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2021-2022学年福建省龙岩市漳平市八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年福建省龙岩市漳平市八年级（上）期中数学试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省龙岩市漳平市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：
1．（3分）以下是某中学初二年级的学生在学习了轴对称图形之后设计的．下面这四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别是1和3，则它的周长为（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．4或7
3．（3分）下列说法正确的有（ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由（ ）可得△AFC≌△AEB．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
5．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A．△AA'P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA'，CC'
C．△ABC与△A'B'C'面积相等
D．直线AB、A'B'的交点不一定在MN上
6．（3分）如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB＝4，AC＝3，则△ADF周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
7．（3分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
8．（3分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）
A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF
9．（3分）如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．0.4 cm2 B．0.5 cm2 C．0.6 cm2 D．0.7 cm2
10．（3分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：
11．（3分）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C是 °．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是 ．
13．（3分）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2，且S1＝S2，请说出说明AD是△ABC角平分线的依据 ．
15．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
16．（3分）在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD于E，若BE＝4，BD＝5，CD＝9，则△ABC的周长是 ．
三、解答题：
17．（8分）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
18．（8分）如图，A点坐标为（3，4），A、B、C均在格点上，请在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（1）请你画出△A1B1C1并写出A'的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE＝∠CAD．求证：BE⊥AC．
21．（8分）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形（请画出图形，写出已知、求证、证明的过程）．
22．（10分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②判断△CFH的形状并说明理由．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．
（1）在图中，依题意补全图形；
（2）记∠DAC＝α （α＜45° ），求∠ABF 的大小；（用含α 的式子表示）
（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．
24．（12分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：CE平分∠ACF；
（3）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
25．（14分）如图①，平面直角坐标系xOy中，若A（0，a）、B（b，0）且，以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．
（1）求C点坐标；
（2）如图②过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；
（3）如图③在（1）中，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请求出写出它们的比值，并说明理由．
2021-2022学年福建省龙岩市漳平市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．（3分）以下是某中学初二年级的学生在学习了轴对称图形之后设计的．下面这四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图案，故此选项错误；
B、是轴对称图案，故此选项错误；
C、不是轴对称图案，故此选项正确；
D、是轴对称图案，故此选项错误；
故选：C．
2．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别是1和3，则它的周长为（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．4或7
【分析】分两种情况讨论：当1是腰时或当3是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．
【解答】解：当1是腰时，则1+1＜3，不能组成三角形，应舍去；
当3是腰时，则三角形的周长是1+3×2＝7．
故选：B．
3．（3分）下列说法正确的有（ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④
【分析】①根据等腰三角形及等边三角形的定义进行解答即可；
②由三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，可得结论；
③根据等腰三角形的定义进行解答；
④根据三角形按角分类情况可得答案．
【解答】解：①∵有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，
∴等腰三角形不一定是等边三角形，
∴①错误；
②∵三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，
∴②错误；
③∵两边相等的三角形称为等腰三角形，
∴③正确；
④∵三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
∴④正确．
故选：C．
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由（ ）可得△AFC≌△AEB．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】根据中线定义可得AE＝AC，AF＝AB，进而得到AF＝AE，然后再利用SAS定理证明△AFC≌△AEB．
【解答】解：∵BE、CF是中线，
∴AE＝AC，AF＝AB，
∵AB＝AC，
∴AF＝AE，
在△AFC和△AEB中，
∴△AFC≌△AEB（SAS），
故选：B．
5．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A．△AA'P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA'，CC'
C．△ABC与△A'B'C'面积相等
D．直线AB、A'B'的交点不一定在MN上
【分析】由轴对称的性质可知△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，
∵P为MN上任一点，
∴AP＝A'P，
∴△AA'P是等腰三角形，
∴A选项不符合题意；
∵AP＝A'P，CP＝C'P，
∴MN垂直平分AA'、CC'，
∴B选项不符合题意；
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴△ABC与△A'B'C'面积相等，
∴C选项不符合题意；
∵由轴对称的性质，可知直线AB、A'B'的交点一定在MN上，
∴D选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB＝4，AC＝3，则△ADF周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【分析】根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠EBC，∠ECF＝∠ECB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠BED，∠ECB＝∠CEF，然后求出∠EBD＝∠DEB，∠ECF＝∠CEF，再根据等角对等边可得ED＝BD，EF＝CF，即可得出DF＝BD+CF；求出△ADF的周长＝AB+AC，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵E是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴∠EBD＝∠EBC，∠ECF＝∠ECB，
