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九年级数学上学期期末复习培优综合练习+-九年级中考真题（四川雅安）
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这是一份九年级数学上学期期末复习培优综合练习+-九年级中考真题（四川雅安），共30页。
九年级数学上学期期末复习培优综合练习 -九年级中考真题（四川雅安）
一．二次根式有意义的条件（共1小题）
1．（2022•雅安）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
二．二次根式的加减法（共1小题）
2．（2022•雅安）下列计算正确的是（ ）
A．32＝6 B．（﹣）3＝﹣
C．（﹣2a2）2＝2a4 D．+2＝3
三．解一元二次方程-配方法（共1小题）
3．（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
4．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
五．换元法解一元二次方程（共1小题）
5．（2020•雅安）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝ ．
六．根的判别式（共1小题）
6．（2020•雅安）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k
七．根与系数的关系（共1小题）
7．（2021•雅安）已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 ．
八．二次函数的性质（共1小题）
8．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
九．抛物线与x轴的交点（共1小题）
9．（2022•雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
一十．二次函数的应用（共1小题）
10．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
一十一．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
12．（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．
13．（2020•雅安）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
一十二．正方形的性质（共1小题）
14．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
一十三．圆内接四边形的性质（共3小题）
15．（2021•雅安）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．36°
16．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 ．
17．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
一十四．切线的性质（共1小题）
18．（2020•雅安）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（ ）
A．62° B．31° C．28° D．56°
一十五．正多边形和圆（共1小题）
19．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．3
一十六．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
20．（2021•雅安）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣1，﹣3）
一十七．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
21．（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
一十八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
22．（2022•雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A． B． C． D．
一十九．锐角三角函数的定义（共1小题）
23．（2020•雅安）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（ ）
A．8 B．12 C．6 D．12
二十．概率的意义（共1小题）
24．（2021•雅安）下列说法正确的是（ ）
A．一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为
B．一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次就必有1次中奖
C．统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：＝，S甲2＞S乙2，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D．要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式
二十一．概率公式（共3小题）
25．（2022•雅安）从﹣1，0，2中任取两个不同的数求和，则和为正的概率为 ．
26．（2020•雅安）从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为 ．
27．（2020•雅安）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．
（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；
（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；
（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．
二十二．列表法与树状图法（共2小题）
28．（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．
29．（2021•雅安）为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
（1）分别求m，n的值；
（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均成绩；
（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
九年级数学上学期期末复习培优综合练习 -九年级中考真题（四川雅安）
参考答案与试题解析
一．二次根式有意义的条件（共1小题）
1．（2022•雅安）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2，
故选：B．
二．二次根式的加减法（共1小题）
2．（2022•雅安）下列计算正确的是（ ）
A．32＝6 B．（﹣）3＝﹣
C．（﹣2a2）2＝2a4 D．+2＝3
【解答】解：32＝9，故A选项错误；
（﹣）3＝﹣，故B选项错误；
（﹣2a2）2＝4a4，故C选项错误；
+2＝3，故D选项正确．
故选：D．
三．解一元二次方程-配方法（共1小题）
3．（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【解答】解：x2+6x+c＝0，
x2+6x＝﹣c，
x2+6x+9＝﹣c+9，
（x+3）2＝﹣c+9．
∵（x+3）2＝2c，
∴2c＝﹣c+9，解得c＝3，
故选：C．
四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
4．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故选：D．
五．换元法解一元二次方程（共1小题）
5．（2020•雅安）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝ 6 ．
