2022年广东省深圳市南山外国语学校（集团）高新中学中考数学模拟试卷（一）（含解析）

2022年广东省深圳市南山外国语学校（集团）高新中学中考数学模拟试卷（一）

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1.    的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.    年月日，在北京冬奥会自由式女子大跳台金牌决赛中，中国选手谷爱凌以分夺得金牌．北京冬奥会大数据报告显示，这场比赛受到我国超过万人的关注，万这个数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    不等式的解在数轴上的表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.    某书店分别用元和元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进套，根据题意，列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    已知现有的瓶饮料中有瓶已过了保质期，从这瓶饮料中任取瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是(    )

A. 学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B. 车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C. 射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D. 地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”

10. 如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点下列结论：；；；若，则其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. 分解因式：______．
12. 某仓储中心有一斜坡，其坡比：，顶部处的高为米，、在同一水平面上．则斜坡的水平宽度为______米．

13. 如图已知四边形内接于，，则的度数是______．

14. 规定：表示，之间的一种运算．
    现有如下的运算法则：，例如：，，则______．
15. 如图，中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形对角线交于点，连接，已知，，则另一直角边的长为__________．

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16. 计算：．
17. 解不等式组，并写出它的整数解．
18. 为了了解年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：

请根据以上图表中提供的信息，解答下列问题：
本次调查的样本容量为______；
在表中：______，______；
补全频数分布直方图；
参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在______分数段内；
如果比赛成绩分以上含分为优秀，那么你估计该竞赛项目的优秀率大约是______．

19. 如图，是的直径，点为圆上一点，过圆心作弦的垂线，交过点的切线于点，交于点，连接，．
    求证：是的切线；
    若，求阴影部分的面积．

20. 如图，海岛为物资供应处，海上事务处理中心岛在岛的南偏西方向．一艘渔船在行驶到岛正东方向海里的点处时发生故障，同时向、岛发出求助信号，此时渔船在岛南偏东位置．参考数据：，，，，，．
    求点到岛的距离；
    在收到求助信号后，、两岛同时派人员出发增援，由于岛所派快艇装运物资较多，速度比岛所派快艇慢海里小时，若两岛派出的快艇同时到达处，求处所派快艇的速度．

21. 综合与实践
    问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在▱中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明．
    
    独立思考：请解答老师提出的问题；
    实践探究：希望小组受此问题的启发，将▱沿着为的中点所在直线折叠，如图，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明．
    问题解决：智慧小组突发奇想，将▱沿过点的直线折叠，如图，点的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点该小组提出一个问题：若此▱的面积为，边长，，求图中阴影部分四边形的面积请你思考此问题，直接写出结果．
22. 如图，抛物线：与轴交于，两点，且顶点为，直线经过，两点．
    求直线的表达式与抛物线的表达式；
    如图，将抛物线沿射线方向平移一定距离后，得到抛物线为，其顶点为，抛物线与直线的另一交点为，与轴交于，两点点在点右边，若，求点的坐标；
    如图，若抛物线向上平移个单位得到抛物线，正方形的顶点，在轴上，顶点，在轴上方的抛物线上，是射线上一动点，则正方形的边长为______，当______时，有最小值______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
本题考查了倒数，掌握乘积为的两个数互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C．
故选：．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．
本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法运算法则判断，根据合并同类项的运算法则判断，根据完全平方公式判断，根据积的乘方运算法则判断．
本题考查整式的混合运算，掌握积的乘方运算法则，完全平方公式是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
，
将不等式解集表示在数轴上如下：

故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：从表格中的数据可知，乙和丙的平均数大，而且丙的方差较小，故选丙．
故选：．
根据平均数及方差的意义直接求解即可．
本题主要考查平均数及方差的意义，熟练掌握平均数及方差的意义是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设该书店第一次购进套，
根据题意可列方程：，
故选：．
根据“第一次购买的单价第二次购买的单价”可列方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：从这瓶饮料中任取瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率．
故选：．
直接利用概率公式求解．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

9.【答案】 

【解析】解：学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；
B.车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；
C.射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意
D.地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．
故选：．
根据两点确定一条直线，圆的认识，菱形的性质以及矩形的性质进行判断即可．
本题主要考查了圆的认识，中心对称图形的概念，直线的性质，菱形的性质，矩形的性质等知识点，熟记相关的性质或定理即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：动点在反比例函数的图象上，
设，
的中点为，
的图象经过点，
，故正确；
过点作轴交函数的图象于点，
的纵坐标，
把代入得，，
，
，
，故正确；
如图，过点作轴于．

