高考数学(理数)一轮复习11《统计》单元测试 (含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习11《统计》单元测试 (含详解)，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。




一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某班有男生20人，女生30人，从中抽出10人为样本，恰好抽到了4名男生，6名女生，那么下面说法正确的是 (　　)
A．该抽样可能是简单随机抽样
B．该抽样一定不是系统抽样
C．该抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D．该抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
解：因为每种抽样方法都可能出现这种结果，所以选项B错；根据抽样的等可能性可知，选项C、D错误．故选A．
2．某校高三年级共有800名学生，学号从1～800号，现用系统抽样抽出样本容量为n的样本，从小号到大号抽出的第1个数为8号，第6个数为168，则抽取的第3个数是 (　　)
A．64号 B．72号 C．80号 D．88号
解：设系统抽样的抽样间隔为k，则8＋(6－1)×k＝168，解得k＝32，所以抽取的第3个数为8＋(3－1)×32＝72．故选B．
3．()对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是 (　　)

A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3
C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3
解：由给出的四组数据的散点图可以看出，图①和图③是正相关，相关系数大于0，图②和图④是负相关，相关系数小于0，图①和图②的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选A．
4．()如图所示是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在[15，20)内的频数是 (　　)

A．20 B．50 C．30 D．70
解：因为[15，20)对应的小矩形的面积为1－0．04×5－0．1×5＝0．3，所以样本落在[15，20)的频数为0．3×100＝30，故选C．
5．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出(所得结果四舍五入，保留整数)钱数为
(　　)
A．17 B．28 C．30 D．32
解：按照各人带钱多少的比例进行交税，
则乙应出：×100≈32(钱)．故选D．
6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表．

男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
附表及公式：
P(K2≥k0)
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
参照附表及公式，得到的正确结论是 (　　)
A．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解：由2×2列联表中的数据计算得K2≈7．822＞6．635，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选C．
7．()广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)．
广告费x
2
3
4
5
6
销售额y
29
41
50
59
71
由上表可得回归方程为＝10．2x＋，根据模型，预测广告费为10万元时的销售额约为(　　)
A．101．2万元 B．108．8万元
C．111．2万元 D．118．2万元
解：由表中数据可得＝4，＝50，代入线性回归方程得50＝10．2×4＋，解得＝9．2，则回归方程为＝10．2x＋9．2，当x＝10时，＝102＋9．2＝111．2．故选C．
8．()某校决定组建学校足球队，为了解报名学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，绘出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12，则该校报名学生总人数为 (　　)

A．40 B．45 C．48 D．50
解：因为从左到右3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12，所以从左到右3个小组的频数分别为6，12，18，共有36人．第4，5小组的频率之和为(0．037 5＋0．012 5)×5＝0．25，则前3小组的频率之和为1－0．25＝0．75，则该校报名学生的总人数为36÷0．75＝48．故选C．
9．()共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是 (　　)
解：根据四个等高条形图知，图形D中共享与不共享时企业经济活跃度的差异最大，且共享比不共享活跃度更高，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果．故选D．
10．()某教育局为了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图．

根据折线图，下列结论正确的是 (　　)
A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化更平稳
解：由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，10月份，故A，B，C错．故选D．
11．如图为某班数学测试成绩的茎叶图，根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的为 (　　)

A．15名女生成绩的众数为80
B．17名男生成绩的中位数为80
C．男生成绩比较集中，整体水平稍高于女生
D．男生中的高分段比女生多，低分段比女生多，相比较男生两极分化比较严重
解：结合茎叶图可知15名女生成绩的众数为80，故A正确；17名男生成绩的中位数为80，故B正确；女生成绩比较集中，且整体水平稍高于男生，故C错误；相比较男生两极分化比较严重，故D正确．故选C．
12．()二战中盟军为了知道德国“虎式”重型坦克的数量，采用了两种方法：一种是传统的情报窃取，一种是用统计学的方法进行估计．统计学的方法最后被证实比传统的情报收集更精确．德国人在生产坦克时把坦克从1开始进行了连续编号，在战争期间盟军把缴获的“虎式”坦克的编号进行记录，并计算出这些编号的平均值为675．5．假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本，则利用你所学过的统计知识估计德国共制造“虎式”坦克大约有 (　　)
A．1 050辆 B．1 350辆 C．1 650辆 D．1 950辆
解：由题意，得＝675．5，解得n＝1 350．故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．()已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为____________．