【解答】解：设x2+y2＝t（t≥0）．则
t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0，
解得，t＝6或t＝﹣1（不合题意，舍去）；
故x2+y2＝6．
故答案是：6．
六．根的判别式（共1小题）
6．（2020•雅安）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
故选：C．
七．根与系数的关系（共1小题）
7．（2021•雅安）已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 ．
【解答】解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
八．二次函数的性质（共1小题）
8．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．
∴y＝，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝3．
故选：C．
九．抛物线与x轴的交点（共1小题）
9．（2022•雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣9，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣9），
∴x＝2时，y取最小值﹣9，①正确．
∵x＞2时，y随x增大而增大，
∴y2＞y1，②正确．
将函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，③错误．
令（x﹣2）2﹣9＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴5﹣（﹣1）＝6，④正确．
故选：B．
一十．二次函数的应用（共1小题）
10．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（12，90），（15，75）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+150（10≤x≤21，且x为整数）．
（2）依题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500．
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为500．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
一十一．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3），
∴a•（﹣3）＝﹣3，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）；
（2）存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下：
设点E（1，m），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC2＝10，AE2＝4+m2，CE2＝1+（m+3）2，
当∠EAC＝90°时，
AE2+AC2＝CE2，
∴14+m2＝1+（m+3）2，
∴m＝，
∴E1（1，），
当∠ACE＝90°时，
AC2+CE2＝AE2，
∴11+（m+3）2＝4+m2，
∴m＝﹣，
∴E2（1，﹣），
当∠AEC＝90°时，
AE2+CE2＝AC2，
∴5+m2+（m+3）2＝10，
∴m＝﹣1或﹣2，
∴E3（1，﹣1），E4（1，﹣2），
综上所述：点E（1，）或（1，﹣）或（1，﹣1）或（1，﹣2）；
（3）设AD的中点为I，
∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），
∴AD＝＝2，I（0，﹣2），
∴PA⊥PD，
∴∠ADP＝90°，
∴点P在以AD的中点I为圆心，为半径的圆上，
∵BI＝＝，
∴PB最小＝﹣．
12．（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．
【解答】解：（1）把点A（1，0）代入y＝x2+2bx﹣3b得：1+2b﹣3b＝0，
解得：b＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）如图1，对函数y＝x2+2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（0，﹣3），B（﹣3，0），A（1，0），
∴AB＝4，OB＝OC＝3，BC＝3，
过点Q作QN⊥AB于点N，
∴sin∠NBQ＝sin∠OBC，
∴，
设运动时间为t，则：BQ＝t，AP＝2t，
∴BP＝4﹣2t，，
∴NQ＝，
∴S△BPQ＝，
∴当t＝1时，△BPQ面积的最大值为．
（3）①∵二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象开口向上，
∴当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，x≥1总有y≥0成立（如图2）；
此时△≤0，即（2b）2﹣4（﹣3b）≤0，
解得﹣3≤b≤0；
②当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴有2个交点时，
Δ＝（2b）2﹣4（﹣3b）＞0，可得b＞0或b＜﹣3，
设此时两交点为（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝﹣2b，x1•x2＝﹣3b，
要使x≥1的任意实数x，都有y≥0，需x1≤1，x2≤1，即x1﹣1≤0，x2﹣1≤0（如图3），
∴（x1﹣1）+（x2﹣1）≤0且（x1﹣1）•（x2﹣1）≥0，
∴﹣2b﹣2≤0且﹣3b﹣（﹣2b）+1≥0，
解得﹣1≤b≤1，
∴此时0＜b≤1，
总上所述，对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，则﹣3≤b≤1．
13．（2020•雅安）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c
则有，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0）．
（2）如图1中连接AD，CD．
∵点D到直线AC的距离取得最大，
∴此时△DAC的面积最大，
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），
∵点D在第三象限，
∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴S△ACD＝•DG•OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，
∴当x＝﹣时，S最大＝，点D（﹣，﹣），
∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．
（3）存在．如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），
当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，
x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，
∴N″（2，5）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．
一十二．正方形的性质（共1小题）
14．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
又∵DF＝BE，
∴OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB＝3，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6．
一十三．圆内接四边形的性质（共3小题）
15．（2021•雅安）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．36°
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°，
故选：B．
