九年级数学上学期期末复习培优综合练习5+-华东师大版九年级21-29章【中考真题】（四川资阳）

这是一份九年级数学上学期期末复习培优综合练习5+-华东师大版九年级21-29章【中考真题】（四川资阳），共35页。试卷主要包含了，其对称轴与x轴交于点D等内容，欢迎下载使用。

九年级数学上学期期末复习培优综合练习5 -华东师大版九年级21-29章【中考真题】（四川资阳）
一．一元二次方程的解（共1小题）
1．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　 　．
二．根的判别式（共1小题）
2．（2020•资阳）关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是　 　．
三．二次函数图象与系数的关系（共3小题）
3．（2022•资阳）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2021•资阳）已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（　　）
A．﹣4≤a＜﹣ B．﹣4≤a≤﹣ C．﹣≤a＜0 D．﹣＜a＜0
5．（2020•资阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，其中点A在点（3，0）的右侧，直线y＝﹣x+c经过A、B两点．给出以下四个结论：①b＞0；②c＞；③3a+2b+c＞0；④＜a＜0，其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
四．二次函数综合题（共3小题）
6．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2021•资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连结CN．当D'N+CN的值最小时，求MN的长．
8．（2020•资阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点C的坐标是（6，﹣4），它的图象经过点A（4，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，且点E、F在运动过程中始终保持DF⊥OE，垂足为点N，连接CN，当CN最短时，求点N的坐标；
（3）连接AC（若点P是x轴下方抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，使PM、CM的长度是2倍关系．若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

五．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
9．（2020•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D是AB的中点，连接CD，将△BCD沿射线CA方向平移，在此过程中，△BCD的边CD与Rt△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，当△AEF的面积是Rt△ABC面积的时，则△BCD平移的距离是　 　．

六．切线的性质（共1小题）
10．（2022•资阳）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是 　 　度．

七．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2021•资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，tanE＝，求AF的长．

八．扇形面积的计算（共2小题）
12．（2020•资阳）如图，△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC＝2．将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为（　　）

A． B．π C． D．2π
13．（2021•资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝cm以点B为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2．

九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
14．（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔与水平地面垂直，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．

15．（2020•资阳）”毗河引水工程”能解决我市大部分地区严重缺水的问题．如图中，BC是该工程修建的一条引水渡槽，为测量它的长度，某人将无人机放飞到点A处测得渡槽端点B的俯角是60°后，再沿俯角30°的方向飞行400米到达点D处，此时测得渡槽端点B和端点C的俯角分别为14°和45°（点A、B、C、D在同一平面内）．（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
（1）求无人机从点A处飞到点D处下降的垂直高度和水平距离（结果保留根号）；
（2）求渡槽BC的长度（计算结果精确到0.1米）．

一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
16．（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）

一十一．概率公式（共3小题）
17．（2022•资阳）投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的概率是 　 　．
18．（2021•资阳）将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为 　 　．
19．（2020•资阳）在一个不透明的口袋里装有除颜色不同外，其余都相同的4个红球和若干个绿球，袋中的球已被搅匀，若从中任意取出一个小球为绿球的概率是，则口袋里绿球个数是 　 　个．
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
20．（2022•资阳）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
21．（2021•资阳）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；
（2）若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．
22．（2020•资阳）某市为了解垃圾分类投放工作的落实情况，在全市范围内对部分社区进行抽查，抽查结果分为：A（优秀）、B（良好）、C（一般）、D（较差）四个等级，现将抽查结果绘制成如图所示的统计图．（注：该市将垃圾分为干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾共四类）
（1）本次共抽查了　 　个社区，C（一般）所在扇形的圆心角的度数是　 　度，并补全直方图；
（2）若全市共有120个社区，请估计达到良好及以上的社区有多少个？
（3）小明和他的妈妈将分好类的四种垃圾每人各提两袋去分类投放，请用树状图或列表法求小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是多少？


九年级数学上学期期末复习培优综合练习5 -华东师大版九年级21-29章【中考真题】（四川资阳）
参考答案与试题解析
一．一元二次方程的解（共1小题）
1．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　6　．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
二．根的判别式（共1小题）
2．（2020•资阳）关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是　﹣2　．
【解答】解：根据题意得a+1≠0且Δ＝b2﹣4×（a+1）＝0，即b2﹣4a﹣4＝0，
∴b2﹣4a＝4，
所以原式＝﹣2（b2﹣4a）+6＝﹣2×4+6＝﹣2，
故答案为﹣2．
三．二次函数图象与系数的关系（共3小题）
3．（2022•资阳）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1），
∴，c＝1，
∴ab＞0，
∴abc＞0，故①正确；
从图中可以看出，当x＝﹣1时，函数值大于1，
因此将x＝﹣1代入得，（﹣1）2⋅a+（﹣1）⋅b+c＞1，
即a﹣b+c＞1，故②正确；
∵，
∴b＝2a，
从图中可以看出，当x＝1时，函数值小于0，
∴a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，2），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，
将（0，1）代入得，1＝a+2，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+2，
∴当x＝1时，y＝﹣2；
∴根据二次函数的对称性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
4．（2021•资阳）已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（　　）
A．﹣4≤a＜﹣ B．﹣4≤a≤﹣ C．﹣≤a＜0 D．﹣＜a＜0
【解答】解：由题意，抛物线的顶点（1，2），
又∵线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．
∴开口向下，
∴a＜0，

