高考数学(理数)一轮复习学案6．4《数列求和及应用》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案6．4《数列求和及应用》(含详解)，共22页。

6．4　数列求和及应用



1．数列求和方法
(1)公式法
(Ⅰ)等差数列、等比数列前n项和公式．
(Ⅱ)常见数列的前n项和：
①1＋2＋3＋…＋n＝ ；
②2＋4＋6＋…＋2n＝ ；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ ；
④12＋22＋32＋…＋n2＝ ；
⑤13＋23＋33＋…＋n3＝．
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法．
(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．
常见的裂项公式：
①＝ －；
②＝
；
③＝
；
④＝ (－)；
⑤＝ －；
⑥C＝ ；
⑦n·n！＝ ！－n！；
⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
2．数列应用题常见模型
(1)单利公式
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ ．
(2)复利公式
利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ ．
(3)产值模型
原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝ ．
(4)递推型
递推型有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类．
(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等．

自查自纠：
1．(1)①　②n2＋n　③n2　④
(5)①　②　③　④　⑤
⑥C－C　⑦(n＋1)
2．(1)a(1＋xr)　(2)a(1＋r)x　(3)N(1＋p)x


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
数列{1＋2n－1}的前n项和为 (　　)
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
解：由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1．故选C．
＋＋＋…＋的值为 (　　)
A． B．－
C．－ D．－＋
解：因为＝＝＝，所以＋＋＋…＋＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝＝－．故选C．
若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n＋1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a2 020＝ (　　)
A．－3 030 B．3 030 C．－3 033 D．3 033
解：a1＋a2＋…＋a2 020＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 019＋a2 020)＝(1－4)＋(7－10)＋…＋[(3×2 019－2)－(3×2 020－2)]＝(－3)×1 010＝－3 030．故选A．
在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 020＝________．
解：由题意得a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，a5＝－＝－，所以数列{an}是周期为3的周期数列，且a1＋a2＋a3＝1－－2＝－，
所以S2 020＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＝673×＋1＝－．故填－．
有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒．
解： 设至少需要n秒，则1＋2＋22＋…＋2n－1≥100，即≥100，所以n≥7．故填7．


类型一　基本求和问题
　(1)1＋＋＋…＋＝________．
解：设an＝1＋＋＋…＋＝＝2＝2－，分组求和可得数列{an}的前n项和Sn＝2n－＝2n－2＋，则S21＝2×21－2＋＝40＋．故填40＋．
(2)1＋＋＋…＋＝________．
解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则an＝＝2，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[＋＋…＋]＝2＝．故填．
(3)设f(x)＝，求：f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．
解：因为f(x)＝，所以f(x)＋f＝1．
令S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)，①
则S＝f(2 017)＋f(2 016)＋…＋f(1)＋f＋…＋f＋f()，②
①＋②得：2S＝1×4 033＝4 033，所以S＝．
(4)求和：Sn＝＋＋＋…＋．
解：(Ⅰ)当a＝1时，Sn＝1＋2＋…＋n＝．
(Ⅱ)当a≠1时，Sn＝＋＋＋…＋，①
Sn＝＋＋…＋＋，②
由①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝
－，所以
Sn＝．
综上所述，
Sn＝

点　拨：
研究通项公式是数列求和的关键．数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法．

　(1)数列9，99，999，…的前n项和Sn＝________．
解：Sn＝9＋99＋999＋…＋99…9n个
＝(101－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n－1)
＝(101＋102＋103＋…＋10n)－n
＝－n＝－n．
故填－n．
(2)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，数列{bn}的前n项和记为Sn，则S2 019＝________．
解：由条件得到数列{an}的通项为an＝＝，则an＋1＝，所以bn＝＝＝4，则Sn＝4(1－＋－＋…＋－)＝4＝，将n＝2 019代入得到S2 019＝．故填．
(3)求sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值．
解：令Sn＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，①
则Sn＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°
＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°．②
①与②两边分别相加得2Sn＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89．
所以Sn＝．
(4)已知an＝，求{an}的前n项和Tn．
解：Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋，②
①－②得
Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋－＝－－，
所以Tn＝－－＝－．
类型二　可用数列模型解决的实际问题
　用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%．若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付________万元．
解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{an}，
故a1＝100＋2 000×0．01＝120(万元)，
a2＝100＋(2 000－100)×0．01＝119(万元)，
a3＝100＋(2 000－100×2)×0．01＝118(万元)，
a4＝100＋(2 000－100×3)×0．01＝117(万元)，
…
an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0．01＝121－n(万元) (1≤n≤20，n∈N*)．
因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列．
故a10＝121－10＝111(万元)．故填111．