16．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 144° ．
【解答】解：∵∠DCE＝72°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，
故答案为：144°．
17．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
方法二
（2）∵BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC，
∵∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠EBD＝∠EDB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD＝3，
∴DE＝AE+AD＝5，
∴△BDE的面积＝＝
一十四．切线的性质（共1小题）
18．（2020•雅安）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（ ）
A．62° B．31° C．28° D．56°
【解答】解：连接OC，如图，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
而∠POC＝∠A+∠OCA，
∴∠A＝×62°＝31°．
故选：B．
一十五．正多边形和圆（共1小题）
19．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．3
【解答】解：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，OG⊥CD，
∴∠COG＝30°，
∵⊙O的周长等于6π，
∴OC＝3，
∴OG＝3cos30°＝，
故选：C．
一十六．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
20．（2021•雅安）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣1，﹣3）
【解答】解：点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点A'的坐标是（3，﹣1），
故选：C．
一十七．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
21．（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则
∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，
解得a＝﹣6，b＝2，
∴ab＝﹣12．
故选：D．
一十八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
22．（2022•雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝．
故选：D．
一十九．锐角三角函数的定义（共1小题）
23．（2020•雅安）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（ ）
A．8 B．12 C．6 D．12
【解答】解：法一、在Rt△ACB中，
∵sinB＝＝＝0.5，
∴AB＝12．
∴BC＝
＝
＝6．
故选：C．
法二、在Rt△ACB中，
∵sinB＝0.5，
∴∠B＝30°．
∵tanB＝＝＝，
∴BC＝6．
故选：C．
二十．概率的意义（共1小题）
24．（2021•雅安）下列说法正确的是（ ）
A．一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为
B．一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次就必有1次中奖
C．统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：＝，S甲2＞S乙2，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D．要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式
【解答】解：A、一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为，故原命题错误，不符合题意；
B、一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次可能有1次中奖，也可能不中奖或全中奖，故原命题错误，不符合题意；
C、统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：＝，S甲2＞S乙2，说明甲的数学成绩不如乙的数学成绩稳定，故原命题错误，不符合题意；
D、要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式，正确，符合题意，
故选：D．
二十一．概率公式（共3小题）
25．（2022•雅安）从﹣1，0，2中任取两个不同的数求和，则和为正的概率为 ．
【解答】解：﹣1+0＝﹣1，﹣1+2＝1，0+2＝2，
由上可得，任取两个不同的数求和一共有3种可能性，其中和为正可能性有2种，
∴从﹣1，0，2中任取两个不同的数求和，则和为正的概率为，
故答案为：．
26．（2020•雅安）从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为 ．
【解答】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，
∴使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为，
故答案为：．
27．（2020•雅安）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．
（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；
（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；
（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．
【解答】解：（1）∵成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有3人，占抽查人数的15%，
∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20（人），
则成绩在100～110分的学生人数m＝20﹣（2+3+7+3）＝5；
（2）这名学生成绩为优秀的概率为＝；
（3）估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300×＝120（人）．
二十二．列表法与树状图法（共2小题）
28．（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．
【解答】解：（1）50﹣20﹣25﹣2＝3（户），
即这50户家庭中5月用水量在20～30t的有3户；
（2）＝12.4（t），
即估计该小区平均每户用水量约为12.4t；
（3）由（1）知：用水量在20～30t有3户，
由条形统计图可知，用水量在30～40t有2户，
设水量在20～30t的用户用A表示，用水量在30～40t的用户用B表示，
树状图如下所示，
由上可得，一共有20种可能性，其中至少有1户用水量在30～40t的有14种可能性，
∴至少有1户用水量在30～40t的概率是＝．
29．（2021•雅安）为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
（1）分别求m，n的值；
（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均成绩；
（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
【解答】解：（1）由题意得：n＝20×20%＝4，
则m＝20﹣2﹣9﹣4＝5，
（2）（65×2+75×5+85×9+95×4）＝82.5（分），
即估计全校学生的平均成绩为82.5分；
（3）A组有2名学生，D组有4名学生，
画树状图如图：
