2022-2023学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）开门考数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）开门考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 年月日，我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是米．将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式，化简后能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击次，成绩单位：环统计如表：

若从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5. 如图，已知，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 一次函数的图象不经过的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7. 为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有个社区，第二季度已有个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则下面所列方程正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在矩形中，，，为上一点，平分，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 已知一组数据为，，，，，，则这组数据的众数为______．
12. 若分式有意义，则的取值范围是______．
13. 中，斜边，则的值为______．
14. 如图，直线与交于点，则不等式的解集为______．

15. 如图，的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积是______．

16. 如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点，的面积的面积；；；以上说法正确的是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：．
18. 解不等式组：．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，，是上两点，且，点，，在同一直线上，且，求证：≌．

21. 如图，在中，为钝角．
    尺规作图：在边上确定一点，使不写作法，保留作图痕迹，并标明字母；
    在的条件下，若，，，，求的面积．

22. 新世纪百货茶江商都统计了名营业员在某月的销售额，统计图如图，根据统计图中给出的信息，解答下列问题：
    设营业员的月销售额为单位：万元，商场规定：当时为不称职，当时为基本称职，当为称职，当时为优秀．称职和优秀的营业员共有的人数为______．
    根据中规定，所有称职以上称职和优秀的营业员月销售额的中位数为______，平均数是多少？写出计算平均数的解答过程
    为了调动营业员的工作积极性，决定制定月销售额奖励标准，凡到达或超过这个标准的营业员将受到奖励．如果要使得称职以上称职和优秀的营业员有一半能获奖，你认为这个奖励标准应定月销售额为多少元合适？并简述其理由．

23. 成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的倍，且用元购买的防晒帐篷比用元购买的普通帐篷多件．
    求防晒帐篷和普通帐篷的采购价；
    小明准备拿出元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购件，普通帐篷采购件．
    用含的式子表示；
    经过市场调研，小明决定将防晒帐篷售价定为元件，普通帐篷售价定为元件．若采购的普通帐篷不超过件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，请你为小明制定采购方案并求出最大利润．
24. 已知为等边三角形，其边长为点是边上一动点，连接．
    如图，点在边上且，连接交于点．
    求证：；
    求的度数．
    如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接交于点设，，求与的函数关系式．
     

25. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，连接，．
    求这个二次函数的表达式及点坐标；
    点是上方抛物线上的动点，
    当，求点的坐标；
    过点作，交轴于点，求的最大值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数．
【解答】
解：将用科学记数法表示为，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、，不能与合并，不合题意；
B、，能与合并，符合题意；
C、，不能与合并，不合题意；
D、，不能与合并，不合题意．
故选：．
先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查了同类二次根式的应用，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不等式的两边同时除以，不等号的方向不变，即，故此选项符合题意；
B、不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意；
C、不等式的两边同时乘，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意；
D、不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，，故此选项不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质分析判断．
本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：丁的平均分最高，方差最小，最稳定，
应选丁．
故选：．
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
，
故选：．
根据任意多边形内角和都等于，进行计算即可解答．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握任意多边形内角和都等于是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，，
此函数的图象经过一、二、四象限
故不经过三象限，
故选：．
直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时函数的图象在一、二、四象限是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则第三季度有个社区实现垃圾分类，第四季度有个社区实现垃圾分类，
依题意得：．
故选：．
设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则第三季度有个社区实现垃圾分类，第四季度有个社区实现垃圾分类，根据年底全市共个社区实现垃圾分类，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、分别为、的中点，
，，
，
∽，
，
，
，
故选：．
先根据三角形的中位线定理证明，则∽，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出的面积，即可由求出四边形的面积．
此题重点考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出的面积是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
在直角中，，
．
故选：．
根据平行线的性质以及角平分线的定义证明，根据等角对等边，即可求得的长，在直角中，利用勾股定理求得的长，则的长即可求解．
本题是平行四边形的性质，以及勾股定理，等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确求得的长是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，都在二次函数的图象上，
，
，
，
，
，
即，
，
故选：．
根据列出关于的不等式即可解得答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式．本题属于基础题，难度不大．
 

