数学第四章 几何图形初步综合与测试导学案

第8讲 角的概念及运算

1角的概念及表示方法

一．       角的定义

1．     定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．

2．     定义2：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．

（1）  如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角．

（2）  如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角．

3．     由角的定义可知：

（1）  角的组成部分为：两条边和一个顶点；

（2）  顶点是这两条边的交点；

（3）  角的两条边是射线，是无限延伸的；

（4）  角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关；

（5）  射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．

二．   角的表示方法

1．     利用三个大写字母来表示，如图

注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．

2．     利用一个大写字母来表示，如图．

注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．

3．     用数字来表示角，如图．

4．     用希腊字母来表示角，如图．

【例】（2017秋•沙洋县期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（　　）

A．∠1与∠AOB表示同一个角

B．∠β表示的是∠BOC

C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC

D．∠AOC也可用∠O来表示

【解答】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；

B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；

C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；

D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；

故选：D．

【练习】（2017秋•厦门期末）下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　）

A． B． C． D．

【例】（2017秋•尚志市期末）下列说法中正确的个数是（　　）

①在同一图形中，直线AB与直线BA不是同一条直线

②两点确定一条直线

③两条射线组成的图形叫做角

④一个点既可以用一个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示

⑤若AB=BC，则点B是线段AC的中点．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【练习】（2017秋•双城市期末）如图，∠AOB=90°，以O为顶点的锐角共有___　个．

2度量与计算

一．   角的度量

把一个周角等分，每一份就是度的角，记作；

把度的角等分，每一份叫做分的角，记作；

把分的角等分，每一份叫做秒的角，记作．

二．   角度的换算

角的度、分、秒是进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．

度＝分()    分=秒()

三．   角度之间的关系

周角=           平角＝        直角＝

周角＝平角         平角＝直角

四．   度量工具：我们常用的度量角的工具为量角器（也叫半圆仪）．

我们常用的一副三角板，其中一个三角分别为、、，另一个三个角分别为、、．

五、   角的分类：

锐角：度数大于，小于的角称为锐角；

直角：度数为的角称为直角；

钝角：大于，小于的角称为钝角。

【例】（2017秋•门头沟区期末）把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（　　）

A．2°21'36'' B．2°18'36'' C．2°30'60'' D．2°3'6''

【练习】（2017秋•和平区期末）下列各数中，正确的角度互化是（　　）

A．63.5°=63°50′ B．23°12′36″=23.48°

C．18°18′18″=18.33° D．22.25°=22°15′

【例】（2017秋•高阳县期末）54.27°可化为（　　）

A．54°16′26″ B．54°28′ C．54°16′15″ D．54°16′12″

【练习】（2017秋•湘桥区期末）计算89°15′﹣35°21′=_____．

【例】（2017秋•孝感期末）计算：

（1）48°39′+67°31′﹣21°17′；

（2）23°53′×3﹣107°43′÷5．

【例】（2017春•临淄区校级期中）如图，AB是一条直线，如果∠1=65°15′，∠2=78°30′，求∠3的度数．

【练习】（2017秋•潮南区月考）计算：48°38′+67°32′﹣21°17′×5．

【练习】（2015秋•汉中期末）计算：18°20′32″+30°15′22″．

3角平分线

一．   角平分线

1．  角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．

，

2．  角的三等分线：从一个角顶点出发的两条射线，把这个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线．

，

3．  角平分线的画法：

（1）测量法：用量角器测量角的度数，根据角的度数平分角．

（2）用折叠法：

在一张透明纸上画一个角，记为，折线使射线与射线重合，把纸展开，以为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是的平分线．

【例】（2017秋•榆树市期末）如图，OC⊥AB，OE为∠COB的角平分线，∠AOE的度数为（　　）

A．130°       B．125°     C．135°   D．145°

【练习】（2017秋•湛江期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，若∠AOB=120°，则∠AOD的度数为（　　）

A．30° B．60° C．50° D．90°

【例】（2017秋•定安县期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，则∠COE=（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°

【练习】（2017秋•砀山县期末）如图所示，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于____度．

【例】（2017秋•红桥区期末）已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC=30°，OE是∠COB的平分线．当∠COE=40°时，求∠AOB的度数．

解：∵OE是∠COB的平分线，

∴∠COB=_____（理由：_________）．

∵∠COE=40°，

∴_______．

∵∠AOC=______，

∴∠AOB=∠AOC+______=110°．

【例】（2017秋•金乡县期末）如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD=4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM=20°，求∠AOD和∠MOC．

【练习】（2017秋•路北区期末）如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，C 且∠AOC=130°，求∠DOE的度数．

【练习】（2017秋•峄城区期末）已知：如图，∠AOB=150°，OC平分∠AOB，∠AOD是直角，求∠COD的度数．

4余角与补角

一．  余角与补角

1．     如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为余角，简称“互余”．

2．     如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为补角，简称“互补”．

二．    余角、补角的性质：

同角（等角）的余角相等．

同角（等角）的补角相等．

三．    方位角

方位角：表示方向的角，一般以观测者的位置为中心，正北、正南方向为基准，描述物体的方位或运动的方向，通常表达为北（南）偏东（西）××度．

 如图，点在点的北偏东的位置，点在点的南偏西的位置．

【例】（2018•凉州区）若一个角为65°，则它的补角的度数为（　　）

A．25° B．35° C．115° D．125°

【例】（2018•河南二模）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大50°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．50° C．70° D．30°

【练习】（2018•马边县模拟）将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（　　）

A． B． C． D．

【练习】（2017秋•海口期末）已知∠2是∠1的余角，∠3是∠2的补角，且∠1=38°，则∠3等于（　　）

A．62° B．128° C．138° D．142°

【练习】（2017秋•金乡县期末）如果一个角的余角比它的补角的还少20°，那么这个角的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【练习】（2017秋•沙洋县期末）已知：∠AOB的补角等于它的余角的6倍．

（1）求∠AOB的度数；

（2）如图，OD平分∠BOC，∠AOC=2∠BOD，求∠AOD的度数．

【例】（2017秋•汶上县期末）如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．

（1）填空：与∠AOE互补的角是______；

（2）若∠AOD=36°，求∠DOE的度数；

（3）当∠AOD=x°时，请直接写出∠DOE的度数．

综合应用

一．选择题（共4小题）

1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（　　）

A．90°﹣α﹣β B．90°﹣α+β C．90°+α﹣β D．α﹣β

2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．60°

3．如图，射线OA表示（　　）

A．南偏东70° B．北偏东30° C．南偏东30° D．北偏东70°

4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△DAE，则∠BAE+∠DAC＝（　　）度．

A．90+2α B．180+α C．180﹣α D．180

二．填空题（共3小题）

5．如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝　   　．

6．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝27°，则∠AOC＝　   　．

7．如图，将三个相同正方形的一个顶点重合放置，且∠COE＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOD＝　   　°．

三．解答题（共2小题）

8．如图，射线OC端点O在直线AB上，∠AOC＝∠DOC，OE平分∠DOB．

（1）当∠AOC＝110°时，求∠BOE的度数；

（2）OC与OE有怎样的位置关系？为什么？

9．如图1，点O在直线NN上，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．

（1）若∠AOC＝30°20′，则∠BOC＝　   　，∠AOM＝　   　，∠BON＝　   　；

（2）若∠AOC＝α，则∠BON＝　   　（用含有α的式子表示）；

（3）将∠AOB绕着点O顺时针转到图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α（α为钝角），求∠BON的度数（用含α的式子表示）．