共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，
∴抽取的2名学生都在D组的概率为＝．
九年级数学上学期期末复习培优综合练习 -九年级中考真题（四川雅安）
一．二次根式有意义的条件（共1小题）
1．（2022•雅安）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
二．二次根式的加减法（共1小题）
2．（2022•雅安）下列计算正确的是（ ）
A．32＝6 B．（﹣）3＝﹣
C．（﹣2a2）2＝2a4 D．+2＝3
三．解一元二次方程-配方法（共1小题）
3．（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
4．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
五．换元法解一元二次方程（共1小题）
5．（2020•雅安）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝ ．
六．根的判别式（共1小题）
6．（2020•雅安）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k
七．根与系数的关系（共1小题）
7．（2021•雅安）已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 ．
八．二次函数的性质（共1小题）
8．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
九．抛物线与x轴的交点（共1小题）
9．（2022•雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
一十．二次函数的应用（共1小题）
10．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
一十一．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
12．（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．
13．（2020•雅安）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
一十二．正方形的性质（共1小题）
14．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
一十三．圆内接四边形的性质（共3小题）
15．（2021•雅安）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．36°
16．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 ．
17．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
一十四．切线的性质（共1小题）
18．（2020•雅安）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（ ）
A．62° B．31° C．28° D．56°
一十五．正多边形和圆（共1小题）
19．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．3
一十六．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
20．（2021•雅安）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣1，﹣3）
一十七．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
21．（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
一十八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
22．（2022•雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A． B． C． D．
一十九．锐角三角函数的定义（共1小题）
23．（2020•雅安）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（ ）
A．8 B．12 C．6 D．12
二十．概率的意义（共1小题）
24．（2021•雅安）下列说法正确的是（ ）
A．一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为
B．一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次就必有1次中奖
C．统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：＝，S甲2＞S乙2，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D．要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式
二十一．概率公式（共3小题）
25．（2022•雅安）从﹣1，0，2中任取两个不同的数求和，则和为正的概率为 ．
26．（2020•雅安）从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为 ．
27．（2020•雅安）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．
（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；
（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；
（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．
二十二．列表法与树状图法（共2小题）
28．（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．
29．（2021•雅安）为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
（1）分别求m，n的值；
（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均成绩；
（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
九年级数学上学期期末复习培优综合练习 -九年级中考真题（四川雅安）
参考答案与试题解析
一．二次根式有意义的条件（共1小题）
1．（2022•雅安）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2，
故选：B．
二．二次根式的加减法（共1小题）
2．（2022•雅安）下列计算正确的是（ ）
A．32＝6 B．（﹣）3＝﹣
C．（﹣2a2）2＝2a4 D．+2＝3
【解答】解：32＝9，故A选项错误；
（﹣）3＝﹣，故B选项错误；
（﹣2a2）2＝4a4，故C选项错误；
+2＝3，故D选项正确．
故选：D．
三．解一元二次方程-配方法（共1小题）
3．（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【解答】解：x2+6x+c＝0，
x2+6x＝﹣c，
x2+6x+9＝﹣c+9，
（x+3）2＝﹣c+9．
∵（x+3）2＝2c，
∴2c＝﹣c+9，解得c＝3，
故选：C．
四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
4．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故选：D．
五．换元法解一元二次方程（共1小题）
5．（2020•雅安）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝ 6 ．
【解答】解：设x2+y2＝t（t≥0）．则
t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0，
解得，t＝6或t＝﹣1（不合题意，舍去）；
故x2+y2＝6．
故答案是：6．
