福建省龙岩市长汀县第四中学2021-2022学年八年级上学期第二阶段检测数学试题（Word版含答案）

这是一份福建省龙岩市长汀县第四中学2021-2022学年八年级上学期第二阶段检测数学试题（Word版含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．（4分）下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2⋅a3＝a6B．a8÷a4＝a2
C．（x3）2＝x6D．（a+b）2＝a2+b2
3．（4分）以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（ ）
A．8cm，7cm，13cmB．6cm，6cm，12cm
C．5cm，5cm，2cmD．10cm，15cm，17cm
4．（4分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
5．（4分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
6．（4分）如图，用尺规作∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
7．（4分）如果x2+2ax+4是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．4或﹣4
8．（4分）如图，AD是△ABC的高，下列不能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．BD＝CDB．∠BAC＝90°C．∠B＝∠CD．AB＝AC
9．（4分）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，下列结论：（1）AB＝AC；（2）∠BAE＝∠CAD；（3）BE＝DC；（4）AD＝DE．中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（4分）已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34，则（x﹣2016）2的值是（ ）
A．4B．8C．12D．16
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣4＝ ．
12．（4分）计算：＝ ．
13．（4分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝5cm，BD＝3cm，则D到AB的距离为 ．
14．（4分）若m2﹣n2＝﹣6，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝ ．
15．（4分）如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD：CD＝2：3，AD、BE交于点O，若S△AOE﹣S△BOD＝1，则△ABC的面积为 ．
16．（4分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝8，则△PMN的周长的最小值＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：
（1）﹣（x3）4+3×（x2）4•x4；
（2）（y+1）（y﹣1）﹣（y﹣2）2．
18．（8分）因式分解：
（1）y3﹣4xy2+4x2y；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
19．（8分）先化简，再求值：3a2（a3b2﹣2ab）﹣3a（﹣a2b）2，其中（a﹣2）2+|b+1|＝0．
20．（8分）已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠AED，BC＝ED．
求证：AB＝AE．
21．（8分）如图，△ABC，其中AC＞BC．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交AC于点P（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝8，△PBC的周长为13，求△ABC的周长．
22．（10分）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD＝2AE．
23．（10分）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）：方法1：S阴影＝ ；方法2：S阴影＝ ．
（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？
（3）①已知（m+n）2＝16，mn＝3，请利用（2）中的等式，求m﹣n的值．②已知（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5，请利用（2）中的等式，求mn的值．
24．（12分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）28是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）根据上面的提示，判断2012是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由；
（4）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
25．（14分）已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；
（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；
（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．
长汀县第四中学2021-2022学年八年级上学期第二阶段检测（二）
数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．（4分）下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2⋅a3＝a6B．a8÷a4＝a2
C．（x3）2＝x6D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】利用同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方的法则，完全平方公式对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵a2⋅a3＝a5≠a6，
∴选项A不符合题意；
∵a8÷a4＝a4≠a2，
∴选项B不符合题意；
∵（x3）2＝x6，
∴选项C符合题意；
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2≠a2+b2，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式，掌握同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方的法则，完全平方公式是解决问题的关键．
3．（4分）以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（ ）
A．8cm，7cm，13cmB．6cm，6cm，12cm
C．5cm，5cm，2cmD．10cm，15cm，17cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、8+7＞13，能组成三角形；
B、6+6＝12，不能组成三角形；
C、2+5＞5，能组成三角形；
D、10+15＞17，能组成三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．（4分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，解答本题的关键是掌握因式分解后右边是整式积的形式．
5．（4分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【解答】解：A、∵a＝3，b＝3，c＝4，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a：b：c＝2：3：4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定．此题比较简单，注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键．
6．（4分）如图，用尺规作∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】由作图可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS证明三角形全等即可解决问题，