当抛物线y＝a（x﹣1）2+2经过点A（3，﹣4）时，﹣4＝4a+2，
∴a＝﹣，
观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点A时，满足条件，
∴﹣≤a＜0．
故选：C．
5．（2020•资阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，其中点A在点（3，0）的右侧，直线y＝﹣x+c经过A、B两点．给出以下四个结论：①b＞0；②c＞；③3a+2b+c＞0；④＜a＜0，其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，故①正确；
∵直线y＝﹣x+c经过点A，点A在点（3，0）的右侧，
∴﹣+c＞0，
∴c＞，故②正确；
∵a＜0，c＞0，b＝﹣2a，
∴3a+2b+c＝3a﹣4a+c＝﹣a+c＞0，故③正确；
由图象可知，当x＝3时，9a+3b+c＞﹣+c，
∴9a+3b＞﹣，
∴3a＞﹣，
∴a＞﹣，
∴＜a＜0，故④正确；
故选：D．
四．二次函数综合题（共3小题）
6．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为A（1，4），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，
又∵B（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4（或y＝﹣x2+2x+3）；
（2）①∵点P在x轴正半轴上，
∴m＞0，
∴BP＝m+1，
由旋转可得：BD＝2BP，
∴BD＝2（m+1），
过点A（1，4）作AE⊥x轴于点E，
∴BE＝2，AE＝4，
在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2＝22+42＝20，
当四边形ABCD为矩形时，AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠BEA＝90°，
又∠ABE＝∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB2＝BE⋅BD，
∴4（m+1）＝20，
解得m＝4；

②由题可得点A（1，4）与点C关于点P（4，0）成中心对称，
∴C（7，﹣4），
∵点M在直线x＝4上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（﹣4，y1）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y1＝﹣21，
∴Q（﹣4，﹣21），
2）当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（12，y2）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y2＝﹣117，
∴Q（12，﹣117），
3）当以BC为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（2，y3）代入y＝﹣x2+2x+3，
得：y3＝3，
∴Q（2，3），
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）．
7．（2021•资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连结CN．当D'N+CN的值最小时，求MN的长．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T，过点P作PQ∥OC交AC于Q．

设P（m，﹣m2+2m+3），
对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，可得x＝3或﹣1，
∴A（3，0），
∵C（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∵B（﹣1，0），
∴T（﹣1，4），
∴BT＝4，
∵PQ∥OC，
∴Q（m，﹣m+3），
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵PQ∥BT，
∴＝＝，
∴﹣m2+3m＝2，
解得m＝1或2，
∴P（1，4）或（2，3）．

（3）如图2中，连接AD′，过点N作NJ⊥AD′于J，过点C作CT⊥AD′于T．

∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∵C（0，3），
∴直线CD的解析式为y＝x+3，CD＝，
∵DD′＝2CD，
∵DD′＝2，CD′＝3，
∴D′（3，6），
∵A（3，0），
∴AD′⊥x轴，
∴OD′＝＝＝3，
∴sin∠OD′A＝＝，
∵CT⊥AD′，
∴CT＝3，
∵NJ⊥AD′，
∴NJ＝ND′•sin∠OD′A＝D′N，
∴D'N+CN＝CN+NJ，
∵CN+NJ≥CT，
∴D'N+CN≥3，
∴D'N+CN的最小值为3，
此时N为OD'与CT的交点，
∴N（1.5，3），
∵平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+6，MN平行y轴，将x＝1.5代入抛物线解析式，
∴M（1.5，3.75），
∴MN＝0.75
8．（2020•资阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点C的坐标是（6，﹣4），它的图象经过点A（4，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，且点E、F在运动过程中始终保持DF⊥OE，垂足为点N，连接CN，当CN最短时，求点N的坐标；
（3）连接AC（若点P是x轴下方抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，使PM、CM的长度是2倍关系．若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2﹣4，
∵图象经过点A（4，0），
∴a（4﹣6）2﹣4＝0，
∴a＝1，
∴y＝（x﹣6）2﹣4＝x2﹣12x+32，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣12x+32；
（2）如图1，
∵点E、F在运动过程中始终保持DF⊥OE，
∴点N是以OD为直径的圆上的一动点，
设以OD为直径的圆的圆心为点G，连接CG，交⊙G于点N'，此时CN'即为最短的CN，过点N'作N'B⊥x轴于点B，