六．根的判别式（共1小题）
6．（2020•雅安）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
故选：C．
七．根与系数的关系（共1小题）
7．（2021•雅安）已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 ．
【解答】解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
八．二次函数的性质（共1小题）
8．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．
∴y＝，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝3．
故选：C．
九．抛物线与x轴的交点（共1小题）
9．（2022•雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣9，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣9），
∴x＝2时，y取最小值﹣9，①正确．
∵x＞2时，y随x增大而增大，
∴y2＞y1，②正确．
将函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，③错误．
令（x﹣2）2﹣9＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴5﹣（﹣1）＝6，④正确．
故选：B．
一十．二次函数的应用（共1小题）
10．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（12，90），（15，75）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+150（10≤x≤21，且x为整数）．
（2）依题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500．
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为500．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
一十一．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3），
∴a•（﹣3）＝﹣3，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）；
（2）存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下：
设点E（1，m），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC2＝10，AE2＝4+m2，CE2＝1+（m+3）2，
当∠EAC＝90°时，
AE2+AC2＝CE2，
∴14+m2＝1+（m+3）2，
∴m＝，
∴E1（1，），
当∠ACE＝90°时，
AC2+CE2＝AE2，
∴11+（m+3）2＝4+m2，
∴m＝﹣，
∴E2（1，﹣），
当∠AEC＝90°时，
AE2+CE2＝AC2，
∴5+m2+（m+3）2＝10，
∴m＝﹣1或﹣2，
∴E3（1，﹣1），E4（1，﹣2），
综上所述：点E（1，）或（1，﹣）或（1，﹣1）或（1，﹣2）；
（3）设AD的中点为I，
∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），
∴AD＝＝2，I（0，﹣2），
∴PA⊥PD，
∴∠ADP＝90°，
∴点P在以AD的中点I为圆心，为半径的圆上，
∵BI＝＝，
∴PB最小＝﹣．
12．（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．
【解答】解：（1）把点A（1，0）代入y＝x2+2bx﹣3b得：1+2b﹣3b＝0，
解得：b＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）如图1，对函数y＝x2+2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（0，﹣3），B（﹣3，0），A（1，0），
∴AB＝4，OB＝OC＝3，BC＝3，
过点Q作QN⊥AB于点N，
∴sin∠NBQ＝sin∠OBC，
∴，
设运动时间为t，则：BQ＝t，AP＝2t，
∴BP＝4﹣2t，，
∴NQ＝，
∴S△BPQ＝，
∴当t＝1时，△BPQ面积的最大值为．
（3）①∵二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象开口向上，
∴当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，x≥1总有y≥0成立（如图2）；
此时△≤0，即（2b）2﹣4（﹣3b）≤0，
解得﹣3≤b≤0；
②当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴有2个交点时，
Δ＝（2b）2﹣4（﹣3b）＞0，可得b＞0或b＜﹣3，
设此时两交点为（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝﹣2b，x1•x2＝﹣3b，
要使x≥1的任意实数x，都有y≥0，需x1≤1，x2≤1，即x1﹣1≤0，x2﹣1≤0（如图3），
∴（x1﹣1）+（x2﹣1）≤0且（x1﹣1）•（x2﹣1）≥0，
∴﹣2b﹣2≤0且﹣3b﹣（﹣2b）+1≥0，
解得﹣1≤b≤1，
∴此时0＜b≤1，
总上所述，对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，则﹣3≤b≤1．
13．（2020•雅安）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c
则有，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0）．
（2）如图1中连接AD，CD．
∵点D到直线AC的距离取得最大，
∴此时△DAC的面积最大，
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），
∵点D在第三象限，
∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴S△ACD＝•DG•OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，
∴当x＝﹣时，S最大＝，点D（﹣，﹣），
∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．
（3）存在．如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），
当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，
x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，
∴N″（2，5）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．
一十二．正方形的性质（共1小题）
14．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
又∵DF＝BE，
∴OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB＝3，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6．
一十三．圆内接四边形的性质（共3小题）
15．（2021•雅安）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．36°
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°，
故选：B．
16．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 144° ．
【解答】解：∵∠DCE＝72°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，
