专题06数形思想课之一次函数与几何综合专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

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专题06数形思想课之一次函数与几何综合专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2022·浙江八年级期末）如图，直线分别与轴交于点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点的坐标为；正确的结论是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】
先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，可判断①；由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断②；由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断③．
【详解】
解：直线分别与、轴交于点、，
点，点，
，，
，故①正确；
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
点，
设直线解析式为：，
，
，
直线解析式为：，故②正确；
如图，过点作于，

，
，
，
，
当时，，
，
点，，故③正确；
故选：D．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
2．（2022·浙江九年级一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点是函数图象上的两动点，且点的横坐标是，点的横坐标是，将点，点之间的函数图象记作图型，把图型沿直线进行翻折，得到图型，若图型与轴有交点时，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先由AB关于l对称直线和x轴相交得到x轴关于直线l对称的直线也与AB相交，作x轴关于直线l对称直线l1，即其在中，然后再求出C、D点的坐标，求出OD的长，设l1的解析式为y=k（x-6），作DE⊥l1，可得OE=3，然后运用点与直线的距离求得k，最后再代入分段函数即可求得m的取值范围．
【详解】
解：∵AB关于l对称直线和x轴相交
∴x轴关于直线l对称的直线也与AB相交
作x轴关于直线l对称直线l1，即其在中
当y=0时，x=6，即C（6，0）
在l中，当x=0时，y=3,即OD=3
设l1的解析式为y=k（x-6），作DE⊥l1
∵x轴和直线l1关于直线l对称
∴OD=OE=3
∴D到l1的距离d= ，解得k=
∴l1：y=x+8
由题意可知：x+8=-2x+10,x+8=x,解得x=3，x=
∴交点的横坐标为3和
∵交点在l上
∴3≤m≤或3≤m+1≤，即．
故选A．

【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用、轴对称的性质、点到直线的距离等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．


二、填空题
3．（2022·浙江八年级期末）已知直线与轴交于，与轴交于，若点是坐标轴上的一点，且，则点的坐标为________．
【答案】、、
【分析】
利用待定系数法求出、两点坐标，利用勾股定理求出，根据，确定点坐标即可．
【详解】
解：令，得到，
，
令，得到，
，
，，
，
以为圆心，长为半径作圆，交坐标轴即为点，
，
，，，或，
故答案为：、、．
．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法确定交点坐标是解题的关键．
4．（2022·浙江七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的点，且点B的横坐标为2n（n为正整数）记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为12时，m的值为______,点B的横坐标为2022时，m的值为______

【答案】15 3031
【分析】
根据题意，分别找出n=1、2、3时的整点的个数，即可发现n增加1，整点的个数增加6，然后写出横坐标为2n时的表达式，从而计算求解．
【详解】
解：当点B的横坐标为2n时，在4×2n的网格图内（不包括边界），一共有3（2n-1）个网格点，

而当n为奇数时，4×2n的网格图的对角线AB与网格线有1个交点，
当n为偶数时，4×2n的网格图的对角线AB与网格线有3个交点，
∴在△OAB内部（不包括边界）的网格点个数m，
当n为奇数时，m=[3（2n-1）-1]，
整理，得：m=3n-2，
当n为偶数时，m=[3（2n-1）-3]，
整理，得：m=3n-3，
∴当2n=12，即n=6时，
m=3×6-3=15；
当2n=2022，即n=1011时，
m=3×1011-2=3031，
故答案为：15；3031．
【点睛】
本题考查坐标与图象，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键．
5．（2022·浙江八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形，，，…，点，…都在x轴上，点，…都在直线上，且，，，，…，则点的坐标是___________．

【答案】（，）
【分析】
根据一次函数的解析式求出∠ODE=30°，得到OD=OC1=1，同理得到A1C2=A1D，A2C3=A2D，从而得到相应线段的长，过B3作x轴的垂线，垂足为F，求出A3F和B3F的长，可得点B3的坐标．
【详解】
解：如图，在中，
令x=0，则y=，
令y=0，则x=-1，
则OD=1，OE=，
∴DE==，即DE=2OE，
∴∠ODE=30°，
∵∠C1OA1=60°，
∴∠OC1D=30°，
∴OD=OC1=1，同理：A1C2=A1D，A2C3=A2D，
∵OC1=1，OA1=2OC1=2，
∴A1C2=A1D=3，
∴A2C3=A2D=9，
∴A2A3=18，
∵四边形A2A3B3C3是平行四边形，
∴A3B3=A2C3=9，
过B3作x轴的垂线，垂足为F，
∵∠B3A3F=60°，
∴A3F=A3B3=，
∴B3F==，
∴OF=OA3+A3F=2+6+18+=，
∴B3的坐标为（，），
故答案为：（，）．