点　拨：
将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：审题、建模、求解、检验、作答．增长率模型是比较典型的等比数列模型，实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常利用增长率模型加以解决．
　　
　某气象学院用3．2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了
(　　)
A．600天 B．800天 C．1 000天 D．1 200天
解：设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋＋4．95，当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800．故选B．
类型三　数列综合问题
　()设数列{an}是公差大于0的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝9，且2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＝2n－1(n∈N*)，设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜6．
解：(1)设数列{an}的公差为d，则d＞0．
因为S3＝9，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝9，即a2＝3．
因为2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列，所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，
所以d＝2．所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－1．
(2)证明：因为＝2n－1(n∈N*)，
所以bn＝＝(2n－1)，
所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)× ，　①
所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，　②
由①②两式相减得
Tn＝1＋2×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝1＋－＝3－－，整理化简得Tn＝6－．
又因为n∈N*，所以Tn＝6－＜6．

点　拨：
数列的综合问题大都是建立在数列概念、等差等比数列及数列求和基础上的与函数、不等式等知识的综合应用，要牢记数列是特殊函数，如单调性放缩技巧．

　()Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28．记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0．9]＝0，[lg99]＝1．
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
解：(1)设{an}的公差为d，S7＝7a4＝28，
所以a4＝4，所以d＝＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n．
所以b1＝[lga1]＝[lg1]＝0，b11＝[lga11]＝[lg11]＝1，b101＝[lga101]＝[lg101]＝2．
(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000
＝[lga1]＋[lga2]＋…＋[lga1 000]．
当0≤lgan<1时，n＝1，2，…，9；
当1≤lgan<2时，n＝10，11，…，99；
当2≤lgan<3时，n＝100，101，…，999；
当lgan＝3时，n＝1 000．
所以T1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝ 1 893．

1．数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用．数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项．通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一．
2．对于一般数列的求和问题，应先观察数列通项的结构特征，再对通项公式进行化简变形，改变原数列的形式，尽可能将其转化为等差数列、等比数列等常见数列，从而达到求和的目的．
3．等差或等比数列的求和直接用公式计算，要注意求和的项数，防止疏漏．
4．最好能记忆一些常见数列的求和公式，如正整数列、正奇数列、正偶数列、正整数的平方构成的数列等．
5．数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型．
6．数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，分q＝1或q≠1)等．