故答案为：144°．
17．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
方法二
（2）∵BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC，
∵∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠EBD＝∠EDB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD＝3，
∴DE＝AE+AD＝5，
∴△BDE的面积＝＝
一十四．切线的性质（共1小题）
18．（2020•雅安）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（ ）
A．62° B．31° C．28° D．56°
【解答】解：连接OC，如图，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
而∠POC＝∠A+∠OCA，
∴∠A＝×62°＝31°．
故选：B．
一十五．正多边形和圆（共1小题）
19．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．3
【解答】解：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，OG⊥CD，
∴∠COG＝30°，
∵⊙O的周长等于6π，
∴OC＝3，
∴OG＝3cos30°＝，
故选：C．
一十六．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
20．（2021•雅安）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣1，﹣3）
【解答】解：点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点A'的坐标是（3，﹣1），
故选：C．
一十七．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
21．（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则
∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，
解得a＝﹣6，b＝2，
∴ab＝﹣12．
故选：D．
一十八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
22．（2022•雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝．
故选：D．
一十九．锐角三角函数的定义（共1小题）
23．（2020•雅安）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（ ）
A．8 B．12 C．6 D．12
【解答】解：法一、在Rt△ACB中，
∵sinB＝＝＝0.5，
∴AB＝12．
∴BC＝
＝
＝6．
故选：C．
法二、在Rt△ACB中，
∵sinB＝0.5，
∴∠B＝30°．
∵tanB＝＝＝，
∴BC＝6．
故选：C．
二十．概率的意义（共1小题）
24．（2021•雅安）下列说法正确的是（ ）
A．一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为
B．一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次就必有1次中奖
C．统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：＝，S甲2＞S乙2，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D．要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式
【解答】解：A、一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为，故原命题错误，不符合题意；
B、一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次可能有1次中奖，也可能不中奖或全中奖，故原命题错误，不符合题意；
C、统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：＝，S甲2＞S乙2，说明甲的数学成绩不如乙的数学成绩稳定，故原命题错误，不符合题意；
D、要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式，正确，符合题意，
故选：D．
二十一．概率公式（共3小题）
25．（2022•雅安）从﹣1，0，2中任取两个不同的数求和，则和为正的概率为 ．
【解答】解：﹣1+0＝﹣1，﹣1+2＝1，0+2＝2，
由上可得，任取两个不同的数求和一共有3种可能性，其中和为正可能性有2种，
∴从﹣1，0，2中任取两个不同的数求和，则和为正的概率为，
故答案为：．
26．（2020•雅安）从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为 ．
【解答】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，
∴使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为，
故答案为：．
27．（2020•雅安）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．
（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；
（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；
（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．
【解答】解：（1）∵成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有3人，占抽查人数的15%，
∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20（人），
则成绩在100～110分的学生人数m＝20﹣（2+3+7+3）＝5；
（2）这名学生成绩为优秀的概率为＝；
（3）估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300×＝120（人）．
二十二．列表法与树状图法（共2小题）
28．（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．
【解答】解：（1）50﹣20﹣25﹣2＝3（户），
即这50户家庭中5月用水量在20～30t的有3户；
（2）＝12.4（t），
即估计该小区平均每户用水量约为12.4t；
（3）由（1）知：用水量在20～30t有3户，
由条形统计图可知，用水量在30～40t有2户，
设水量在20～30t的用户用A表示，用水量在30～40t的用户用B表示，
树状图如下所示，
由上可得，一共有20种可能性，其中至少有1户用水量在30～40t的有14种可能性，
∴至少有1户用水量在30～40t的概率是＝．
29．（2021•雅安）为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
（1）分别求m，n的值；
（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均成绩；
（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
【解答】解：（1）由题意得：n＝20×20%＝4，
则m＝20﹣2﹣9﹣4＝5，
（2）（65×2+75×5+85×9+95×4）＝82.5（分），
即估计全校学生的平均成绩为82.5分；
（3）A组有2名学生，D组有4名学生，
画树状图如图：
共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，
∴抽取的2名学生都在D组的概率为＝．
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