福建省龙岩市长汀县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题(含答案)

2021—2022学年第二学期期中质量抽查

八年级数学试题

(考试时间：120分钟   满分150分)

一、选择题(每小题4分，共40分)

1.若在实数范围内有意义，则x的取值范是

A.       B.       C.        D.

2.下列各式中计算正确的是

A.       B.        C.       D.

3.计算：，则中的数是

A.6        B.        C.2         D.

4.在综合实践活动课上，小明用三根木棒首尾顺次相接摆三角形，下列每组数分别是三根木棒的长度(单位：cm)，其中能摆出直角三角形的一组是

A.32，42，52        B.9，12，15        C.6，7，8         D.4，4，7

5.下列命题中，真命题是

A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形      B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形    D.两条对角线相等的四边形是矩形

6.为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪(如图所示)，测溢仪离地面的距离AB=2.4米米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到高门0.8米的地方时(即测温仪自动显示体温，则人头顶高测温仪的距离AD等于

A.1.5米        B.1.25米         C.1.2米         D.1.0米

7.如图1是一张等腰直角三角形纸片，直角边的长度为2cm，用剪刀沿一直角边和斜边的中点连线(图中虚线)剪开后，拼成如图2的四边形，则该四边形的周长为

A.6cm         B.4cm       C.cm       D.(4+)cm

8.如图，点O是□ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F.下列结论成立的是

A.OE=OF       B.AE=BF      C.∠DOC=∠OCD        D.∠CFE=∠DEF

9.如图，把两个边长分别为1，2的小长方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个正方形ABCD(中间空心都分记为正方形A'B'C'D'.下列说法错误的是

A.小正方形A'B'C'D'的边长为1

B.每个直角三角形的面积为1

C.大正方形ABCD面积是小正方形A'B'C'D'面积的4倍

D.大正方形ABCD的边长为

10.如图，矩形ABCD中，P为AB边上一动点(含端点)，B为CD中点，F为CP中点，当点P由B向A运动时，下面对EF变化情况描述正确的是

A.由小变大      B.由大变小       C.先变大后边小         D.先变小后变大

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)

11.化简：=___________.

12.已知平行四边形ABCD的周长是28cm，AC和BD交于0，△OAB的周长比△OBC的周长小2cm，则AB=____________cm.

13.已知一个三角形的三边长分别为cm、3cm、2cm，则这个三角形的面积为____________cm2.

14.如图，已知□ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DQB的周长为16，则BD的长为______________.

15.如图，矩形ABCD中，B为BC中点，将△ABB沿直线AB折叠，使得点B落在点F处，连接FC.若∠DAF=18°，则∠DCF=______________.

16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，若AB=5，BC=4，则△ACE的面积为_____________.

三、解答题(本大题共9小题，共86分)

17.(8分)计算：.

18.(8分)已知，，求下列各式的值.

(1)；

(2).

19.(8分)在□ABCD中，点O是对角线BD、AC的交点，点P是边AD上一点，连接PO并延长交BC于点Q.

(1)求证：OP=OQ；

(2)已知□ABCD的面积是12，AP=1，PD=4，那么四边形ODCQ的面积是___________.

20.(8分)在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距高为1200米，且CA⊥CB如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封错？请通过计算进行说明.

21.(8分)如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在边OB上，四边形AEBF是平行四边形.

(1)请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)请说明你的画法的正确性.

22.(10分)如图是直角三角尺(△ABC)和等原直角三角尺(△BCD)放置在同一平面内，斜边BC合在一起，∠A=∠BDC=90°，∠ABC=30°，BD=CD，DE⊥AB交AB于点E；作DF⊥AC交AC的延长线于点F.

(1)求证：四边形AEDF是正方形.

(2)当AC=4时，求正方形AEDF的边长.

23.(10分)如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为10m，端点B高墙角的水平距高BC长为6m.

(1)已知A端沿AC向下移动到A1，AA1=acm，B端将沿CB方向移动到B1，BB1=bcm，.

①当a=1时，求b的值；

②当时，求a的值.

(2)在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最_______值(填“大”或“小”)，该最值是_______cm2.

24.(12分)如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线长度的平方是四边形某两边长度的乘积，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”，如图1，在这个四边形ABCD中，AB=AC=AD，满足AC2=AB×AD，四边形ABCD是内亮四边形，AC是亮线.

(1)以下说法在确的是__________(填写序号)

①正方形不可能是闪亮四边形   ②矩形有可能是闪亮四边形

③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个角为120°

(2)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，AB=12，CD=20，四边形ABCD是否为闪亮四边形？如果是，哪条线段是亮线，并写出验证过程，如果不是，说明理由.

25.(14分)如图，在平行四边形ABCD中，点E为AC上一点，点E与点F关于CD对称.

(1)连接DE，DF，CF，已知EF与CD交于点O，ED∥CF.

①求证：四边形ECFD是菱形.

②若点E为AC的中点，求证：AD=EF；

(2)若四边形ABCD是正方形，连接BD，BE，BF，当△BDF是直角三角形时，求的值.

2021-2022学年第二学期期中八年级数学

参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）

二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分）

11.3；   12.6；   13.；   14.13；   15.36°；   16.

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17.（8分）计算：．

解：原式……………6分

．………………8分

18.(8分)已知，，求下列各式的值.

(1)；

(2).