，，，
过点作轴交函数的图象于点，交轴点，
，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
，
，故正确；
，，，
是的中点，
，
，
轴，
，
，
若，则，
，
故正确；
故选：．
设，则的中点为，即可求得，即可判断；表示出的坐标，即可表示出，利用三角形面积公式求得，即可判断；计算出，，即可求得，即可判断；先证得是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边直线的性质，平行线的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先提取公因式，再利用公式法把原式进行因式分解即可．
本题考查的是提公因式法与公式法的综合运用，熟记完全平方公式是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：坡度为：，米，
米，
故答案为：．
根据坡度定义直接解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形内接于，
，
，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据新定义对原式变形为，再计算可得．
本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握理解并掌握定义及有理数的乘方．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的判定，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．过作垂直于，再过作垂直于，由四边形为正方形，得到，为直角，可得出两个角互余，再由为直角三角形，得其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，，利用可得出与全等，由全等三角形的对应边相等可得出，，由三个角为直角的四边形为矩形得到为矩形，根据矩形的对边相等可得出，，等量代换可得出，即为等腰直角三角形，由斜边的长，利用勾股定理求出与的长，根据求出的长，即为的长，由即可求出的长．
【解答】
解：如图所示，过作，过作，

四边形为正方形，
，，
，
又，，
，
在和中，
，
≌，
，，
又，
四边形为矩形，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
则．
故答案为．  

16.【答案】解：

． 

【解析】此题主要考查了绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质、零指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简求出答案．
 

17.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故不等式组的整数解为、、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】；；；； 

【解析】解：此次调查的样本容量为；
；；
如图：

中位数为第个数据和第个数据的平均数，而第个数据和第个数据位于这一组，故中位数位于这一组；
将和这两组的频率相加即可得到优秀率，优秀率为．
利用第一组的频数除以频率即可得到样本容量；
即为组频率，可求出的值；即为组频数，的值；
根据组频数即可补全直方图；
根据中位数定义，找到位于中间位置的两个数所在的组即可．
将比赛成绩分以上的两组数的频率相加即可得到计该竞赛项目的优秀率．
本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频率分布表、中位数等知识，要具有读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

19.【答案】证明：连接，如图所示：
是的切线，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的切线；
解：，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积的面积扇形的面积 

【解析】连接，由切线的性质得，再由垂径定理得，则，然后证≌，得，即可得出结论；
证是等边三角形，得，则，再由含角的直角三角形的性质得，则阴影部分的面积的面积扇形的面积，即可求解．
本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作于点，

设海里，
在中，，，
解得，，
在中，，
解得，
，
解得，
海里．
点到岛的距离约为海里．
设岛所派快艇的速度为海里小时，则岛所派快艇的速度为海里小时，
由题意得，，
解得，
经检验，为原方程的解，且符合题意．
答：岛所派快艇的速度为海里小时． 

【解析】过点作于点，设海里，在中，，，解得，，在中，，解得，则可得，求出的值，进而可得出答案．
根据路程速度时间列出分式方程，即可求解．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题、分式方程的应用，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：结论：．
理由：如图中，如图，作交于．

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
结论：．
理由：连接．

是由翻折得到，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
．

如图中，过点作于，过点作于．

，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】结论：如图中，如图，作交于证明垂直平分线段即可．
结论：证明四边形是平行四边形，可得结论．
如图中，过点作于，过点作于根据，求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

22.【答案】    

【解析】解：直线经过，
，
解得，
直线的表达式为；
由抛物线与轴交于，两点，得抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点的坐标为；
设抛物线的表达式为，则，解得，
抛物线的表达式为，即．
如图，作轴于点，于点，设抛物线的顶点的横坐标为．
抛物线由抛物线沿射线方向平移得到，
，
抛物线的表达式可表示为，
由，得，
解关于的方程，得，，则点、的横坐标分别为、，
，
，
，
；
，
∽，
，
，
，
；
当时，，
．
由得，抛物线的表达式为，
将抛物线向上平移个单位得到的抛物线为，即，
抛物线的表达式为．
由题意可知，正方形与抛物线有相同的对称轴直线，
如图，设，则，
，
解得，不符合题意，舍去，
．
，
正方形的边长为；
将绕点顺时针得到，取的中点，连结、，则点在上，
设，则，
由旋转得，，
，
，
，
，
即，
的最小值为；
如图，当时，则点落在上．
设交于点．
，公共角，
∽，
，
；
，公共边，，
≌，
，
，
，
．
故答案为：，，．
由直线经过求出的值，得到直线的表达式为，再由抛物线与轴交于，两点，得抛物线的对称轴为直线，将代入求出抛物线顶点的坐标，设抛物线的表达式为顶点式求出抛物线的表达式；
由平移后得到的抛物线的顶点仍在直线上，设抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式为，与直线联立方程组求出的值，就是点和点的横坐标，从而求出线段的长，再根据相似三角形的性质求出点的坐标；
先由平移的特征求出抛物线的表达式，再由正方形与抛物线有相同的对称轴求出正方形的边长；将绕点顺时针得到，取的中点，连结、，则点在上，设，则，，由列不等式求出的最小值，由相似三角形的性质求出此时的值．
此题重点考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、平移与旋转的特征等知识和方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线；此题计算较为烦琐，难度也较大，属于考试压轴题．