1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a5＝4－a3，则S7＝ (　　)
A．7 B．12 C．14 D．21
解：由a5＝4－a3，得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝＝14．故选C．
2．已知数列{an}满足：an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为 (　　)
A．250 B．200 C．150 D．100
解：由题意可知，a2n＋a2n－1＝2，所以S100＝ (a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝2×50＝100．故选D．
3．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为 (　　)
A． B． C． D．
解：bn＝＝＝－，
S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝－＋－＋－ ＋…＋－＝－＝．故选B．
4．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1， an＋an＋1＝(n ∈N*)，则S2n＋1＝ (　　)
A． B．
C． D．
解：因为an＋an＋1＝，所以S2n＋1＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋a2n＋1)＝1＋＋＋…＋＝．故选B．
5．设直线nx＋(n＋1)y＝(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2 018的值为 (　　)
A． B． C． D．
解：直线与x轴交于，与y轴交于，
所以Sn＝··＝＝－．
所以原式＝＋＋…＋
＝1－＝．故选D．
6．()设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝，＝＋2n，则S100＝ (　　)
A．2－ B．2－ C．2－ D．2－
解：根据题意，由＝＋2n，得－＝2n，则－＝2n－1，－＝2n－2，…，－＝21将各式相加得－＝21＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
又a1＝，所以an＝n·，
因此S100＝1×＋2×＋…＋100×，
则S100＝1×＋2×＋…＋99×＋100×，
两式相减得S100＝＋＋＋…＋－100×，所以S100＝2－－100×＝2－．故选D．
7．数列{an}的通项公式为an＝，若{an}的前n项和为24，则n＝________．
解：an＝－，所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，令Sn＝24得n＝624．故填624．
8．数列{an}的通项公式an＝nsin，其前n项和为Sn，则S2 019＝________．
解：函数y＝sinx以6为最小正周期，又 a6m＋1＋a6m＋2＋a6m＋3＋a6m＋4＋a6m＋5＋a6m＋6＝ －3，m∈N，所以S2 019＝－3×336＋2017sinπ＋2 018sinπ＋2 019sinπ＝－336×3＋2 017sin＋2 018sin＋2 019sinπ＝．故填．
9．()已知数列{an}的各项均为正数，且a－2nan－(2n＋1)＝0，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2n·an，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：(1)由a－2nan－(2n＋1)＝0得[an－(2n＋1)]·(an＋1)＝0，所以an＝2n＋1或an＝－1，又因为数列{an}的各项均为正数，所以an＝2n＋1，n∈N*．
(2)因为bn＝2n·an＝(2n＋1)·2n，
所以Tn＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n＋1)·2n，　①
2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n＋1)·2n＋1，　②
由①－②得：
－Tn＝6＋2[22＋23＋…＋2n]－(2n＋1)·2n＋1
＝6＋2·－(2n＋1)·2n＋1
＝－2－(2n－1)·2n＋1，
所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1．
10．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足 an＋2＋an＝2an＋1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn．
解：(1)由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差数列，
且公差d＝＝＝－2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10．
(2)令an≥0，得n≤5．
即当n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0．
所以当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n；
当n≥6时，
Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5)
＝－(－n2＋9n)＋2×20＝n2－9n＋40，
所以Sn＝
11．在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2＋S2＝12，q＝．
(1)求an与bn；
(2)证明：≤＋＋…＋＜．
解：(1)设数列{an}的公差为d．
因为 所以
解得q＝3或q＝－4(舍)，d＝3．
故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1．
(2)证明：因为Sn＝，
所以＝＝．
故＋＋…＋＝[＋＋＋…＋]＝．
因为n≥1，所以0＜≤，所以≤1－＜1，
所以≤＜，
即≤＋＋…＋＜．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且满足Sn＝an＋1＋n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4n－2)an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：(1)令n＝1，有a1＝＋1⇒a2＝2．由有Sn－Sn－1＝ an＝an＋1－an＋1，即an＋1＝3an－2(n≥2)，即an＋1－1＝3(an－1)．又a1＝2，a2＝2，＝1≠3，
则{an－1}是以a2－1＝1为首项，3为公比的等比数列，所以an－1＝(a2－1)·3n－2＝1·3n－2，即 an＝3n－2＋1，
所以an＝
(2)bn＝(4n－2)an＋1＝(4n－2)(3n－1＋1)＝(4n－2)·3n－1＋(4n－2)，
记S′n＝2·30＋6·31＋10·32＋…＋(4n－2)·3n－1，　①
则3S′n＝2·31＋6·32＋…＋(4n－6)·3n－1＋(4n－2)·3n，　②
①－②得－2S′n＝2·30＋4(31＋32＋…＋3n－1)－(4n－2)·3n＝2＋4·－(4n－2)·3n＝－4－(4n－4)·3n，所以S′n＝2＋(2n－2)·3n，
所以Tn＝2＋(2n－2)·3n＋＝2＋(2n－2)·3n＋2n2．



6．4　数列求和及应用



1．数列求和方法
(1)公式法
(Ⅰ)等差数列、等比数列前n项和公式．
(Ⅱ)常见数列的前n项和：
①1＋2＋3＋…＋n＝ ；
②2＋4＋6＋…＋2n＝ ；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ ；
④12＋22＋32＋…＋n2＝ ；
⑤13＋23＋33＋…＋n3＝．
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法．
(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．
常见的裂项公式：
①＝ －；
②＝
；
③＝
；
④＝ (－)；
⑤＝ －；
⑥C＝ ；
⑦n·n！＝ ！－n！；
⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
2．数列应用题常见模型
(1)单利公式
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ ．
(2)复利公式
利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ ．
(3)产值模型
原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝ ．
(4)递推型
递推型有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类．
(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等．

自查自纠：
1．(1)①　②n2＋n　③n2　④
(5)①　②　③　④　⑤
⑥C－C　⑦(n＋1)
2．(1)a(1＋xr)　(2)a(1＋r)x　(3)N(1＋p)x


