高考数学(理数)一轮复习学案1．3《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》(含详解)

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1．3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


1．逻辑联结词
命题中的“或”“且”“非”称为__________．
2．全称量词
“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
3．存在量词
“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
注：特称命题也称存在性命题．
4．含有一个量词的命题的否定
命　题
命题的否定
∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．
5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(真值表)
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
①
②
③
真
假
④
⑤
⑥
假
真
⑦
⑧
⑨
假
假

⑪
⑫
注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．
自查自纠：
1．逻辑联结词
2．全称量词　∀　全称命题
3．存在量词　∃　特称命题
4．∃x0∈M，綈p(x0)　∀x∈M，綈p(x)　特称　全称
5．①真　②真　③假　④假　⑤真　⑥假　⑦假
⑧真　⑨真　假　⑪假　⑫真


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()命题“∀x>0，>0”的否定是 (　　)
A．∃x0≥0，≤0 B．∃x0>0，0≤x0≤1
C．∀x>0，≤0 D．∀x<0，0≤x≤1
解：因为>0⇔x<0或x>1，所以>0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是“∃x0>0，0≤x0≤1”．故选B.
()下列命题为假命题的是 (　　)
A．∀x∈R，2 018x－2＞0
B．∃x0∈R，tanx0∈R
C．∃x0∈R，lgx0＜0
D．∀x∈R，(x－100)2 018＞0
解：对于A，指数式2 018x－2恒大于0，A为真命题；对于B，正切函数的值域为R，B为真命题；对于C，对数函数的值域为R，故C为真命题；对于D，x＝100时，(x－100)2 018＝02 018＝0，D为假命题．故选D.
()已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是 (　　)
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．((綈p)∧(綈q)
解：由x＞0时x＋1＞1，知p是真命题，由－1＞－2，(－1)2＜(－2)2可知q是假命题，即p，綈q均是真命题．故选B.
命题“∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________．
解：由定义知命题的否定为“∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3”．故填∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3.
已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
解：因为p是假命题，则綈p为真命题，即 “∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0”为真命题，所以Δ＝ 4a2－4a＜0，解得0＜a＜1.故填(0，1)．


类型一　含有逻辑联结词的命题及其真假判断
　(1)()设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋＞3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧q D．(綈p)∨q
解：命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋＞3，当 x0＝3时，3＋＞3，命题为真．命题q：∀x∈ (2，＋∞)，x2＞2x，当x＝4时，两式相等，命题为假．则p∧(綈q)为真命题．故选A.
(2)已知命题p：∀x∈N*，≥；命题q：∃x0∈N*，2x0＋21－x0＝2，则下列命题中为真命题的是 (　　)
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解：根据幂函数的性质，可知命题p为真命题；由2x0＋21－x0＝2，得22x0－2·2x0＋2＝0，解得2x0＝，即x0＝(或2x0＋21－x0≥2＝2，当且仅当2x0＝21－x0，即x0＝时等号成立)，命题q为假命题．所以只有p∧ (綈q)为真命题．故选C.
点　拨：
判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤：第一步，判断复合命题的结构；第二步，判断构成这个命题的每个简单命题的真假；第三步，依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反作出判断．
　　
　(1)已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lgx0；命题q：∀x∈R，ex>1.则 (　　)
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧(綈q)是真命题
D．命题p∨(綈q)是假命题
解：取x0＝10，得x0－2＞lgx0，所以命题p是真命题；取x＝－1，得ex＜1，所以命题q是假命题．则p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∧(綈q)是真命题，p∨(綈q)是真命题．故选C.
(2)()命题p：存在x∈，使sinx＋cosx＞；命题q：“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)， lnx≠x－1”，则四个命题：(綈p)∨(綈q)，p∧q， (綈p)∧q，p∨(綈q)中，正确的命题个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解：因为sinx＋cosx＝sin≤，所以命题p是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q为真命题．则(綈p)∨(綈q)为真命题， p∧q为假命题，(綈p)∧q为真命题，p∨(綈q)为假命题，所以4个命题中正确的有2个．故选B.
类型二　含有逻辑联结词的命题的综合问题
　已知函数f(x)＝
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)已知m∈R，p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意的m∈R恒成立，q：函数y＝(m2－2)x是增函数，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
解：(1)函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在上单调递增，故f(x)的最小值f(x)min＝f(－2)＝1.
(2)由题意得，p与q一真一假．
若p为真，则m2＋2m－2≤1，故－3≤m≤1；
若q为真，则m2－2＞0，故m＞或m＜－.
则有
①p真q假，则解得－≤ m≤1；
②p假q真，则解得m＜－3或m＞.
故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)．

