山东省日照市高新区2022年中考数学一模试卷（含答案）

山东省日照市高新区2022年中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 的值为

A.  B.  C.  D.

2. 国家统计局年月日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约亿人，将亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列等式成立的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是

A.
B.
C.
D.

5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于

A.  B.  C.  D.

7. 如图所示，边长为的小正方形构成的网格中，半径为的的圆心在格点上，则的正切值等于

A.
B.
C.
D.

8. 如图，正方形的边长为，为对角线的交点，点、分别为、的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以、为圆心，为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

9. 关于的方程的解为正数，则的取值范围是

A.  B.
C. 且 D. 且

10. 如图，内接于，是的直径，，平分交于，交于点，连接，则：的值等于

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

11. 观察下列树枝分杈的规律图，若第个图树枝数用表示，则

A.  B.  C.  D.

12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：
    ；；；
    ；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 已知、为实数，且，则______．
14. 若不等式组有解，则的取值范围是______．
15. 如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是______．
    
     

16. 如图，点在双曲线的第一象限的那一支上，垂直于轴与点，点在轴正半轴上，且，点在线段上，且，点为的中点，若的面积为，则的值为______．
     

三、解答题（本大题共6小题，共72分）

17. 计算：；
    先化简，再求值：，其中，满足．
    
    
    
    
    
    
     
18. 我市于年月日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加现对某校初中名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查参与调查的同学只能选择其中一项，并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：

根据以上信息可知： ______ ， ______ ， ______ ， ______ ；
补全条形统计图；
估计该校名初中学生中“基本了解”的人数约有______ 人；
“很了解”的名学生是三男一女，现从这人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．

19. 六一儿童节，某校计划从商店购买同一品牌的书包和笔袋．已知购买一个书包比购买一个笔袋多用元，若用元购买书包和用元购买笔袋．则购买书包的个数是购买笔袋个数的一半．
    求购买该品牌一个书包、一个笔袋各需要多少元？
    经商谈，商店给予该校购买一个该品牌书包赠送一个该品牌笔袋的优惠．如果该校需要笔袋的个数是书包个数的倍还多个．且该校购买书包和笔袋的总费用不超过元，那么该校最多可购买多少个该品牌书包？
    
     
20. 如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若．
    求证：是的切线；
    若的半径为，，求的长．
     

21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点抛物线的对称轴是且经过、两点，与轴的另一交点为点．
    直接写出点的坐标；求抛物线解析式．
    若点为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
    抛物线上是否存在点，过点作垂直轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 发现：如图，点为线段外一动点，且，．
    填空：当点位于______时，线段的长取得最大值，且最大值为______用含，的式子表示
    应用：点为线段外一动点，且，，如图所示，分别以，为边，作等边三角形和等边三角形，连接，．
    请找出图中与相等的线段，并说明理由；
    直接写出线段长的最大值．
    拓展：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，请直接写出线段长的最大值及此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
根据实数的绝对值的意义解答即可．
此题主要考查绝对值，掌握实数的绝对值的意义是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、，无法计算，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、故，此选项错误；
故选：．
直接利用整式的除法运算法则以及幂的乘方与积的乘方运算法则、合并同类项法则、二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算以及幂的乘方与积的乘方运算、合并同类项、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
，
平分，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质得出即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由三视图可知，该几何体为圆锥；
由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为、半径为，高为，
则母线长为，
所以则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为．
故选：．
由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥，根据三视图知圆锥的底面圆的直径为、半径为，高为，得出母线长为，再根据扇形的弧长公式可得答案．
本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长计算．
 

6.【答案】
 

【解析】解：是一元二次方程的实数根，
，
，
，
，是一元二次方程的两个实数根，
，
．
故选：．
根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
．
故选：．
根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
本题利用了圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角相等和正切的概念求解．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，
阴影部分的面积是：，
故选：．
根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以为半径的四分之一个圆的面积减去以为半径的半圆的面积再减去个以边长为的正方形的面积减去以半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决．
本题考查扇形的面积的计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
，
方程的解为正数，
，
，
，
，
，
且，
故选：．
先求分式方程的解为，再由题意可得，，求出的范围即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
平分，
，
在中，
，，
∽，
：：：，
故选：．

 

11.【答案】
 

【解析】解：由题意得：
第个图：，
第个图：，
第个图：，
第个图：，
第个图：，
．
故选：．
根据已知图中规律可得：，相减可得结论．
本题考查了图形变化类的规律问题，根据图形可知每一个树枝上长着两个小树枝是本题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，错误．
抛物线与轴有个交点，
，
，错误．
时，，
，
，
，
，
，正确．
时，为函数最大值，
，
，
，
，正确．
方程的四个根分别为和的根，
抛物线关于直线对称，
抛物线与直线的交点的横坐标为之和为，
抛物线与直线的交点横坐标为之和为，
方程的四个根的和为，错误．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，由抛物线与轴交点个数可判断，由，时可判断，由时函数取最大值可判断，由函数与直线及直线的交点横坐标为方程的解及抛物线的对称轴为直线可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

13.【答案】或
 

【解析】解：和都有意义，
，
解得：，
则，
或．
故答案为：或．
二次根式的被开方数是非负数，据此可得的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
考查了不等式组的解集，求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出的取值范围．
【解答】