解：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为＝90．故填90．
14．()为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表．

感染
未感染
总计
注射
10
40
50
未注射
20
30
50
总计
30
70
100
参考附表，在犯错误的概率最多不超过____________的前提下，可认为“注射疫苗与感染流感有关系”．
参考公式及附表：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(K2≥k0)
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
解：由题得K2＝≈4．762∈(3．841，5．024)，所以在犯错误的概率最多不超过0．05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．故填0．05．
15．()随机抽取100名年龄在[10，20)，[20，30)，…，[50，60)年龄段的市民进行问卷调查，

由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60)年龄段抽取的人数为____________．
解：根据频率分布直方图，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，在[50，60)年龄段抽取的人数为8×＝8×＝2．故填2．
16．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．

(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出的职工号码为____________；
(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本方差为____________．
解：(1)由分组可知，抽号的间隔为8，又第1组抽出的号码为2，所以所有被抽出的职工号码为2，10，18，26，34．
(2)由茎叶图知5名职工体重的平均数＝＝69，则该样本的方差s2＝ [(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62．故填2，10，18，26，34；62．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)某高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示．

(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；
(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(3)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．
解：(1)甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128．同学乙的成绩的频率分布直方图如图．

(2)从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲高，且乙的成绩比甲更稳定集中．
18．(12分)()为了解“低碳生活，绿色出行”活动执行情况，某机构随机调查了本市1 800名18岁以上市民某月的骑车次数，统计如下．
次数
人数　　　
年龄　　　
[0，10)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60]
18岁至31岁
8
12
20
60
140
150
32岁至44岁
12
28
20
140
60
150
45岁至59岁
25
50
80
100
225
450
60岁及以上
25
10
10
18
5
2
联合国世界卫生组织于2017年确定新的年龄分段：18岁至44岁为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决下列问题：
(1)估计本市青年人该月骑车的平均次数；
(2)若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为“骑行爱好者与青年人有关”？
附：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(K2≥k0)
0．25
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
1．323
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
解：(1)本市青年人该月骑车的平均次数估计值为＝＝42．75．
(2)根据题意得2×2列联表，如图所示．

骑行爱好者
非骑行爱好者
总计
青年人
700
100
800
非青年人
800
200
1 000
总计
1 500
300
1 800
根据表格中数据计算
K2＝＝18＞10．828．
根据这些数据知，能在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为“骑行爱好者与青年人有关”．
19．(12分)()某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其中数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．

(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；
(2)假设在(90，100]段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同．现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ζ，求ζ的分布列及数学期望E(ζ)．
解：(1) ＝45×0．005×10＋55×0．015×10＋65×0．02×10＋75×0．03×10＋85×0．025×10＋95×0．005×10＝72(分)，众数为75分．
(2)90分以上的人数为160×0．005×10＝8(人)．
所以ζ的可能取值为2，3，4，
所以ζ的分布列为

ζ
2
3
4
P



所以ζ的数学期望是E(ζ)＝2×＋3×＋4×＝．
20．(12分)()紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势，下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡的株数．
温度x(单位：℃)
21
23
24
27
29
32
死亡数y(单位：株)
6
11
20
27
57
77
经计算：
=5 705，=4 140，=10 464，≈0．001 74．
其中xi，yi分别为试验数据中的温度和死亡株数，i＝1，2，3，4，5，6．
(1)y与x是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r(精确到0．01)说明；
(2)求y关于x的回归方程＝x＋(和都精确到0．01)；
(3)用(2)中的线性回归模型预测温度为35℃时该批紫甘薯死亡株数(结果取整数)．
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，
①线性相关系数r＝通常情况下当|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
②其回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
=，=-.
解：(1)＝＝26，
＝＝33，
所以r＝
＝＝
≈557×0．001 74≈0．97>0．75，
所以y与x有较强的线性相关性．
(2)由(1)知，x＝26，y＝33，
所以＝＝≈6．63，
＝y－x≈33－6．63×26＝－139．38．
所以y关于x的回归方程为＝6．63x－139．38．
(3)由(2)知y关于x的回归方程为＝6．63x－139．38，
当x＝35时，＝6．63×35－139．38＝92．67≈93，
所以预测温度为35℃时该批紫甘薯死亡株数约93株．
21．(12分)()近年来，我国电子商务蓬勃发展，管理部门推出了针对某网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0．6，对服务的满意率为0．75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？