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
数列{1＋2n－1}的前n项和为 (　　)
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
解：由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1．故选C．
＋＋＋…＋的值为 (　　)
A． B．－
C．－ D．－＋
解：因为＝＝＝，所以＋＋＋…＋＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝＝－．故选C．
若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n＋1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a2 020＝ (　　)
A．－3 030 B．3 030 C．－3 033 D．3 033
解：a1＋a2＋…＋a2 020＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 019＋a2 020)＝(1－4)＋(7－10)＋…＋[(3×2 019－2)－(3×2 020－2)]＝(－3)×1 010＝－3 030．故选A．
在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 020＝________．
解：由题意得a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，a5＝－＝－，所以数列{an}是周期为3的周期数列，且a1＋a2＋a3＝1－－2＝－，
所以S2 020＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＝673×＋1＝－．故填－．
有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒．
解： 设至少需要n秒，则1＋2＋22＋…＋2n－1≥100，即≥100，所以n≥7．故填7．


类型一　基本求和问题
　(1)1＋＋＋…＋＝________．
解：设an＝1＋＋＋…＋＝＝2＝2－，分组求和可得数列{an}的前n项和Sn＝2n－＝2n－2＋，则S21＝2×21－2＋＝40＋．故填40＋．
(2)1＋＋＋…＋＝________．
解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则an＝＝2，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[＋＋…＋]＝2＝．故填．
(3)设f(x)＝，求：f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．
解：因为f(x)＝，所以f(x)＋f＝1．
令S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)，①
则S＝f(2 017)＋f(2 016)＋…＋f(1)＋f＋…＋f＋f()，②
①＋②得：2S＝1×4 033＝4 033，所以S＝．
(4)求和：Sn＝＋＋＋…＋．
解：(Ⅰ)当a＝1时，Sn＝1＋2＋…＋n＝．
(Ⅱ)当a≠1时，Sn＝＋＋＋…＋，①
Sn＝＋＋…＋＋，②
由①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝
－，所以
Sn＝．
综上所述，
Sn＝

点　拨：
研究通项公式是数列求和的关键．数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法．

　(1)数列9，99，999，…的前n项和Sn＝________．
解：Sn＝9＋99＋999＋…＋99…9n个
＝(101－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n－1)
＝(101＋102＋103＋…＋10n)－n
＝－n＝－n．
故填－n．
(2)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，数列{bn}的前n项和记为Sn，则S2 019＝________．
解：由条件得到数列{an}的通项为an＝＝，则an＋1＝，所以bn＝＝＝4，则Sn＝4(1－＋－＋…＋－)＝4＝，将n＝2 019代入得到S2 019＝．故填．
(3)求sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值．
解：令Sn＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，①
则Sn＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°
＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°．②
①与②两边分别相加得2Sn＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89．
所以Sn＝．
(4)已知an＝，求{an}的前n项和Tn．
解：Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋，②
①－②得
Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋－＝－－，
所以Tn＝－－＝－．
类型二　可用数列模型解决的实际问题
　用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%．若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付________万元．
解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{an}，
故a1＝100＋2 000×0．01＝120(万元)，
a2＝100＋(2 000－100)×0．01＝119(万元)，
a3＝100＋(2 000－100×2)×0．01＝118(万元)，
a4＝100＋(2 000－100×3)×0．01＝117(万元)，
…
an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0．01＝121－n(万元) (1≤n≤20，n∈N*)．
因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列．
故a10＝121－10＝111(万元)．故填111．

点　拨：
将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：审题、建模、求解、检验、作答．增长率模型是比较典型的等比数列模型，实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常利用增长率模型加以解决．
　　
　某气象学院用3．2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了
(　　)
A．600天 B．800天 C．1 000天 D．1 200天
解：设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋＋4．95，当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800．故选B．
类型三　数列综合问题
　()设数列{an}是公差大于0的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝9，且2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＝2n－1(n∈N*)，设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜6．
解：(1)设数列{an}的公差为d，则d＞0．
因为S3＝9，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝9，即a2＝3．
因为2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列，所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，
所以d＝2．所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－1．
(2)证明：因为＝2n－1(n∈N*)，
所以bn＝＝(2n－1)，
所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)× ，　①
所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，　②
由①②两式相减得
Tn＝1＋2×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝1＋－＝3－－，整理化简得Tn＝6－．
又因为n∈N*，所以Tn＝6－＜6．