11.【答案】 

【解析】解：出现的次数最多，所以众数为．
故答案为：．
根据众数的定义就可以求解．
主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得，解可得答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

13.【答案】 

【解析】解：中，斜边，
，
．
故答案为：．
由勾股定理得，，则，即可得出结论
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线与交于点，
根据图象可知，不等式的解集为，
故答案为：．
根据一次函数图象可确定不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练一次函数的图象是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于，于，
的周长是，
，
，分别平分和，，，，，
，
，
故答案为：．
连接，过点作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：是边的中线，
的面积的面积，所以正确；
，是边上的高，
，，
，
平分，
，
，所以错误；
，，
，
，，
，
，所以正确；
设，则，，
，
，
不是等腰直角三角形，
，
，
，
，所以错误．
故答案为：．
根据三角形面积公式，利用是边的中线可对进行判断；根据等角的余角相等得到，而，，则可对进行判断；证明，根据三角形外角性质证明，所以，则可对进行判断；利用特例对进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】应用零指数幂，绝对值，算术平方根的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了零指数幂，绝对值，算术平方根，熟练掌握零指数幂，绝对值，算术平方根的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为． 

【解析】先求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

19.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】根据平行线的性质可得，再根据证明三角形全等即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，点即为所求；

过点作于点．
点在的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，连接，点即为所求；
根点作于点，求出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】  万元 

【解析】解：由图可知营业员优秀人数为：人，
称职人数为：人，
所以称职和优秀的营业员共有的人数为：人，
故答案为：；
称职以上的营业员月销售额的中位数是万元，
平均数是：万元．
故答案为：万元；
这个奖励标准应定月销售额为万元合适．
因为称职以上的营业员月销售额的中位数是万元，说明销售额达到和超过万元的营业员占称职营业员的一半，正好使称职以上营业员有一半能获奖．
根据条形统计图的数据即可求出称职、优秀层次营业员人数；
根据中位数和平均数的意义解答即可；
如果要使得称职和优秀这两个层次的所有营业员的半数左右能获奖，月销售额奖励标准可以定为称职和优秀这两个层次销售额的中位数，因为中位数以上的人数占总人数的一半左右．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本题也考查了加权平均数、中位数、众数的认识．
 

23.【答案】解：设普通帐篷的采购价位元，则防晒帐篷的采购价为元，
由题意得，，
解得，
经检验是原分式方程的根并符合实际意义，
所以，
答：普通帐篷的采购价为元，防晒帐篷的采购价为元．
根据题意可知：，
整理得：；
设销售利润为元，
则

，
是关于的一次函数，
，所以随着的增大而增大，
采购的普通帐篷不超过件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，
，
解得，
为正整数，所以当时利润最大，
最大利润，
所以购买件防晒帐篷，件普通帐篷，可以获得最大利润元． 

【解析】设普通帐篷的采购价位元，则防晒帐篷的采购价为元，以购买帐篷的数量为等量关系列出分式方程解答即可；
根据购买普通帐篷和防晒帐篷的总价是列出式子整理即可；
列出利润关于的函数关系式，然后根据不等关系得出的取值范围，计算即可．
本题考查分式方程和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
≌，
；

解：由知，≌，
，
，
；

解：如图，在上截取，连接，，

同的方法知，，由旋转知，，，
，
由知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
等边的边长为，
，
，
，即． 

【解析】根据证明三角形全等即可；
利用全等三角形的性质求解即可；
如图，在上截取，连接，，证明四边形是平行四边形，推出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

25.【答案】解：将，代入，
，
解得，
，
令，则，
解得或，
；  
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过作轴交于点，
设，则，
，
，
解得或，
或；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
设，则直线的解析式为，
，
，
当时，有最大值． 

【解析】将，代入，即可求函数的解析式；
先求直线的解析式，过作轴交于点，设，则，则，求出的值即可求或；
先求直线的解析式，设，则直线的解析式为，可求，再由，则当时，有最大值．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，两直线平行的性质是解题的关键．