复数z满足z(3＋i)＝3＋i2 020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为(　D　)

A．－i B．－

C． D．

[解析]　z＝＝＝＝.

所以＝＋i.

二、填空题

7．(2020·浦东新区一模)已知i是虚数单位，复数z满足z·(1＋i)＝1，则|z|＝  .

[解析]　∵复数z满足z·(1＋i)＝1，

∴z(1＋i)(1－i)＝1－i，

化为4z＝1－i，

即z＝－i，

∴|z|＝＝.

故答案为.

8．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝  .

[解析]　∵z1(1－i)＝3－i，

∴z1＝＝＝2＋i，

∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，

∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.

9．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝  .

[解析]　将x＝1＋2i代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，

即(－3－m＋2n)＋(4－2m)i＝0.

由复数相等的充要条件，

得解得

故m＋n＝2＋＝.

三、解答题

10．计算：

(1)；

(2)；

(3)6＋.

[解析]　(1)＝＝－1－3i.

(2)＝＝＝＝＋i.

(3)6＋＝6＋＝i6＋i＝－1＋i.

B　组·素养提升

一、选择题

1．若z＝4＋3i，则＝(　D　)

A．1 B．－1

C．＋i D．－i

[解析]　|z|＝＝5，＝4－3i，则＝－i.

2．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于(　C　)

A．{－1} B．{1}

C．{1，－1} D．∅

[解析]　A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i,1}．∴A∩B＝{－1,1}．故选C．

3．(2020·长安一中质检)设z＝＋i(i是虚数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝(　C　)

A．6z B．6z2

C．6 D．－6z

[解析]　z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋＋6＝3－3i＝6＝6.

4．(多选)设f(n)＝n＋n(n∈N)，则集合{x|x＝f(n)}的元素有(　ABC　)

A．2 B．0

C．－2 D．1

[解析]　f(n)＝in＋(－i)n，当n＝4k(k∈N)时，f(n)＝2；当n＝4k＋1(k∈N)时，f(n)＝0；当n＝4k＋2(k∈N)时，f(n)＝－2；当n＝4k＋3(k∈N)时，f(n)＝0.所以集合中共有－2,0,2这3个元素．

二、填空题

5．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是 －2 .

[解析]　(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2.

6．(2020·青岛高二检测)若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝ 1 .

[解析]　因为(3－4i)z＝4＋3i，

所以z＝＝＝＝i.则|z|＝1．

三、解答题

7．已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1．

(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；

(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．

[解析]　设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．

(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.

因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a.

由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，

解得－≤a≤，

即z1的实部的取值范围是.

(2)ω＝＝

＝＝－i.

因为a∈，b≠0.所以ω为纯虚数．

8．已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位．

(1)求复数z和|z|；

(2)若复数z1＝＋－i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则z＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，所以b＋2＝0，

即b＝－2.

又＝＝＝＋i为实数，

所以＝0，所以a＝－2b.

又b＝－2，所以a＝4，所以z＝4－2i，

所以|z|＝＝2.

(2)z1＝＋－i＝4＋＋i＝＋i.

因为z1在复平面内对应的点位于第四象限，

所以，解得－2<m<或1<m<，

所以实数m的取值范围为∪.