【解答】解：由作图可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），
∴∠BOA＝∠B′O′A′．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
7．（4分）如果x2+2ax+4是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．4或﹣4
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值．
【解答】解：∵x2+ax+4＝x2+ax+22，
∴2ax＝±2×2x，
解得a＝±2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．
8．（4分）如图，AD是△ABC的高，下列不能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．BD＝CDB．∠BAC＝90°C．∠B＝∠CD．AB＝AC
【分析】添加AB＝AC，∠B＝∠C，可得△ABC是等腰三角形，再根据三线合一的性质可得BD＝CD，再利用SSS定理可判定△ABD≌△ACD．
【解答】解：当∠B＝∠C时，可得AB＝AC，△ABD≌△ACD，
或直接添加AB＝AC，
∵AD是△ABC的边BC上的高，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵在△ABD和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
或直接添加BD＝CD，
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．（4分）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，下列结论：（1）AB＝AC；（2）∠BAE＝∠CAD；（3）BE＝DC；（4）AD＝DE．中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先证AB＝AC，再证△ABE≌△ACD（AAS）得AD＝AE，BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，即可得出结论．
【解答】解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，故（1）正确；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD＝AE，BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，故（2）（3）正确，（4）错误，
正确的个数有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是本题的关键．
10．（4分）已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34，则（x﹣2016）2的值是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【分析】先把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2＝34，把（x﹣2016）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2016）2的方程，解方程即可求解．
【解答】解：∵（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34，
∴（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2＝34，
（x﹣2016）2+2（x﹣2016）+1+（x﹣2016）2﹣2（x﹣2016）+1＝34，
2（x﹣2016）2+2＝34，
2（x﹣2016）2＝32，
（x﹣2016）2＝16．
故选：D．
【点评】考查了完全平方公式，本题关键是把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2＝34，注意整体思想的应用．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
12．（4分）计算：＝ ﹣x3y3 ．
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（﹣3x2y）•（xy2）
＝﹣x3y3，
故答案为：﹣x3y3．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
13．（4分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝5cm，BD＝3cm，则D到AB的距离为 2cm ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出CD＝DE，求出CD即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∵BC＝5cm，BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝2cm，
∴DE＝2cm，
即D到AB的距离为2cm，
故答案为：2cm．
【点评】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出CD＝DE是解此题的关键．
14．（4分）若m2﹣n2＝﹣6，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝ 2 ．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：∵（m+n）（m﹣n）＝﹣6，m﹣n＝﹣3，
∴﹣3（m+n）＝﹣6，
∴m+n＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
15．（4分）如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD：CD＝2：3，AD、BE交于点O，若S△AOE﹣S△BOD＝1，则△ABC的面积为 10 ．
【分析】根据E为AC的中点可知，S△ABE＝S△ABC，再由BD：CD＝2：3可知，S△ABD＝S△ABC，进而可得出结论．
【解答】解：∵点E为AC的中点，
∴S△ABE＝S△ABC．
∵BD：CD＝2：3，
∴S△ABD＝S△ABC，
∵S△AOE﹣S△BOD＝1，
∴S△ABC﹣S△ABC＝1，
解得S△ABC＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分是解答此题的关键．
16．（4分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝8，则△PMN的周长的最小值＝ 8 ．
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝8，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝8．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：
（1）﹣（x3）4+3×（x2）4•x4；
（2）（y+1）（y﹣1）﹣（y﹣2）2．
【分析】（1）先算幂的乘方，再算同底数的幂相乘，最后合并同类项；
（2）先展开，再去括号，合并同类项．
【解答】解：（1）﹣（x3）4+3×（x2）4⋅x4
＝﹣x12+3x8x4
＝﹣x12+3x12
＝2x12；
（2）（y+1）（y﹣1）﹣（y﹣2）2
＝（y2﹣1）﹣（y2﹣4y+4）
＝y2﹣1﹣y2+4y﹣4
＝4y﹣5．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
18．（8分）因式分解：
（1）y3﹣4xy2+4x2y；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）先提取公因式，再套用完全平方公式；
（2）先提取公因式，再套用平方差公式．
【解答】解：（1）原式＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）
＝﹣y（2x﹣y）2；
（2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
19．（8分）先化简，再求值：3a2（a3b2﹣2ab）﹣3a（﹣a2b）2，其中（a﹣2）2+|b+1|＝0．
【分析】根据单项式乘多项式、积的乘方法则以及合并同类项法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出a、b的值，代入计算，得到答案．
【解答】解：3a2（a3b2﹣2ab）﹣3a（﹣a2b）2
＝3a5b2﹣6a3b﹣3a5b2
＝﹣6a3b，
∵（a﹣2）2+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