∵DF∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，
∴∠DEB＝∠DBE，∠FEC＝∠FCE，
∴DE＝BD，EF＝CF，
∴DF＝DE+EF＝BD+CF，
即DE＝BD+CF，
∴△ADF的周长＝AD+DF+AF＝（AD+BD）+（CF+AF）＝AB+AC，
∵AB＝4，AC＝3，
∴△ADF的周长＝4+3＝7，
故选：B．
7．（3分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠ECB＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
故选：A．
8．（3分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）
A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF
【分析】依据尺规作图，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，进而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．
【解答】解：由作图可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；
而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；
故选：A．
9．（3分）如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．0.4 cm2 B．0.5 cm2 C．0.6 cm2 D．0.7 cm2
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP＝∠EBP，
又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝0.5cm2，
故选：B．
10．（3分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE＝PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选：B．
二、填空题：
11．（3分）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C是 40 °．
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
故答案为：40．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是 3 ．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DC即可得解．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C＝90°，
∴DE＝DC，
∵DC＝3，
∴DE＝3，
即点D到AB的距离DE＝3．
故答案为：3．
13．（3分）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于 126° ．
【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代换得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根据三角形的内角和求出∠BFC＝66°，根据∠AFC＝∠AFB+∠BFC即可得到结论．
【解答】解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝（180°﹣∠FBC）＝66°，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，
故答案为：126°．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2，且S1＝S2，请说出说明AD是△ABC角平分线的依据 到角两边距离相等的点在角平分线上 ．
【分析】先根据三角形的面积公式，推出DE＝DF，再根据（HL），证明Rt△DEA≌Rt△DFA，推角相等后得出结论．
【解答】证明：过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∵S1＝，S2＝，
∵S1＝S2，
∴＝，
∵AB＝AC，
∴DE＝DF，
∴AD是∠ABC角平分线；
即AD是△ABC角平分线；
∴AD是△ABC角平分线的依据：到角两边距离相等的点在角平分线上．
故答案为：到角两边距离相等的点在角平分线上．
15．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 10 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．
16．（3分）在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD于E，若BE＝4，BD＝5，CD＝9，则△ABC的周长是 42 ．
【分析】延长BE交AC于F，利用ASA证明△AEB≌△AEF，得BE＝EF，AB＝AF．∠ABE＝∠AFE，再证明FB＝FC＝8，由AD是∠BAC的角平分线，得，则AB＝10，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长BE交AC于F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEF，
在△AEB与△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴BE＝EF，AB＝AF．∠ABE＝∠AFE，
∵BE＝4，
∴EF＝4，BF＝BE+EF＝8，
∵∠AFE＝∠FBC+∠C，
∴∠ABE＝∠FBC+∠C，
∵∠ABC＝∠ABE+∠FBC＝2∠FBC+∠C＝3∠C，
∴∠FBC＝∠C，
∴FB＝FC＝8，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴，
∴AB＝10，
∴AC＝AB+FC＝18，
∴C△ABC＝AB+AC+BC
＝10+18+5+9
＝42，
故答案为：42．
三、解答题：
17．（8分）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
【分析】由垂直的定义，DE＝DF，CE＝BF证明△BDF≌△CDE，得出对应角相等即可．
【解答】证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠B＝∠C．
18．（8分）如图，A点坐标为（3，4），A、B、C均在格点上，请在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（1）请你画出△A1B1C1并写出A'的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（﹣3，4）；
（2）．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF．
【分析】根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答即可．
【解答】证明：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠B，DF平分∠D，
∴∠EBF+∠FDC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠EBF＝∠DFC，
∴BE∥DF．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE＝∠CAD．求证：BE⊥AC．
【分析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C＝90°．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C＝90°，
又∵∠CBE＝∠CAD，
∴∠CBE+∠C＝90°，
∴BE⊥AC．
21．（8分）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形（请画出图形，写出已知、求证、证明的过程）．
【分析】根据题意画出图形，即可写出已知、求证，根据平行线的判定和性质、三角形的外角性质即可证明．
【解答】
已知：如图：∠DAC是△ABC的外角，
AE平分∠DAC，AE∥BC．
求证：△ABC为等腰三角形．
证明：∵AE∥BC，
∴∠EAD＝∠B，
∠EAC＝∠C，
∵AE平分∠DAC，
∴∠EAD＝∠EAC，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
22．（10分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②判断△CFH的形状并说明理由．
【分析】①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；
②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF＝∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF＝CH，由CF＝CH和∠ACH＝60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．
【解答】①证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，BC＝AC，CE＝CD
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
②△CFH是等边三角形．
理由如下：