点　拨：
数列的综合问题大都是建立在数列概念、等差等比数列及数列求和基础上的与函数、不等式等知识的综合应用，要牢记数列是特殊函数，如单调性放缩技巧．

　()Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28．记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0．9]＝0，[lg99]＝1．
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
解：(1)设{an}的公差为d，S7＝7a4＝28，
所以a4＝4，所以d＝＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n．
所以b1＝[lga1]＝[lg1]＝0，b11＝[lga11]＝[lg11]＝1，b101＝[lga101]＝[lg101]＝2．
(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000
＝[lga1]＋[lga2]＋…＋[lga1 000]．
当0≤lgan<1时，n＝1，2，…，9；
当1≤lgan<2时，n＝10，11，…，99；
当2≤lgan<3时，n＝100，101，…，999；
当lgan＝3时，n＝1 000．
所以T1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝ 1 893．

1．数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用．数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项．通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一．
2．对于一般数列的求和问题，应先观察数列通项的结构特征，再对通项公式进行化简变形，改变原数列的形式，尽可能将其转化为等差数列、等比数列等常见数列，从而达到求和的目的．
3．等差或等比数列的求和直接用公式计算，要注意求和的项数，防止疏漏．
4．最好能记忆一些常见数列的求和公式，如正整数列、正奇数列、正偶数列、正整数的平方构成的数列等．
5．数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型．
6．数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，分q＝1或q≠1)等．



1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a5＝4－a3，则S7＝ (　　)
A．7 B．12 C．14 D．21
解：由a5＝4－a3，得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝＝14．故选C．
2．已知数列{an}满足：an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为 (　　)
A．250 B．200 C．150 D．100
解：由题意可知，a2n＋a2n－1＝2，所以S100＝ (a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝2×50＝100．故选D．
3．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为 (　　)
A． B． C． D．
解：bn＝＝＝－，
S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝－＋－＋－ ＋…＋－＝－＝．故选B．
4．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1， an＋an＋1＝(n ∈N*)，则S2n＋1＝ (　　)
A． B．
C． D．
解：因为an＋an＋1＝，所以S2n＋1＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋a2n＋1)＝1＋＋＋…＋＝．故选B．
5．设直线nx＋(n＋1)y＝(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2 018的值为 (　　)
A． B． C． D．
解：直线与x轴交于，与y轴交于，
所以Sn＝··＝＝－．
所以原式＝＋＋…＋
＝1－＝．故选D．
6．()设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝，＝＋2n，则S100＝ (　　)
A．2－ B．2－ C．2－ D．2－
解：根据题意，由＝＋2n，得－＝2n，则－＝2n－1，－＝2n－2，…，－＝21将各式相加得－＝21＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
又a1＝，所以an＝n·，
因此S100＝1×＋2×＋…＋100×，
则S100＝1×＋2×＋…＋99×＋100×，
两式相减得S100＝＋＋＋…＋－100×，所以S100＝2－－100×＝2－．故选D．
7．数列{an}的通项公式为an＝，若{an}的前n项和为24，则n＝________．
解：an＝－，所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，令Sn＝24得n＝624．故填624．
8．数列{an}的通项公式an＝nsin，其前n项和为Sn，则S2 019＝________．
解：函数y＝sinx以6为最小正周期，又 a6m＋1＋a6m＋2＋a6m＋3＋a6m＋4＋a6m＋5＋a6m＋6＝ －3，m∈N，所以S2 019＝－3×336＋2017sinπ＋2 018sinπ＋2 019sinπ＝－336×3＋2 017sin＋2 018sin＋2 019sinπ＝．故填．
9．()已知数列{an}的各项均为正数，且a－2nan－(2n＋1)＝0，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2n·an，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：(1)由a－2nan－(2n＋1)＝0得[an－(2n＋1)]·(an＋1)＝0，所以an＝2n＋1或an＝－1，又因为数列{an}的各项均为正数，所以an＝2n＋1，n∈N*．
(2)因为bn＝2n·an＝(2n＋1)·2n，
所以Tn＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n＋1)·2n，　①
2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n＋1)·2n＋1，　②
由①－②得：
－Tn＝6＋2[22＋23＋…＋2n]－(2n＋1)·2n＋1
＝6＋2·－(2n＋1)·2n＋1
＝－2－(2n－1)·2n＋1，
所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1．
10．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足 an＋2＋an＝2an＋1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn．
解：(1)由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差数列，
且公差d＝＝＝－2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10．
(2)令an≥0，得n≤5．
即当n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0．
所以当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n；
当n≥6时，
Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5)
＝－(－n2＋9n)＋2×20＝n2－9n＋40，
所以Sn＝
11．在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2＋S2＝12，q＝．
(1)求an与bn；
(2)证明：≤＋＋…＋＜．
解：(1)设数列{an}的公差为d．
因为 所以
解得q＝3或q＝－4(舍)，d＝3．
故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1．
(2)证明：因为Sn＝，
所以＝＝．
故＋＋…＋＝[＋＋＋…＋]＝．
因为n≥1，所以0＜≤，所以≤1－＜1，
所以≤＜，
即≤＋＋…＋＜．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且满足Sn＝an＋1＋n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4n－2)an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：(1)令n＝1，有a1＝＋1⇒a2＝2．由有Sn－Sn－1＝ an＝an＋1－an＋1，即an＋1＝3an－2(n≥2)，即an＋1－1＝3(an－1)．又a1＝2，a2＝2，＝1≠3，
则{an－1}是以a2－1＝1为首项，3为公比的等比数列，所以an－1＝(a2－1)·3n－2＝1·3n－2，即 an＝3n－2＋1，
所以an＝
(2)bn＝(4n－2)an＋1＝(4n－2)(3n－1＋1)＝(4n－2)·3n－1＋(4n－2)，
记S′n＝2·30＋6·31＋10·32＋…＋(4n－2)·3n－1，　①
则3S′n＝2·31＋6·32＋…＋(4n－6)·3n－1＋(4n－2)·3n，　②
①－②得－2S′n＝2·30＋4(31＋32＋…＋3n－1)－(4n－2)·3n＝2＋4·－(4n－2)·3n＝－4－(4n－4)·3n，所以S′n＝2＋(2n－2)·3n，
所以Tn＝2＋(2n－2)·3n＋＝2＋(2n－2)·3n＋2n2．