点　拨：
由“p或q”为真，“p且q”为假判断出p和q一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．

　已知命题p：在x∈[1，2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f(x)＝log(x2－ 2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，则实数a的取值范围为________．
解：因为x∈[1，2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立，
所以a>＝－x在x∈[1，2]时恒成立，
令g(x)＝－x，则g(x)在[1，2]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝1，
所以a>1.即若命题p真，则a>1.
又因为函数f(x)＝log(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数，所以u(x)＝x2－2ax＋3a是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)>0在[1，＋∞)上恒成立，
所以所以－1 即若命题q真，则－1 综上知，若命题“p∨q”是真命题，则a>－1.故填(－1，＋∞)．
类型三　全称命题与特称命题
　(1)()已知命题p：∀x∈R，ex－x－1＞0，则綈p是 (　　)
A．∀x∈R，ex－x－1＜0
B．∃x0∈R，ex0－x0－1≤0
C．∃x0∈R，ex0－x0－1＜0
D．∀x∈R，ex－x－1≤0
解：因为全称命题的否定是特称命题，则綈p：∃x0∈R，ex0－x0－1≤0.故选B.
(2)已知“命题p：∃x0∈R，ax＋2x0＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是 (　　)
A．[0，1) B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
解法一：当a＝0时，2x＋1＜0，可得x＜－，此时命题p为真；当a≠0时，要使命题p为真，只要Δ＝4－4a＞0，即a＜1且a≠0即可．综上可知，a＜1.
解法二：命题p的否定是“∀x∈R，ax2＋2x＋1≥0”．当a＝0时，显然命题綈p为假；当a≠0时，命题綈p为真的充要条件是a＞0且Δ＝4－4a≤0，即a≥1.故綈p为真时，a的取值范围为A＝[1，＋∞)，故p为真时，a的取值范围为∁RA＝(－∞，1)．故选B.

点　拨：
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．常见命题及其否定形式：
命题
否定
p
綈p
p∨q
(綈p )∧(綈q)
p∧q
（綈p)∨(綈q)
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
　　
　(1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是 (　　)
A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n
B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n
C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0
解：全称命题的否定为特称命题，因此原命题的否定形式是“∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0”．故选D.
(2)命题“∃x0∈R，asinx0＋cosx0≥2”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解：原命题为假，即命题“∀x∈R，asinx＋cosx＜2”为真命题，即＜2，解得－＜a＜，即实数a的取值范围是(－，)．故填(－，)．

1．含有逻辑联结词命题真假的判断
判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．
2．全称命题与特称命题真假的判断
(1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，至少能找一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x＝±1”中含逻辑联结词“或”，“≥”表示“大于或等于”；“ 綊”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．
4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表

正面词语
等于(＝)
大于(＞)
小于(＜)
是
都是
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是