【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据已知点的变化规律求出相应边和角，找出规律是解题的关键．
6．（2022·浙江八年级期末）已知直线与轴，轴分别交于点，，点是射线上的动点，点在第一象限，四边形是平行四边形．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为______．

【答案】或．
【分析】
先根据题意求得，，，分点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点关于直线的对称点恰好落在轴上，根据含30度角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得点的坐标．
【详解】
与轴，轴分别交于点，，
令，，，
令，，，
，
，
，
，，
，
①如图，当点在第二象限时，设交轴于点，交于点，交轴于点，

四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点关于直线的对称点为点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
②如图，当点在第二象限时，延长交轴于点，
则，

点关于直线的对称点为点
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
．
综合①②可知C的坐标为或．
故答案为: 或．
【点睛】
本题考查了一次函数图像的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法比较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．

三、解答题
7．（第12讲　一次函数的应用及综合问题（测）-备战2022年中考数学一轮复习讲练测（浙江））如图，直线l1的解析式为y＝x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A、B，直线l1与l2交于点C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）6；（3）存在，E的坐标是（，0）．
【分析】
（1）利用待定系数法即可直接求得的函数解析式；
（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）求得C关于y轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．
【详解】
解：（1）设的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，解得，
则函数的解析式是：y＝﹣x+4；
（2）在y＝x+1中令y＝0，
即y＝x+1＝0，解得：x＝﹣2，
则D的坐标是（﹣2，0），
解方程组，解得，
则C的坐标是（2，2），
则；
（3）存在，理由：
设C（2，2）关于x轴的对称点（2，﹣2），
连接交x轴于点E，则点E为所求点，

△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+＝BC+为最小，
设经过（2，﹣2）和B的函数解析式是y＝mx+n，则，解得：，
则直线的解析式是y＝﹣x+，
令y＝0，则，解得：x＝，
则E的坐标是（，0）．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．（2022·台州市书生中学八年级月考）如图，已知直线l1：y1＝﹣2x﹣3，直线l2：y2＝x+3，l1与l2相交于点P，l1，l2分别与y轴相交于点A，B．
（1）求点P的坐标．
（2）若y1＞y2＞0，求x的取值范围．
（3）点D（m，0）为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交l1和l2于点E，F，当EF＝3时，求m的值．

【答案】（1）点P的坐标为（﹣2，1）；（2）﹣3＜x＜﹣2；（3）m＝﹣3或m＝﹣1．
【分析】
（1）联立两直线解析式得到关于x、y的方程组，解之即可得；
（2）求得直线l2：y2＝x+3与x轴的交点，然后根据图象即可求得；
（3）根据题意表示出E、F的坐标，得到关于m的方程，解之可得答案．
【详解】
解：（1）根据题意，得：，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣2，1）．
（2）在直线l2：y2＝x+3中，令y＝0，解得x＝﹣3，
由图象可知：若y1＞y2＞0，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣2；
（3）由题意可知E（m，﹣2m﹣3），F（m，m+3），
∵EF＝3，
∴|﹣2m﹣3﹣m﹣3|＝3，
解得：m＝﹣3或m＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查的是两直线相交或平行问题，解题的关键是掌握两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
9．（2022·浙江）如图，直线l1，l2交于点C，直线l1与x轴交于A；直线l2与x轴交于B（3，0），与y轴交于D（0，3），已知直线l1的函数解析式为y＝2x+2．
（1）求直线l2的解析式和交点C的坐标．
（2）将直线l1向下平移a个单位使之经过B，与y轴交于E．
①求△CBE的面积；
②若点Q为y轴上一动点，当△EBQ为等腰三角形时，求出Q的坐标．