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF＝∠CAH．
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACH＝60°．
∴∠BCF＝∠ACH，
在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF＝CH；
∵CF＝CH，∠ACH＝60°，
∴△CFH是等边三角形．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．
（1）在图中，依题意补全图形；
（2）记∠DAC＝α （α＜45° ），求∠ABF 的大小；（用含α 的式子表示）
（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据轴对称即可得出结论；
（2）先判断出AE＝AC，再表示出∠BAE，即可得出结论；
（3）先判断出△BCF是直角三角形，结合△ACE是等边三角形，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1所示；
（2）如图2，
连接AE，由题意可知，∠EAD＝∠CAD＝α，AC＝AE，
∴∠BAE＝90°﹣2α，
∵AB＝AC，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴；
（3），
证明：如备用图，连接AE，CF，
由（2）可知，∠AEB＝∠ABF＝45°+α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠CBF＝α，
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴∠ACF＝∠AEF＝135°﹣α，
∴∠BCF＝90°﹣α，
∵∠CBF+∠BCF＝90°，
∴△BCF是直角三角形．
∵△ACE是等边三角形，
∴α＝30°．
∴∠CBF＝30°
∴．
24．（12分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：CE平分∠ACF；
（3）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
【分析】（1）由于AB＝AC，AD＝AE，所以只需证∠BAD＝∠CAE即可得结论；
（2）证明∠ACE和∠ECF都等于60°即可；
（3）将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BCA＝60°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠ECF＝180﹣∠ACE﹣∠BCA＝60°，
∴∠ACE＝∠ECF，
∴CE平分∠ACF．
（3）解：∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∴四边形ADCE的周长＝CE+DC+AD+AE＝BD+DC+2AD＝2+2AD，
根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，
∵AB＝AC，
∴BD＝＝＝1．
25．（14分）如图①，平面直角坐标系xOy中，若A（0，a）、B（b，0）且，以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．
（1）求C点坐标；
（2）如图②过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；
（3）如图③在（1）中，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请求出写出它们的比值，并说明理由．
【分析】（1）由非负性可求a，b的值，由“AAS”可证△CAM≌△ABO，可得MC＝OA＝4，MA＝OB＝1，即可求解；
（2）由OD＝OA＝4，可得∠ADO＝45°，即可求解；
（3）由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得AF＝MF＝AM＝1，分别求出△AEF的面积和△AOB的面积，即可求解．
【解答】解：（1）作CM⊥OA于M，如图①所示：
则∠CMA＝∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∵，
∴a﹣4＝0，b﹣1＝0，
∴a＝4，b＝1，
∴OA＝4，OB＝1，
∵∠CAB＝90°，
∴∠OAB+∠CAM＝90°，
∴∠CAM＝∠ABO，
在△CAM和△ABO中，
，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴MC＝OA＝4，MA＝OB＝1，
∴OM＝OA+MA＝5，
∴C点坐标为（4，5）；
（2）∵CD⊥x轴，
∴D（4，0），
∴OD＝OA，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴∠ADO＝45°，
∴∠ADC＝90°﹣45°＝45°；
（3）A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值不会发生变化，S△AOB：S△AEF＝2；理由如下：作CM⊥OA于M，如图③所示：
由（1）知，A（0，4），C（4，5），
∴OA＝CM＝4，
∵△AEO是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝4，∠OAE＝90°，
∴∠EAF＝∠OAE＝90°＝∠CMF，
∵∠AFE＝∠MFC，AE＝CM，
∴△AEF≌△MCF（AAS），
∴AF＝MF＝AM，
∵C（4，5），A（0，4），
∴AM＝1，
∴MF＝，
∴，S△AOB＝×OA×OB＝×4×1＝2，
∴S△AOB：S△AEF＝2：1＝2，
即S△AOB：S△AEF的值是定值，不会发生变化．
2021-2022学年福建省龙岩市漳平市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：
1．（3分）以下是某中学初二年级的学生在学习了轴对称图形之后设计的．下面这四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别是1和3，则它的周长为（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．4或7
3．（3分）下列说法正确的有（ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由（ ）可得△AFC≌△AEB．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
5．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A．△AA'P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA'，CC'
C．△ABC与△A'B'C'面积相等
D．直线AB、A'B'的交点不一定在MN上
6．（3分）如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB＝4，AC＝3，则△ADF周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
7．（3分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
8．（3分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）
A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF
9．（3分）如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．0.4 cm2 B．0.5 cm2 C．0.6 cm2 D．0.7 cm2
10．（3分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：
11．（3分）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C是 °．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是 ．
13．（3分）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2，且S1＝S2，请说出说明AD是△ABC角平分线的依据 ．
15．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
16．（3分）在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD于E，若BE＝4，BD＝5，CD＝9，则△ABC的周长是 ．
三、解答题：
17．（8分）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
18．（8分）如图，A点坐标为（3，4），A、B、C均在格点上，请在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（1）请你画出△A1B1C1并写出A'的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE＝∠CAD．求证：BE⊥AC．
21．（8分）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形（请画出图形，写出已知、求证、证明的过程）．
22．（10分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②判断△CFH的形状并说明理由．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．
（1）在图中，依题意补全图形；
（2）记∠DAC＝α （α＜45° ），求∠ABF 的大小；（用含α 的式子表示）
（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．