6．4　数列求和及应用



1．数列求和方法
(1)公式法
(Ⅰ)等差数列、等比数列前n项和公式．
(Ⅱ)常见数列的前n项和：
①1＋2＋3＋…＋n＝ ；
②2＋4＋6＋…＋2n＝ ；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ ；
④12＋22＋32＋…＋n2＝ ；
⑤13＋23＋33＋…＋n3＝．
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法．
(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．
常见的裂项公式：
①＝ －；
②＝
；
③＝
；
④＝ (－)；
⑤＝ －；
⑥C＝ ；
⑦n·n！＝ ！－n！；
⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
2．数列应用题常见模型
(1)单利公式
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ ．
(2)复利公式
利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ ．
(3)产值模型
原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝ ．
(4)递推型
递推型有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类．
(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等．

自查自纠：
1．(1)①　②n2＋n　③n2　④
(5)①　②　③　④　⑤
⑥C－C　⑦(n＋1)
2．(1)a(1＋xr)　(2)a(1＋r)x　(3)N(1＋p)x


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
数列{1＋2n－1}的前n项和为 (　　)
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
解：由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1．故选C．
＋＋＋…＋的值为 (　　)
A． B．－
C．－ D．－＋
解：因为＝＝＝，所以＋＋＋…＋＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝＝－．故选C．
若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n＋1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a2 020＝ (　　)
A．－3 030 B．3 030 C．－3 033 D．3 033
解：a1＋a2＋…＋a2 020＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 019＋a2 020)＝(1－4)＋(7－10)＋…＋[(3×2 019－2)－(3×2 020－2)]＝(－3)×1 010＝－3 030．故选A．
在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 020＝________．
解：由题意得a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，a5＝－＝－，所以数列{an}是周期为3的周期数列，且a1＋a2＋a3＝1－－2＝－，
所以S2 020＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＝673×＋1＝－．故填－．
有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒．
解： 设至少需要n秒，则1＋2＋22＋…＋2n－1≥100，即≥100，所以n≥7．故填7．


类型一　基本求和问题
　(1)1＋＋＋…＋＝________．
解：设an＝1＋＋＋…＋＝＝2＝2－，分组求和可得数列{an}的前n项和Sn＝2n－＝2n－2＋，则S21＝2×21－2＋＝40＋．故填40＋．
(2)1＋＋＋…＋＝________．
解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则an＝＝2，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[＋＋…＋]＝2＝．故填．
(3)设f(x)＝，求：f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．
解：因为f(x)＝，所以f(x)＋f＝1．
令S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)，①
则S＝f(2 017)＋f(2 016)＋…＋f(1)＋f＋…＋f＋f()，②
①＋②得：2S＝1×4 033＝4 033，所以S＝．
(4)求和：Sn＝＋＋＋…＋．
解：(Ⅰ)当a＝1时，Sn＝1＋2＋…＋n＝．
(Ⅱ)当a≠1时，Sn＝＋＋＋…＋，①
Sn＝＋＋…＋＋，②
由①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝
－，所以
Sn＝．
综上所述，
Sn＝