解：
由得，
由得，
故其解集为，
，即，
的取值范围是．
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
根据题意，可得：当、、三点共线时，点到原点的距离最大，即可得解．
【解答】
解：如图，取的中点，连接、，

则，
由勾股定理得，，
当、、三点共线时，点到原点的距离最大，
所以，点到原点的最大距离是．  

16.【答案】
 

【解析】解：连，如图，
，的面积为，
的面积为，
的面积为，
设点坐标为，则，，
而点为的中点，
，
，
，
，
把代入双曲线，
．
故答案为：．
由，的面积为，得到的面积为，则的面积为，设点坐标为，则，，，，利用得，整理可得，即可得到的值．
本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系．
 

17.【答案】解：原式

．
原式

，
由题意可知：，，
，，
原式
．
 

【解析】根据负整数指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数、零指数幂的意义以及二次根式的性质即可求出答案．
根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将与的值求出并代入原式即可求出答案．
本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】；  ；  ；  ； 

记名学生中名男生分别为，，，一名女生为，列表如下：

从人中任取两人的所有机会均等结果共有种，抽到两名学生均为男生包含：、、、、、共种等可能结果，
抽到两名学生均为男生，
抽到一男一女包含：B、B、B、、、共六种等可能结果，
抽到一男一女，
故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同．
 

【解析】解：
，
，
，
，
故答案为：、、、；

见答案

估计该校名初中学生中“基本了解”的人数约有人，
故答案为：；

见答案

由“了解很少”的人数及其对应频率可得被调查的总人数，再根据频数之和等于总人数可得的值，由频率频数总人数可得、的值；
根据以上所求结果即可补全条形图；
总人数乘以样本中“基本了解”人数所占比例即可；
记名学生中名男生分别为，，，一名女生为，列表得出所有等可能结果，从中找到抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的结果数，求出其概率即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图．
 

19.【答案】解：设购买该品牌一个书包需要元，则购买一个笔袋需要元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：购买该品牌一个书包需要元，购买一个笔袋需要元；
设该校购买个该品牌书包，则该校需要购买笔袋个，
由题意得：，
解得：，
答：该校最多可购买个该品牌书包．
 

【解析】设购买该品牌一个书包需要元，则购买一个笔袋需要元，由题意：用元购买书包和用元购买笔袋．则购买书包的个数是购买笔袋个数的一半．列出分式方程，解方程即可；
设该校购买个该品牌书包，则该校需要购买笔袋个，由题意：该校购买书包和笔袋的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

20.【答案】解：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
．
 

【解析】由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质可求，可得结论；
由余角的性质可求，由锐角三角函数可设，，在中，利用勾股定理可求，即可求解．
本题考查了切线的性质和判定，圆的有关性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，由余角的性质求出是解题的关键．
 

21.【答案】解：当时，，当时，，
，，
由抛物线的对称性可知：点与点关于对称，
点的坐标为．
抛物线过，，
可设抛物线解析式为，
又抛物线过点，
．
设．
过点作轴交于点，

，
，
，
，
当时，的面积有最大值是，
此时．
方法一：
在中，在中，，
，
，
，
，
∽∽，
如下图：

当点与点重合，即时，∽；
根据抛物线的对称性，当时，∽；
当点在第四象限时，设，则
，
当时，，即
整理得：
解得：舍，
；
当时，，即，
整理得：
解得：舍，，
．
综上所述：存在，，，，使得以点、、为顶点的三角形与相似．

方法二：
，，，
，
，轴，
若以点、、为顶点的三角形与相似，
则，，
设，
，
，
，
，，
，
，，，
综上所述：存在，，，，使得以点、、为顶点的三角形与相似．
 

【解析】先求的直线与轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点的坐标；设抛物线的解析式为，然后将点的坐标代入即可求得的值；
设点、的横坐标为，分别求得点、的纵坐标，从而可得到线段，然后利用三角形的面积公式可求得，然后利用配方法可求得的面积的最大值以及此时的值，从而可求得点的坐标；
首先可证明∽∽，然后分以下几种情况分类讨论即可：当点与点重合，即时，∽；根据抛物线的对称性，当时，∽； 当点在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．
 

22.【答案】的延长线上 
 ，
理由：与是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，，
≌，
；
线段长的最大值线段的最大值，
由知，当线段的长取得最大值时，点在的延长线上，
最大值为；

将绕着点顺时针旋转得到，连接，
则是等腰直角三角形，
，，
的坐标为，点的坐标为，
，，
，
线段长的最大值线段长的最大值，
当在线段的延长线时，线段取得最大值，
最大值，
，
最大值为；
如图，过作轴于，
是等腰直角三角形，
，
，
 

【解析】

解：点为线段外一动点，且，，
当点位于的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为，
故答案为：的延长线上，；
，见答案

【分析】
根据点位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可得到结论；
根据等边三角形的性质得到，，，推出≌，根据全等三角形的性质得到；由于线段长的最大值线段的最大值，根据中的结论即可得到结果；
连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，，根据当在线段的延长线时，线段取得最大值，即可得到最大值为；如图，过作轴于，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．