【答案】（1）l2的解析式y＝﹣x+3；点C的坐标为（，）；（2）①12；②满足条件的点Q（0，﹣6﹣3）或（0，﹣）或（0，3﹣6）或（0，6）．
【分析】
（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b，把B(3，0)，D(0，3)代入转化为解方程组即可，再构建方程组求点C的坐标．
（2）①设平移后的直线的解析式为y＝2x+m，利用待定系数法求出m，由AC∥BE，推出S△CBE＝S△ABE，由此即可解决问题．②由题意BE＝，当Q1E＝BE时，Q1(0，﹣6﹣3)，当EQ2＝Q2B时，设EQ2＝Q2B＝x，在Rt△OBQ2 中，根据OB2+OQ22＝BQ22，可得32+（6﹣x）2＝x2，求出可得Q2坐标，当EB＝EQ3时，Q3(0，3﹣6)，当BE＝BQ4时，Q4(6，0)．
【详解】
解：（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b，把B(3，0)，D(0，3)代入得 ，
解得 ，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+3；
由 解得 ，
∴点C的坐标为( ，)，
（2）①设平移后的直线的解析式为y＝2x+m，
∵经过点B(3，0)，
∴6+m＝0，
∴m＝﹣6，
∴平移后的直线的解析式为y＝2x﹣6，
∴点E的坐标为(0，﹣6)，
∵AC∥BE，
∴S△CBE＝S△ABE＝×4×6＝12；
②∵E(0，﹣6)，B(3，0)，
∴BE＝，
当Q1E＝BE时，Q1(0，﹣6﹣3)，
当EQ2＝Q2B时，设EQ2＝Q2B＝x，
在Rt△OBQ2 中，∵OB2+OQ22＝BQ22，
∴32+（6﹣x）2＝x2，
∴x＝ ，
∴OQ2＝6﹣＝ ，
∴Q2(0，﹣)，
当EB＝EQ3时，Q3(0，3﹣6)，
当BE＝BQ4时，Q4(6，0)；
综上所述，满足条件的点Q(0，﹣6﹣3)或(0，﹣)或(0，3﹣6)或(0，6)．

【点睛】
本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用知识点；
10．（2022·浙江）如图，直线分别交轴于点，交轴于点．
（1）求直线的函数表达式．
（2）若点，点是直线上两点，求线段的长．

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接用待定系数法将点A、B的坐标代入求解即可；
（2）将点，代入（1）求出的函数表达式中，即可求出点P、Q的坐标，然后根据两点之间距离公式求解即可．
【详解】
（1）将，分别代入，得
，解得
∴一次函数的表达式为；
（2）将，分别代入，得
，，即，
分别过点，作关于轴，轴垂线，相交于点，
则，，
∴

【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的性质的应用，以及两点之间距离公式的计算，正确掌握知识点是解题的关键．
11．（2022·浙江九年级一模）如图，直线与坐标轴交于点A，B，该直线上的点P到x轴，y轴的距离分别为，．

（1）若点P为的中点，求的值
（2）点P在射线上，若，求点P横坐标x的范围．
（3）若在线段上存在无数个P点，使为常数，求m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）分别求出点A和点B的坐标，再根据点P是AB的中点，求出点P的纵、横坐标即可得到结论；
（2）设点P的坐标为（a，），再分和两种情况表示出，再代入，求出a的取值范围即可；
（3）设点P的坐标为（b，），方法同（2）求出，进一步求出m的值即可．
【详解】
解：（1）∵直线与坐标轴交于点A，B，
∴把x=0、y=0分别代入得，
y=-4，x=3
∴A（3，0），B（0，-4）
过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，如图，

∵P是AB的中点，
∴
∴
（2）设点P的坐标为（a，）
∵点P在射线AB上，
∴
∴
当时，
∴，解得，
∴；
当时，
∴，解得，
∴
∴
∴点P的横坐标x的取值范围是：；
（3）若P在线段AB上，则设点P的坐标为（b，）
∴，，
∴
若为常数时，则
当时，
∴．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟悉一次函数的性质是解答此题的关键．
12．（2022·浙江）将一块的长方体铁块（图1）平放在一个长方体水槽底部（图2），现向水槽内匀速注水，直至注满水槽为止，因铁块在水槽内有3种不同的放置方式，所以水槽内的水深h与注水时间t的函数关系用图象来反映，其全过程有三种不同的图象（图3，图4，图5）（注：长度单位：厘米；时间单位：秒）


（1）判断t1与t2的大小关系：t1_________________t2；
（2）水槽深度为_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米；
（3）求铁块的体积．
【答案】（1）=；（2）10，6，9；（3）810
【分析】
（1）根据注水的速度相同且在槽内，得到注水总量相同，得到时间相等；
（2）分析图3与图4，当注水21s以后，水深6cm，当注水45s以后，水深9cm，当注水62s以后，水深10cm，由a×b×c(a