点　拨：
研究通项公式是数列求和的关键．数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法．

　(1)数列9，99，999，…的前n项和Sn＝________．
解：Sn＝9＋99＋999＋…＋99…9n个
＝(101－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n－1)
＝(101＋102＋103＋…＋10n)－n
＝－n＝－n．
故填－n．
(2)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，数列{bn}的前n项和记为Sn，则S2 019＝________．
解：由条件得到数列{an}的通项为an＝＝，则an＋1＝，所以bn＝＝＝4，则Sn＝4(1－＋－＋…＋－)＝4＝，将n＝2 019代入得到S2 019＝．故填．
(3)求sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值．
解：令Sn＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，①
则Sn＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°
＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°．②
①与②两边分别相加得2Sn＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89．
所以Sn＝．
(4)已知an＝，求{an}的前n项和Tn．
解：Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋，②
①－②得
Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋－＝－－，
所以Tn＝－－＝－．
类型二　可用数列模型解决的实际问题
　用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%．若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付________万元．
解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{an}，
故a1＝100＋2 000×0．01＝120(万元)，
a2＝100＋(2 000－100)×0．01＝119(万元)，
a3＝100＋(2 000－100×2)×0．01＝118(万元)，
a4＝100＋(2 000－100×3)×0．01＝117(万元)，
…
an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0．01＝121－n(万元) (1≤n≤20，n∈N*)．
因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列．
故a10＝121－10＝111(万元)．故填111．

点　拨：
将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：审题、建模、求解、检验、作答．增长率模型是比较典型的等比数列模型，实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常利用增长率模型加以解决．
　　
　某气象学院用3．2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了
(　　)
A．600天 B．800天 C．1 000天 D．1 200天
解：设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋＋4．95，当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800．故选B．
类型三　数列综合问题
　()设数列{an}是公差大于0的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝9，且2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＝2n－1(n∈N*)，设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜6．
解：(1)设数列{an}的公差为d，则d＞0．
因为S3＝9，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝9，即a2＝3．
因为2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列，所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，
所以d＝2．所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－1．
(2)证明：因为＝2n－1(n∈N*)，
所以bn＝＝(2n－1)，
所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)× ，　①
所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，　②
由①②两式相减得
Tn＝1＋2×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝1＋－＝3－－，整理化简得Tn＝6－．
又因为n∈N*，所以Tn＝6－＜6．

点　拨：
数列的综合问题大都是建立在数列概念、等差等比数列及数列求和基础上的与函数、不等式等知识的综合应用，要牢记数列是特殊函数，如单调性放缩技巧．

　()Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28．记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0．9]＝0，[lg99]＝1．
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
解：(1)设{an}的公差为d，S7＝7a4＝28，
所以a4＝4，所以d＝＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n．
所以b1＝[lga1]＝[lg1]＝0，b11＝[lga11]＝[lg11]＝1，b101＝[lga101]＝[lg101]＝2．
(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000
＝[lga1]＋[lga2]＋…＋[lga1 000]．
当0≤lgan<1时，n＝1，2，…，9；
当1≤lgan<2时，n＝10，11，…，99；
当2≤lgan<3时，n＝100，101，…，999；
当lgan＝3时，n＝1 000．
所以T1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝ 1 893．

1．数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用．数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项．通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一．
2．对于一般数列的求和问题，应先观察数列通项的结构特征，再对通项公式进行化简变形，改变原数列的形式，尽可能将其转化为等差数列、等比数列等常见数列，从而达到求和的目的．
3．等差或等比数列的求和直接用公式计算，要注意求和的项数，防止疏漏．
4．最好能记忆一些常见数列的求和公式，如正整数列、正奇数列、正偶数列、正整数的平方构成的数列等．
5．数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型．
6．数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，分q＝1或q≠1)等．