解得：a＝2，b＝﹣1，
∴原式＝﹣6×23×（﹣1）
＝48．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20．（8分）已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠AED，BC＝ED．
求证：AB＝AE．
【分析】证明△DAE≌△CAB（ASA），由全等三角形的性质得出AB＝AE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
∴∠DAE＝∠CAB．
在△DAE和△CAB中，
，
∴△DAE≌△CAB（ASA），
∴AB＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，证明△DAE≌△CAB是解题的关键．
21．（8分）如图，△ABC，其中AC＞BC．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交AC于点P（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝8，△PBC的周长为13，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明PA＝PB，可得结论．
【解答】解：（1）如图，直线PQ为所求；
（2）∵AB的垂直平分线交AC于点P，
∴PA＝PB，
∵△PBC的周长为13，
∴PB+PC+BC＝13，
∴PA+PC+BC＝13，
即AC+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+13＝21．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的作法，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD＝2AE．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，即可得到结论；
（2）由CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得到∠F＝∠CEA＝90°，推出Rt△FAC≌Rt△EAC，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，由△BCE≌△DCF，得到BE＝DF，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F＝∠CEA＝90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，
，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF＝AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE＝DF，
∴AB+AD＝（AE+BE）+（AF﹣DF）
＝AE+BE+AE﹣DF＝2AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△BCE≌Rt△DCF和RT△ACF≌RT△ACE是解题的关键．
23．（10分）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）：方法1：S阴影＝ 4ab ；方法2：S阴影＝ （a+b）2﹣（a﹣b）2 ．
（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？
（3）①已知（m+n）2＝16，mn＝3，请利用（2）中的等式，求m﹣n的值．②已知（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5，请利用（2）中的等式，求mn的值．
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于4个小长方形的面积，又等于大正方形的面积减去小正方形的面积；
（2）根据完全平方公式解答；
（3）根据（2）的结论代入即可解答．
【解答】解：（1）阴影部分的面积为：4ab或（a+b）2﹣（a﹣b）2，
故答案为：4ab；（a+b）2﹣（a﹣b）2；
（2）∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝4ab，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）①由（2）得：（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，
∵（m+n）2＝16，mn＝3，
∴16﹣（m﹣n）2＝12，
解得：（m﹣n）2＝4，m﹣n＝±2；
②由（2）得：（2m+n）2﹣（2m﹣n）2＝8mn，
∵（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5，
∴13﹣5＝8mn，
解得：mn＝1．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键．
24．（12分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）28是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）根据上面的提示，判断2012是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由；
（4）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）根据题意，列出算式，运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）根据（2）中的结论，2012是否为4的倍数即可得到答案，然后再把20220写成两个连续偶数平方差的形式；
（4）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
【解答】解：（1）是，
∵28＝82﹣62，
∴28是神秘数．
（2）是．
两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．
理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，
∵2k+1是奇数，
∴它是4的倍数；
（3）是，
∵2 012＝4×503，故2k+1＝503，k＝251．
∴这两个数为2k+2＝504，2k＝502，
即2 012＝5042﹣5022；
（4）不是，
设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，
此数不是4的奇数倍，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【点评】此题考查了因式分解的实际运用，掌握平方差公式，理解新定义的意义是解题关键．
25．（14分）已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；
（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；
（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．
【分析】（1）欲证明BF＝AD，只要证明△BCF≌△ACD即可；
（2）结论：BD＝2CF．如图2中，作EH⊥AC于H．只要证明△ACD≌△EHA，推出CD＝AH，EH＝AC＝BC，由△EHF≌△BCF，推出CH＝CF即可解决问题；
（3）利用（2）中结论即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵BE⊥AD于E，
∴∠AEF＝∠BCF＝90°，
∵∠AFE＝∠CFB，
∴∠DAC＝∠CBF，
∵BC＝CA，
∴△BCF≌△ACD，
∴BF＝AD．
（2）结论：BD＝2CF．
理由：如图2中，作EH⊥AC于H．
∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，
∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，
∴△ACD≌△EHA，
∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，
∵CB＝CA，
∴BD＝CH，
∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，
∴△EHF≌△BCF，
∴FH＝CF，
∴BD＝CH＝2CF．
（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．
∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，
∴＝＝．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题