由已知得OD＝6，CD＝4，
∴GD＝3，CG＝5，
∵N'B⊥x轴，CD⊥x轴，
∴N'B∥CD，
∴△GBN'∽△GDC，
∴，
∴N'B＝，GB＝，
∴OB＝OG+GB
＝3+
＝，
∴点N的坐标为（，﹣）；
（3）存在点P，使PM、CM的长度是2倍关系．
∵A（4，0），D（6，0），
∴AD＝2，
∵，∠ADC＝90°，
∴当PM、CM的长度是2倍关系时，△PCM与△ACD相似．
①当点P在抛物线的对称轴的右侧时，PM＝2CM，△PCM∽△CAD，
如图2，延长CP交x轴于点Q，此时∠QCA＝∠QAC，
∴QA＝QC，
∴QA2＝QC2，
设Q（m，0），则（m﹣4）2＝（m﹣6）2+42，
解得m＝9，
∴Q（9，0），
设直线CQ的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（6，﹣4），Q（9，0）代入，得：
，
解得，
∴y＝x﹣12，
联立，
解得（舍去），，
∴点P（，﹣）；

②当点P在抛物线对称轴的左侧时，CM＝2PM，△PCM∽△ACD，
如图3，过点A作AH⊥AC，交CP的延长线于点H，过点H作HK⊥x轴，交x轴于点K，
由勾股定理得AC＝＝2，
∵AH⊥AC，PM⊥AC，
∴AH∥PM，
∴△PCM∽△HCA，
∵△PCM∽△ACD，
∴△HCA∽△ACD，
∴＝，
∴，
∴AH＝，
∵HK⊥x轴，AH⊥AC，
∴∠HKA＝∠ADC＝∠HAC＝90°，
∴∠KAH+∠AHK＝90°，∠CAD+∠KAH＝90°，
∴∠AHK＝∠CAD，
∴△AHK∽△CAD，
∴，
∴，
∴AK＝2，KH＝1，
∴H（2，﹣1），
设直线CH的解析式为y＝mx+n（m≠0），将C（6，﹣4），H（2，﹣1）代入，得：
，
解得，
∴直线CH的解析式为y＝﹣x+，
联立，
解得（舍去），，
∴点P（，﹣）；

综上所述，满足条件的点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
五．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
9．（2020•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D是AB的中点，连接CD，将△BCD沿射线CA方向平移，在此过程中，△BCD的边CD与Rt△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，当△AEF的面积是Rt△ABC面积的时，则△BCD平移的距离是　2﹣　．

【解答】解：∵D是AB的中点，
∴S△ACD＝S△ABC，
∵△AEF的面积是Rt△ABC面积的，
∴△AEF的面积是△ADC面积的，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴＝（）2＝，即＝，
∴AF＝，
∴CF＝2﹣，
∴△BCD平移的距离是2﹣，
故答案为2﹣．
六．切线的性质（共1小题）
10．（2022•资阳）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是 　35　度．

【解答】解：∵AB为直径，
∴∠C＝90°，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝55°，
∵AD与⊙O相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．
故答案为：35．
七．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2021•资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，tanE＝，求AF的长．

【解答】证明：（1）如图，连接OD，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴AC∥OD，
∴∠DFC＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠DFC＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AC＝6＝AB，
∴AO＝OB＝3＝OD，
∵OD⊥DE，tanE＝，
∴＝，
∴DE＝4，
∴OE＝＝＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝2，
∵AC∥OD，
∴△AEF∽△OED，
∴，
∴，
∴AF＝．
八．扇形面积的计算（共2小题）
12．（2020•资阳）如图，△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC＝2．将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为（　　）

A． B．π C． D．2π
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90o，AC＝BC＝2，由勾股定理得：AB＝＝2，
∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，
∴∠CAC1＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S+S﹣S△ACB﹣S
＝+2×2﹣2×2﹣
＝π，
故选：B．
13．（2021•资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝cm以点B为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，则图中阴影部分的面积为 　（﹣π）　cm2．

【解答】解：如图，连接BE．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝cm，∠C＝∠ABC＝90°，CD∥AB，
在Rt△BCE中，
∵AB＝BE＝2cm，BC＝cm，
∴EC＝＝1cm，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠BEC＝60°，
∴S阴＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S扇形AEB，
＝2﹣×1×﹣•π•22，
＝（﹣π）cm2．
故答案为：（﹣π）．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
14．（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔与水平地面垂直，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．

