江苏省南京市第二十九中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题

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2020~2021学年10月江苏南京鼓楼区南京市第二十九中学高一上学期月考数学试卷一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知集合A＝{0，1}，则下列关系表示错误的是A. 0∈A B. {1}∈A C. ∅⊆A D. {0，1}⊆A【答案】B【解析】【详解】根据元素与集合关系的表示法，0∈A，故A正确；
根据集合与集合关系的表示法，{1}⊂A，判断B假；
∅是任意集合的子集，故C正确；
根据集合子集的定义，{0，1}⊆A，故D正确；
故选B．点睛：本题考查的是集合的包含关系的判断及其应用，元素与集合关系的判断，是基础题.2. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先化简集合，再判断利用两个集合的包含关系进行判断.【详解】由题意，，，，则只有成立，故选：A.3. “(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　)A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】，所以答案选择B【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题. 4. 已知全集U＝R，设集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩(∁UB)＝（    ）A. {x|1≤x≤2} B. {x|1<x<2}C. {x|1<x≤2} D. {x|1≤x<2}【答案】D【解析】【分析】先求补集∁UB，再根据交集定义求结果.【详解】因为B＝{x|x≥2}，所以∁UB ＝{x|x<2}，因此A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}故选:D【点睛】本题考查补集与交集混合运算，考查基本分析求解能力，属基础题.5. 当时，下列不等式恒成立的是（   ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由题意排除错误的选项即可确定正确的恒等式.【详解】当时，满足，不满足，选项A错误；当时，满足，不满足，也不满足，选项B、D错误；，则，，则，由不等式的性质可得，选项C正确.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知命题，，若命题是假命题，则的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】结合为真命题以及一元二次不等式恒成立列不等式，由此求得的取值范围.【详解】命题为假命题时，为真命题，即对任意恒成立，则，即，即，解得.故选：C7. 关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是（    ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】【分析】先分类求不等式的解集，再根据任意两个解的差不超过14，分类求得的范围，可得的最大值与最小值的差．【详解】不等式，时解集为，时解集为，时解集为，由题意可得时，时，解得，则的最大值与最小值的差为4，故选：B.8. 若对于正实数，，有，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先通过分离参数以及齐次式计算将不等式变形为，由此结合基本不等式求解出的取值范围.【详解】由题意对任意，成立，令，，则，因为时，所以，且时取等，则.故选：A.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9. 下列说法正确的有（    ）A 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】BC【解析】【分析】分别利用不等式的性质及找反例对各个选项进行判断.【详解】A选项时不成立；B选项，若，又在分母上，所以，所以，C选项，因为，又，所以正确.D选项时不成立；故选：BC.10. 下列命题正确的是（    ）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则”C. “，”是“”成立的充要条件D. 设，则“”是“”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】【分析】A.根据推出关系进行判断；B.全称命题的否定方法：修改量词，否定结论即可；C.根据推出关系进行判断；D.根据推出关系进行判断.【详解】A选项：时，时不能推出，故A正确；B选项：全称命题的否定方法：修改量词，否定结论，故B正确；C选项：时不能推出，，故C错误；D选项：不能推出，能推出，故D正确.故选：ABD.11. 若，，且，则下列不等式恒成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】结合基本不等式对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A选项：由可得，可得，，当且仅当时等号成立，故A正确；B选项：，则，当且仅当时等号成立，故B错误；C选项：，当且仅当时等号成立，故C正确；D选项：，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ACD12. 已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（    ）A. 不等式的解集可以是B. 不等式的解集可以是C. 不等式的解集可以是D. 不等式的解集可以是【答案】AC【解析】【分析】根据与的关系结合判别式分析AC选项；根据时不等式成立分析BD选项.【详解】A选项：，时满足题意，故A正确；B选项：时不等式成立，解集不可能为空，故B错误；C选项：，时，解集恰为，满足题意，故C正确；D选项：时不等式成立，解集中有元素0，故D错误.