正面词语
至多有一个
至少有一个
任意的
所有的
一定
否定词语
至少有两个
一个也没有
某个
某些
不一定

1．“a和b都不是偶数”的否定形式是 (　　)
A．a和b至少有一个是偶数
B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数
D．a和b都是偶数
解：“a和b都不是偶数”的否定形式是“a和b至少有一个是偶数”．故选A.
2．已知命题p：∃a∈(－∞，0)，a2－2a－3＞0，那么命题p的否定是 (　　)
A．∃a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0
B．∃a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0
C．∀a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0
D．∀a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0
解：易知綈p：∀a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0.故选D.
3．已知命题p∶∀x∈R，2x2＋2x＋>0，命题q：∃x0∈R，sinx0－cosx0＝，则下列命题中为真命题的是 (　　)
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．p∨(綈q) D．(綈p)∨q
解：在命题p中，当x＝－时，2x2＋2x＋＝0，故p为假命题；在命题q中，当x0＝时，sinx0－cosx0＝，故q为真命题，所以(綈p)∨q为真命题．故选D.
4．下列说法中，正确的个数是 (　　)
①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若 x2≠1，则x≠1”；
②若p：∃x0∈R，x－x0＋1≤0，则綈p： ∀x∈R，x2－x＋1＞0；
③在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件；
④若p∨q为真命题，则p，q均为真命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
解：易知①②正确，④错误．在△ABC中，由正弦定理可得＝，因此sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件，③正确．故选D.
5．下列命题中，正确的是 (　　)
A．命题“∀x∈R，x2－x≤0”的否定是 “∃x0∈R，x－x0≥0”
B．命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件
C．“若am2≤bm2，则a≤b”的否命题为真
D．若实数x，y∈[－1，1]，则满足x2＋y2≥1的概率为
解：A中否定不能有等号．B中命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件．D中概率应为1－.故选C.
6．若命题“∀x∈(1，＋∞)，x2－(2＋a)x＋2＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，2]
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解：当x>1时，原不等式等价于a≤＝x－1＋，由于x－1＋≥2，当且仅当 x－1＝，即x＝2时等号成立，故a≤2.故选B.
7．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；p2：函数y＝x＋在(0，＋∞)上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，是真命题的是________．
解：p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题，
所以q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
所以q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．
所以真命题是q1，q4.故填q1，q4.
8．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是________．
解：p为真命题，有 解得m>2.
q为真命题，有Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1<0，解得1 由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．
当p真q假时，由 得m≥3；
当p假q真时，由 得1 综上，实数m的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．
故填(1，2]∪[3，＋∞)．
9．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“ 綈p”形式的新命题，并判断其真假．
(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；
(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分．
解：(1)p∨q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p∧q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；
綈p：2不是4的约数，假命题．
(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p∧q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
綈p：矩形的对角线不相等，假命题．
10．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假．
(1)若a＞0且a≠1，则对任意实数x，ax＞0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；
(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|；
(4)∃x0∈R，使x＋1＜0.
解：(1)全称命题，其否定形式为：若a>0且a≠1，则∃x∈R，ax≤0，显然该命题为假命题．
(2)全称命题，其否定形式为：∃x1，x2∈R，且x1＜x2，使tanx1≥tanx2，该命题为真命题．例如取x1＝0，x2＝π，有x1＜x2，但tanx1＝tanx2＝0；又当x1＝0，x2＝时，有x1＜x2，但tan0＝0，tan＝ －，所以tanx1＞tanx2.
(3)特称命题，其否定形式为：∀T∈R，|sin(x＋T)|≠|sinx|，该命题是假命题．例如T0＝π时，有 |sin(x＋π)|＝|sinx|.
(4)特称命题，其否定形式为∀x∈R，x2＋1≥0.因为x∈R时，x2≥0，所以x2＋1≥1＞0，故为真命题．
11．已知p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意的m∈ [－1，1]恒成立，q：不等式ax2＋2x－1＞0有解．若p∧(綈q)是真命题，求实数a的取值范围．
解：p∧(綈q)为真命题，则p真q假．因为x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，所以所以|x1－x2|＝＝，所以当m∈[－1，1]时，|x1－x2|max＝3，所以由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意的m∈[－1，1]恒成立，得a2－5a－3≥3，所以a≥6或a≤－1.
因为不等式ax2＋2x－1＞0有解，所以当a＞0时，显然有解；当a＝0时，2x－1＞0有解；当a＜0时，Δ＝4＋4a＞0，解得－1＜a＜0.所以不等式 ax2＋2x－1＞0有解时，a＞－1.
又q是假命题，所以a≤－1.
故p∧(綈q)是真命题时，a的取值范围为(－∞，－1]．
已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈ [－1，1]，使得m≤ax成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．
解：(1)因为对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，所以(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.
因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．
(2)因为a＝1，且存在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立，
所以m≤1.
因此，命题q为真时，m≤1.
因为p且q为假，p或q为真，
所以p，q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，由 得1＜m≤2；
当p假q真时，由 得m＜1.
综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．