解：(1)∵，

∴，……………1分

……………3分

∴……………4分

(2)∵，

∴，……………6分

∴……………8分

19.（8分）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AO＝CO，……………1分

∴∠PAO＝∠QCO，∠APO＝∠CQO……………3分

∴△APO≌△CQO，……………4分

∴OP＝OQ，……………5分

（2）四边形ODCQ的面积是3.6.……………8分

20.（8分）解：公路AB不需要暂时封锁．……………1分

理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．

∵CA⊥CB，

∴∠ACB＝90°，……………2分

∵BC＝1200米，AC＝500米，

∴根据勾股定理有AB＝（米）．……………3分

∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AC……………5分

∴CD＝（米）．……………7分

由于400米＜米，故没有危险，……………8分

因此AB段公路不需要暂时封锁．……………8分

21.（8分）解：（1）射线OP即为所求，……………4分

（2）连结AB、EF交于点P，作射线OP，

∵四边形AEBF是平行四边形

∴AP＝BP，……………5分

又AO＝BO，OP＝OP，……………6分

∴△APO≌△BPO，……………7分

∴∠AOP＝∠BOP．……………8分

22.（10分）（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠AED=∠F=90°……………1分

∵∠A=90°

∴四边形AEDF是矩形……………2分

∵∠CDF+∠EDE=∠CDE+∠BED=90°

∴∠CDF＝∠BDE……………3分

在△BDE和△CDF中

∴△BDE≌△CDF(AAS)，……………4分

∴DE=DF……………5分

∴四边形AEDF是正方形．……………6分

（2）解：∵∠A=90°，∠ABC=30°，AC=4

∴BC=2AC=8，AB=……………7分

设CF=BE=x

得

解得：……………9分

∴正方形AEDF的边长是．……………10分

23.（10分）解：（1）①由题意可知△ABC是直角三角形，

∵BC＝6，AB＝10，

∴AC=，

∴a＝AC﹣AA1＝8﹣1＝7，

∴B1C=，……………1分

∴b＝B1C﹣BC＝.……………2分

②当a＝b时，A1C＝8﹣a，CB1＝6+a，

由勾股定理得：A1C2+CB12＝A1B12，……………3分

即（8﹣a）2+（6+a）2＝102，

化简得a²-2a=0，

∵a＞0

∴a＝2．……………5分

(2)大，……………7分

25．……………10分

理由如下：以A1B1为底，过C作A1B1的垂线CD，D为垂足，取AB的中点O，

∴CD≤CO

在竹竿下滑过程中，当CD为△A1CB1的中线时，△A1CB1的面积最大，

最大值＝×10×5＝25．

24.（12分）解：（1）①③；……………4分

讲评：①设正方形的边长为，则对角线为，

∵，，

∴，

∴正方形不可能是闪亮四边形，①正确；

②设矩形的一组邻边为a、b，则对角线的平方为，

该矩形两边长乘积为，

∴若成立时，可满足闪亮四边形的定义，

∵，

∴恒成立，

∴矩形不可能是闪亮四边形，②错误；

③如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，

若菱形ABCD为闪亮四边形，则AC2=AB·AD=AB2，

即：AC=AB，

∵AB=BC，

∴AB=AC=BC，△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠BAD=120°，

∴若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个角为120°，③正确；

（2）∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠BAD=90°，

∵AD=9，AB=12，

∴由勾股定理得BD2=225，……………5分

如图，作DE⊥BC于E点，则四边形ABED为矩形，

∴DE=AB=12，BE=AD=9，……………7分

在Rt△DEC中，CD=20，

由勾股定理得CE=16，

∴BC=BE+CE=25，……………8分

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=769，……………9分

∵AD·BC=9×25=225，……………10分

∴BD2=AD·BC，……………11分

∴四边形ABCD是闪亮四边形，BD为亮线．……………12分

25.（14分）（1）证明：①如图1，

∵点E，点F关于CD对称．

∴DE＝DF；CE＝CF，OE＝OF，CD⊥EF，…………1分

∴∠ECO＝∠FCO，

∵ED∥CF，

∴∠FCO＝∠EDO，…………2分

∴∠ECO＝∠EDO，

∴DE＝EC，

∴DE＝DE＝EC＝CF，

∴四边形ECFD是菱形．…………3分

②如图2，由得①得四边形ECFD是菱形，

∴OE＝OF＝EF，OD＝OC，……………4分

又∵AE＝EC，

∴OE＝AD……………5分

∴AD＝EF………………6分

（画图说明：∵CD⊥EF，OE为中位线，∴平行四边形ABCD是矩形）

（2）解：四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，则有以下情况：

Ⅰ．第一种情况：若∠BFD＝90°时，E、F、C三点重合，BF＝BE，即．………8分

Ⅱ．第二种情况：当∠BDF＝90°时，如图3，……………9分

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BDC＝45°，

∴∴∠CDF＝∠BDF-∠BDC=45°

∵点E与点F关于CD对称，

∴EF⊥CD，∠EDC＝∠CDF＝45°，

∵点E为AC上一点

∴E为AC与BD的交点，

∴BE＝DE，……………10分

∵DE=DF，

∴△EFD为等腰直角三角形，

∴DF＝DE＝BE，

在Rt△BDF中，BF＝，……………11分

∴即．……………12分

Ⅲ．点E为AC上一点，所以∠DBF＝90°不存在．……………13分

综上所述：若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，的值为1或.………14分