【解答】解：（1）如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，
∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
∴＝，
即＝，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，
CM2+DM2＝CD2，
即（5k）2+（12k）2＝132，
解得k＝1，
∴DM＝5（米），CM＝12（米），
答：D处的竖直高度为5米；
（2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
设DE＝12a米，则BE＝5a米，
又∵∠ACF＝45°，
∴AF＝CF＝（12+12a）米，
∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，
在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，
∵tan∠ADE＝tan53°≈，
∴≈，
解得a＝，
∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），
BE＝5a＝（米），
∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米），
答：基站塔AB的高为米．

15．（2020•资阳）”毗河引水工程”能解决我市大部分地区严重缺水的问题．如图中，BC是该工程修建的一条引水渡槽，为测量它的长度，某人将无人机放飞到点A处测得渡槽端点B的俯角是60°后，再沿俯角30°的方向飞行400米到达点D处，此时测得渡槽端点B和端点C的俯角分别为14°和45°（点A、B、C、D在同一平面内）．（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
（1）求无人机从点A处飞到点D处下降的垂直高度和水平距离（结果保留根号）；
（2）求渡槽BC的长度（计算结果精确到0.1米）．

【解答】解：（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点D作DE⊥AF于点E，

在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝400米，
∴AE＝AD•sin30°＝200米，
DE＝AD•cos30°＝200米．
答：无人机从点A处飞到点D处下降的垂直高度为200米，水平距离为200米；
（2）过点D作DG⊥BC于点G，设DG＝x，
∴CG＝DG＝x，
在Rt△DBG中，∠DBG＝14°，
∴BG＝＝≈＝4x，
∵四边形EFGD是矩形，
∴EF＝DG＝x，FG＝DE＝200，
∴BF＝200﹣4x，
AF＝AE+EF＝200+x，
在Rt△AFB中，∠ABF＝60°，
∴tan∠ABF＝＝，
∴x＝50.38，
∴BC＝5x≈251.9（米）．
答：渡槽BC的长度为251.9米．
一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
16．（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）

【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△ADC中，
∴（米），
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，

∵AB是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴，
在Rt△BDE中，
∴，
∴（米），
答：隧道AB的长为米．
一十一．概率公式（共3小题）
17．（2022•资阳）投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的概率是 　　．
【解答】解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6，骰子共有6面，
∴朝上的数字为偶数的概率为：．
故答案为：．
18．（2021•资阳）将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为 　　．
【解答】解：∵一共有2+4+6＝12本书籍，其中文学类有4本，
∴小陈从中随机抽取一本，抽中文学类的概率为＝，
故答案为：．
19．（2020•资阳）在一个不透明的口袋里装有除颜色不同外，其余都相同的4个红球和若干个绿球，袋中的球已被搅匀，若从中任意取出一个小球为绿球的概率是，则口袋里绿球个数是 　2　个．
【解答】解：设袋中的绿球个数为x个，
∴＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
∴袋中绿球的个数2个；
故答案为：2．
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
20．（2022•资阳）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：80÷40%＝200（人），
则科普类的学生人数为：200﹣40﹣50﹣80＝30（人），
补全条形统计图如下：

（2）愿意参加劳动社团的学生人数为：（人）；
（3）把阅读、美术、劳动社团分别记为A、B、C，
画出树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，
∴甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为．
21．（2021•资阳）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；
（2）若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．
【解答】解：（1）调查的职工人数为：150÷75%＝200（人），
∴C类职工所对应扇形的圆心角度数为：360°×＝27°，
A类的人数为200﹣150﹣15﹣5＝30（人），
补全条形统计图如下：

（2）画树状图如图：

共有20种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有12种，
∴恰好抽到一名女士和一名男士的概率为＝．
22．（2020•资阳）某市为了解垃圾分类投放工作的落实情况，在全市范围内对部分社区进行抽查，抽查结果分为：A（优秀）、B（良好）、C（一般）、D（较差）四个等级，现将抽查结果绘制成如图所示的统计图．（注：该市将垃圾分为干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾共四类）
（1）本次共抽查了　20　个社区，C（一般）所在扇形的圆心角的度数是　36　度，并补全直方图；
（2）若全市共有120个社区，请估计达到良好及以上的社区有多少个？
（3）小明和他的妈妈将分好类的四种垃圾每人各提两袋去分类投放，请用树状图或列表法求小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是多少？

【解答】解：（1）本次共抽查的社区有：10÷50%＝20（个），
C（一般）的社区有：20﹣10﹣6﹣2＝2（个），
C（一般）所在扇形的圆心角的度数是：360°×＝36°，
补全统计图如下：

故答案为：20，36；

（2）120×＝96（个），
答：达到良好及以上的社区有96个．

（3）将干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾分别用A、B、C、D表示，根据题意画图如下：

共有12种等可能的情况数，其中小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的有2种，
则小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是＝．