高考数学(理数)一轮复习09《平面解析几何》单元测试 (含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习09《平面解析几何》单元测试 (含详解)，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。




一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是 (　　)
A． B． C． D．
解：由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，所以α＝．故选D．
2．()过点(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为 (　　)
A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
解：设与直线x－2y＋3＝0平行的直线方程为x－2y＋C＝0(C≠3)，过点(－1，3)，则－1－6＋ C＝0，得C＝7，故所求直线方程为x－2y＋7＝0．
另解：利用点斜式．故选A．
3．若直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2： x＋ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝ (　　)
A．0 B．1 C．－1 D．2
解：因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离为，
所以所以n＝－2，m＝2(负值舍去)．所以m＋n＝0．故选A．

4．圆心在y轴上且通过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是 (　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解：设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，故圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2．因为点(3，1)在圆上，所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5．所以圆的方程为x2＋y2－10y＝0．故选B．
5．()已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为x＋y＝0，则该双曲线的方程为 (　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解：由抛物线y2＝8x，可得其准线方程为x＝－2．
由题意可得双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为(－2，0)，所以c＝2．又双曲线的一条渐近线方程为x＋y＝0，所以＝，结合c＝2解得a＝1，b＝．故双曲线的方程为x2－＝1．故选B．
6．()已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为．若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 (　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解：由题意得a＝b，＝1⇒c＝4，a＝b＝2⇒－＝1．故选B．
7．()若抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
解：由2p＝1得＝，且|AF|＝x0＋＝x0，解得x0＝1．故选A．
8．()若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝ (　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
解：双曲线C1：－＝1的渐近线方程为 y＝±2x，由题意可得双曲线C2：－＝1(a＞0， b＞0)的渐近线方程为y＝±x，则有b＝2a，又 2c＝4，则c＝2，所以a2＋b2＝20，解得a＝2，b＝4．故选B．
9．()已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，经过点M(－1，－1)作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|＝ (　　)
A．3 B．2 C． D．
解：圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，|PQ|＝2×＝．故选D．
10．()若椭圆＋y2＝1(m＞1)与双曲线－y2＝1(n＞0)有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是 (　　)
A．3 B．1 C． D．
解：由题意知椭圆的长轴长为2，双曲线的实轴长为2，由它们有相同的焦点，得m－1＝n＋1，即m－n＝2．
不妨设点P在双曲线的右支上，F1，F2分别为左、右焦点，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2，①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2，②
①2＋②2得|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝4(m－1)，
②2－①2得|PF1|·|PF2|＝m－n＝2．
又|F1F2|＝2，所以|F1F2|2＝4(m－1)，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2＝1．故选B．
11．()已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c(c＞0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2＝(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是 (　　)
A． B． C． D．
解：由题意得A(a，0)，F(－c，0)，
因为抛物线y2＝(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，
所以B，C两点关于x轴对称．可设B(m，n)，C(m，－n)，
因为四边形ABFC是菱形，所以BC⊥AF，且2m＝a－c，则m＝(a－c)，将B(m，n)代入抛物线方程得，n2＝(a＋c)m＝(a＋c)(a－c)＝(a2－c2)＝b2．不妨设B((a－c)，b)，将其代入椭圆方程得·＋＝1，
化简得＝，又e＝，所以上式可化为4e2－8e＋3＝0，解得e＝或(舍去)．故选D．
12．已知A(－2，0)，B(0，2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆 x2＋y2＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－ y－1＝0对称，那么△PAB面积的最大值是 (　　)
A．3－ B．4 C．3＋ D．6
解：依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心位于直线x－y－1＝0上，
于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1．
由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程是－＋＝1，
即x－y＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB的距离等于＝，
点P到直线AB的距离的最大值是＋1，
所以△PAB面积的最大值为×2×＝3＋，故选C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．()双曲线－＝1的离心率为__________．
解：由双曲线的标准方程知a2＝2，b2＝4，则c2＝a2＋b2＝6，所以e＝＝＝．故填．
14．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是(1，2)，则直线PQ的方程是________．
解：由题知直线PQ的斜率是－，故直线PQ的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0．故填x＋2y－5＝0．
15．()已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝________．
解：设N(0，a)，F(2，0)，那么M，点M在抛物线上，所以＝8⇒a2＝32⇒a＝±4，所以N(0，±4)，那么|FN|＝＝6．故填6．
16．()椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点F重合，点P是椭圆C与抛物线E的一个公共点，点Q(0，1)满足QF⊥QP，则椭圆C的离心率为________．

解：由抛物线E：y2＝4x，得p＝2，所以F(1，0)，又Q(0，1)且QF⊥QP，所以QP所在直线的斜率为1，所以QP所在直线的方程为y＝x＋1，
联立得P(1，2)，
则2a＝＋＝2＋2，即a＝＋1，所以椭圆C的离心率为e＝＝－1．故填 －1．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)分别求满足下列条件的直线方程，并化为一般式．
(1)经过点P(1，－2)，且斜率与直线y＝2x＋3的斜率相同；
(2)经过两点A(0，4)和B(4，0)；
(3)经过点(2，－4)且与直线3x－4y＋5＝0垂直．
解：(1)过点P(1，－2)，斜率与直线y＝2x＋3的斜率相同的直线方程是y＋2＝2(x－1)，化为一般式方程为2x－y－4＝0．
(2)过两点A(0，4)和B(4，0)的直线方程是＋＝1，化为一般式方程为x＋y－4＝0．
(3)设与直线3x－4y＋5＝0垂直的直线方程为4x＋3y＋m＝0，且该直线过点(2，－4)，则有4×2＋3×(－4)＋m＝0，解得m＝4，所以所求的直线方程为4x＋3y＋4＝0．也可直接由点斜式求解．
18．(12分)()已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点．
(1)当|PF|＝2时，求点P的坐标；
(2)求点P到直线y＝x－10的距离的最小值．
解：(1)依题意可设P(a>0)，易知F(0，1)，
因为|PF|＝2，结合抛物线的定义得＋1＝2，
即a＝2，所以点P的坐标为(2，1)．
(2)设点P的坐标为(a>0)，
则点P到直线y＝x－10的距离d＝＝．
因为－a＋10＝(a－2)2＋9，
所以当a＝2时，－a＋10取得最小值9，
故点P到直线y＝x－10的距离的最小值 dmin＝＝．
19．(12分)在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆O内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求·的取值范围．
解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y－4＝0的距离，即r＝＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4．
(2)由x2＝4，即得A(－2，0)，B(2，0)．
设P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得
·＝x2＋y2，
即x2－y2＝2．
·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．
由于点P在圆O内，故由此得y2