对服务满意
对服务不满意
合计
对商品满意
80


对商品不满意



合计


200
(2)若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E(X)．
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d．

P(K2≥k)
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
k
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
解：(1) 2×2列联表如下：

对服务满意
对服务不满意
合计
对商品满意
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
K2＝≈11．111，
因为11．111>6．635，
所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”．
(2) 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝C×＝；
P(X＝2)＝C×＝；
P(X＝3)＝C×＝．
X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
或者由于X～B，得E(X)＝3×＝．
22．(12分)()如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价(单位：万元/平方米)的散点图．(图中月份代码1～13分别对应2017年1月～2018年1月)．根据散点图选择y＝a＋b和y＝c＋dlnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为＝0．936 9＋0．028 5和＝0．955 4＋0．030 6lnx，并得到以下一些统计量的值：



＝0．936 9＋0．028 5
＝0．955 4＋0．030 6lnx
残差平方和

0.000 591
0.000 164
总偏差平方和

0．006 050
(1)请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好；
(2)某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区m(70≤m≤160)平方米的二手房(欲购房为其家庭首套房)．若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用(1)中拟合效果更好的模型解决以下问题：
(Ⅰ)估算该购房者应支付的购房金额．(购房金额＝房款＋税费；房屋均价精确到0．001万元/平方米)
(Ⅱ)若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．(精确到1平方米)
附注：假设二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收(计税价格＝房款)．主要征收方式见下表：

契税(买方缴纳)
首套面积90平方米以内(含90平方米)为1%；首套面积90平方米以上且144平方米以内(含144平方米)为1．5%；面积144平方米以上或非首套为3%
增值税(卖方缴纳)
房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上(不含144平方米)为5．6%；其他情况免征
个人所得税(卖方缴纳)
首套面积144平方米以内(含144平方米)为1%；面积144平方米以上或非首套均为1．5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征
参考数据：ln2≈0．69，ln3≈1．10，ln17≈2．83，ln19≈2．94，≈1．41，≈1．73，≈4．12，≈4．36．
参考公式：相关指数R2＝1－.
解：（1）设模型=0.936 9+0.028 5
0．936 9＋0．028 5和＝0．955 4＋0．030 6lnx的相关指数分别为R和R，
则R＝1－，R＝1－．
因为0．000 591＞0．000 164，所以R＜R．
所以模型＝0．955 4＋0．030 6lnx的拟合效果更好．
(2)由(1)知，模型＝0．955 4＋0．030 6lnx的拟合效果更好，利用该模型预测可得，这个小区2018年6月份的在售二手房均价为
＝0．955 4＋0．030 6ln18＝0．955 4＋0．030 6(ln2＋2ln3)＝1．044万元/平方米．
(Ⅰ)设该购房者支付的购房金额为h万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以
①当70≤m≤90时，契税为计税价格的1%，故h＝m×1．044×(1%＋1)＝1．054 44m；
②当90＜m≤144时，契税为计税价格的1．5%，故h＝m×1．044×(1．5%＋1)＝1．059 66m；
③当144＜m≤160时，契税为计税价格的3%，故h＝m×1．044×(3%＋1)＝1．075 32m．
故h＝
所以，当70≤m≤90时，购房金额为1．054 44m万元；当90＜m≤144时，购房金额为1．059 66m万元；当144＜m≤160时，购房金额为1．0753 2m万元．
(Ⅱ)设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为t平方米，由(Ⅰ)知，当70≤t≤90时，应支付的购房金额为1．054 44t万元．
又1．054 44t≤1．054 44×90＜100，又因为房屋均价约为1．044万元/平方米，所以t＜100，所以90≤t＜100．
由1．059 66t≤100，解得t≤，因为≈94．4．
所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为94平方米．