故选：AC.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 不等式的解集是___________.【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.【详解】不等式可化为，则解集为.故答案为：14. 已知集合，，且，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由可得，根据包含关系列不等式求解即可.【详解】因为，所以，因为集合，，所以实数的取值范围是，故答案：.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.15. 设命题，命题对任意，都有，命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由“真假”和“假真”求得的取值范围.【详解】，所以命题，，所以命题，，有且仅有一个成立，“真假”时，，“假真”时，，则实数的取值范围是.故答案为：16. 若，是方程的两根，且满足，记实数的可能取值集合为，则中所有元素之积为___________.【答案】112【解析】【分析】利用韦达定理及已知解得的值，代入韦达两根之积，可得结果.【详解】由，是方程两根，，，，由可得，则，解得，2，，时，，，设两解，，则，时，，，设两解，，则，时，，，无解.综上中所有的元素之积为.故答案为：112.四､解答题（本大题共6小题，共70分）17. 设，，.（1）写出集合的所有子集；（2）若为非空集合，求的值.【答案】（1），，，（2）的值为3.【解析】【分析】（1）解一元二次方程求得集合元素，由此求得集合的所有子集.（2）根据集合有一个元素或有两个元素进行分类讨论，结合一元二次方程的知识，求得的值.【详解】解析：（1）∴集合的所有子集为，，，（2），∴当集合只有一个元素时，由得，即此时或，不满足.当集合只有两个元素时，由得：.综上可知，的值为.【点睛】本小题主要考查集合子集的求法，考查根据集合的包含关系求参数，考查一元二次方程根、判别式等知识，属于基础题.18. 回答下列问题.（1）正数，满足，求的值.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意解得，的关系，代入所求式子即可得结果.（2）利用偶次根式性质先化简所求的根式，再将代入计算.【详解】（1）由可得，即，则或，由，为正数，可得，则.（2）.19. 设全集，集合，集合，其中.（1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围.（2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】利用充分必要条件的定义将问题转化为两个集合间的包含关系，可得结论.【详解】（1）由题意得到，由“”是“”的充分条件可得，则且，解得，实数的取值范围是.（2）由“”是“”的必要条件可得，，即时，满足题意；，即时，且，解得.综上，实数的取值范围是.20. 某建筑队在一块长的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生公寓，要求定点在地块的对角线上，，分别在边，上.（1）若，宽，求长度和宽度分别为多少米时矩形学生公寓的面积最大？最大值是多少？（2）若矩形的面积为，问学生公寓的面积是否有最大值？若有，求出最大值？若没有，请说明理由.【答案】（1）长度15m，宽度10 m时，矩形学生公寓面积最大，最大值；（2）有，最大值为.【解析】【分析】（1）设，，根据相似三角形求得，结合基本不等式来求最值.（2）利用基本不等式得到，由此求得学生公寓的面积的最值.【详解】（1）设，，则，，由相似可得，，则，则，当且仅当，即，时得到等号，答：长度米，宽度米时，矩形学生公寓面积最大，最大值.（2）同第一问可得，则，即，的面积为时，，则，当且仅当，即，时取等，答：学生公寓的面积有最大值.21. 设二次函数.（1）若，且二次函数的最大值为正数，求的取值范围.（2）若的解集是，求的解集.（3）设二次函数的两个零点分别为，，满足，证明：当时，.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由二次函数在实数集上有最大值，可知其图像开口向下，且计算可得结果.（2）由二次不等式的解集求得，，代入再分类解不等式即可.（3）由题意可得，根据及判断出，再利用作差法结合不等式的性质证明.【详解】（1），时，由最大值为正数可得，，则，的取值范围是.（2）时，，则不等式解集非空，则，2为方程两解，则，，解得，，则，即，即，则，，即时，解集为；，即，解集为；，即时，解集.（3）由二次函数的两个零点分别为，，可得，时，，，则；，由，时，则，由，则，.综上，.22. 已知集合，集合，集合，且集合满足，.（1）求实数的值.（2）对集合，其中.定义由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合和中的元素的个数分别为和，若对任意的总有，则称集合具有性质.①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和.②试判断和的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）（2）①具有性质，不具有性质；，；②，证明见解析.【解析】【分析】（1）由，，可得，从而可求得的值，验证即可得结论；（2）①由（1）求得，，检验性质，即可得到结论；②分别证得和，从而可得．【详解】（1）由，，，，可得，则，则或，时，，不满足，时，，满足题意，综上，.（2）①，具有性质，，，，，但，则不具有性质.②，证明如下：对任意，有，，，则，则，若，则，，则不同对应的不同，则中每个元素在中都能找到不同元素与之对应，则中元素个数不少于中元素个数，对任意，有，，，则，则，若，则，，则不同对应的不同，则中每个元素在中都能找到不同元素与之对应，则中元素个数不少于中元素个数，综上.
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