1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a5＝4－a3，则S7＝ (　　)
A．7 B．12 C．14 D．21
解：由a5＝4－a3，得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝＝14．故选C．
2．已知数列{an}满足：an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为 (　　)
A．250 B．200 C．150 D．100
解：由题意可知，a2n＋a2n－1＝2，所以S100＝ (a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝2×50＝100．故选D．
3．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为 (　　)
A． B． C． D．
解：bn＝＝＝－，
S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝－＋－＋－ ＋…＋－＝－＝．故选B．
4．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1， an＋an＋1＝(n ∈N*)，则S2n＋1＝ (　　)
A． B．
C． D．
解：因为an＋an＋1＝，所以S2n＋1＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋a2n＋1)＝1＋＋＋…＋＝．故选B．
5．设直线nx＋(n＋1)y＝(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2 018的值为 (　　)
A． B． C． D．
解：直线与x轴交于，与y轴交于，
所以Sn＝··＝＝－．
所以原式＝＋＋…＋
＝1－＝．故选D．
6．()设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝，＝＋2n，则S100＝ (　　)
A．2－ B．2－ C．2－ D．2－
解：根据题意，由＝＋2n，得－＝2n，则－＝2n－1，－＝2n－2，…，－＝21将各式相加得－＝21＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
又a1＝，所以an＝n·，
因此S100＝1×＋2×＋…＋100×，
则S100＝1×＋2×＋…＋99×＋100×，
两式相减得S100＝＋＋＋…＋－100×，所以S100＝2－－100×＝2－．故选D．
7．数列{an}的通项公式为an＝，若{an}的前n项和为24，则n＝________．
解：an＝－，所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，令Sn＝24得n＝624．故填624．
8．数列{an}的通项公式an＝nsin，其前n项和为Sn，则S2 019＝________．
解：函数y＝sinx以6为最小正周期，又 a6m＋1＋a6m＋2＋a6m＋3＋a6m＋4＋a6m＋5＋a6m＋6＝ －3，m∈N，所以S2 019＝－3×336＋2017sinπ＋2 018sinπ＋2 019sinπ＝－336×3＋2 017sin＋2 018sin＋2 019sinπ＝．故填．
9．()已知数列{an}的各项均为正数，且a－2nan－(2n＋1)＝0，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2n·an，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：(1)由a－2nan－(2n＋1)＝0得[an－(2n＋1)]·(an＋1)＝0，所以an＝2n＋1或an＝－1，又因为数列{an}的各项均为正数，所以an＝2n＋1，n∈N*．
(2)因为bn＝2n·an＝(2n＋1)·2n，
所以Tn＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n＋1)·2n，　①
2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n＋1)·2n＋1，　②
由①－②得：
－Tn＝6＋2[22＋23＋…＋2n]－(2n＋1)·2n＋1
＝6＋2·－(2n＋1)·2n＋1
＝－2－(2n－1)·2n＋1，
所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1．
10．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足 an＋2＋an＝2an＋1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn．
解：(1)由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差数列，
且公差d＝＝＝－2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10．
(2)令an≥0，得n≤5．
即当n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0．
所以当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n；
当n≥6时，
Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5)
＝－(－n2＋9n)＋2×20＝n2－9n＋40，
所以Sn＝
11．在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2＋S2＝12，q＝．
(1)求an与bn；
(2)证明：≤＋＋…＋＜．
解：(1)设数列{an}的公差为d．
因为 所以
解得q＝3或q＝－4(舍)，d＝3．
故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1．
(2)证明：因为Sn＝，
所以＝＝．
故＋＋…＋＝[＋＋＋…＋]＝．
因为n≥1，所以0＜≤，所以≤1－＜1，
所以≤＜，
即≤＋＋…＋＜．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且满足Sn＝an＋1＋n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4n－2)an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：(1)令n＝1，有a1＝＋1⇒a2＝2．由有Sn－Sn－1＝ an＝an＋1－an＋1，即an＋1＝3an－2(n≥2)，即an＋1－1＝3(an－1)．又a1＝2，a2＝2，＝1≠3，
则{an－1}是以a2－1＝1为首项，3为公比的等比数列，所以an－1＝(a2－1)·3n－2＝1·3n－2，即 an＝3n－2＋1，
所以an＝
(2)bn＝(4n－2)an＋1＝(4n－2)(3n－1＋1)＝(4n－2)·3n－1＋(4n－2)，
记S′n＝2·30＋6·31＋10·32＋…＋(4n－2)·3n－1，　①
则3S′n＝2·31＋6·32＋…＋(4n－6)·3n－1＋(4n－2)·3n，　②
①－②得－2S′n＝2·30＋4(31＋32＋…＋3n－1)－(4n－2)·3n＝2＋4·－(4n－2)·3n＝－4－(4n－4)·3n，所以S′n＝2＋(2n－2)·3n，
所以Tn＝2＋(2n－2)·3n＋＝2＋(2n－2)·3n＋2n2．