24．（12分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：CE平分∠ACF；
（3）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
25．（14分）如图①，平面直角坐标系xOy中，若A（0，a）、B（b，0）且，以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．
（1）求C点坐标；
（2）如图②过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；
（3）如图③在（1）中，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请求出写出它们的比值，并说明理由．
2021-2022学年福建省龙岩市漳平市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．（3分）以下是某中学初二年级的学生在学习了轴对称图形之后设计的．下面这四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图案，故此选项错误；
B、是轴对称图案，故此选项错误；
C、不是轴对称图案，故此选项正确；
D、是轴对称图案，故此选项错误；
故选：C．
2．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别是1和3，则它的周长为（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．4或7
【分析】分两种情况讨论：当1是腰时或当3是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．
【解答】解：当1是腰时，则1+1＜3，不能组成三角形，应舍去；
当3是腰时，则三角形的周长是1+3×2＝7．
故选：B．
3．（3分）下列说法正确的有（ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④
【分析】①根据等腰三角形及等边三角形的定义进行解答即可；
②由三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，可得结论；
③根据等腰三角形的定义进行解答；
④根据三角形按角分类情况可得答案．
【解答】解：①∵有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，
∴等腰三角形不一定是等边三角形，
∴①错误；
②∵三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，
∴②错误；
③∵两边相等的三角形称为等腰三角形，
∴③正确；
④∵三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
∴④正确．
故选：C．
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由（ ）可得△AFC≌△AEB．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】根据中线定义可得AE＝AC，AF＝AB，进而得到AF＝AE，然后再利用SAS定理证明△AFC≌△AEB．
【解答】解：∵BE、CF是中线，
∴AE＝AC，AF＝AB，
∵AB＝AC，
∴AF＝AE，
在△AFC和△AEB中，
∴△AFC≌△AEB（SAS），
故选：B．
5．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A．△AA'P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA'，CC'
C．△ABC与△A'B'C'面积相等
D．直线AB、A'B'的交点不一定在MN上
【分析】由轴对称的性质可知△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，
∵P为MN上任一点，
∴AP＝A'P，
∴△AA'P是等腰三角形，
∴A选项不符合题意；
∵AP＝A'P，CP＝C'P，
∴MN垂直平分AA'、CC'，
∴B选项不符合题意；
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴△ABC与△A'B'C'面积相等，
∴C选项不符合题意；
∵由轴对称的性质，可知直线AB、A'B'的交点一定在MN上，
∴D选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB＝4，AC＝3，则△ADF周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【分析】根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠EBC，∠ECF＝∠ECB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠BED，∠ECB＝∠CEF，然后求出∠EBD＝∠DEB，∠ECF＝∠CEF，再根据等角对等边可得ED＝BD，EF＝CF，即可得出DF＝BD+CF；求出△ADF的周长＝AB+AC，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵E是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴∠EBD＝∠EBC，∠ECF＝∠ECB，
∵DF∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，
∴∠DEB＝∠DBE，∠FEC＝∠FCE，
∴DE＝BD，EF＝CF，
∴DF＝DE+EF＝BD+CF，
即DE＝BD+CF，
∴△ADF的周长＝AD+DF+AF＝（AD+BD）+（CF+AF）＝AB+AC，
∵AB＝4，AC＝3，
∴△ADF的周长＝4+3＝7，
故选：B．
7．（3分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠ECB＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
故选：A．
8．（3分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）
A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF
【分析】依据尺规作图，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，进而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．
【解答】解：由作图可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；
而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；
故选：A．
9．（3分）如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．0.4 cm2 B．0.5 cm2 C．0.6 cm2 D．0.7 cm2
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP＝∠EBP，
又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝0.5cm2，
故选：B．
10．（3分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE＝PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选：B．
二、填空题：
11．（3分）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C是 40 °．
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
故答案为：40．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是 3 ．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DC即可得解．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C＝90°，
∴DE＝DC，
∵DC＝3，
∴DE＝3，
即点D到AB的距离DE＝3．
故答案为：3．
13．（3分）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于 126° ．
【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代换得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根据三角形的内角和求出∠BFC＝66°，根据∠AFC＝∠AFB+∠BFC即可得到结论．
【解答】解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝（180°﹣∠FBC）＝66°，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，
故答案为：126°．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2，且S1＝S2，请说出说明AD是△ABC角平分线的依据 到角两边距离相等的点在角平分线上 ．
【分析】先根据三角形的面积公式，推出DE＝DF，再根据（HL），证明Rt△DEA≌Rt△DFA，推角相等后得出结论．
【解答】证明：过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∵S1＝，S2＝，
∵S1＝S2，
∴＝，
∵AB＝AC，
∴DE＝DF，
∴AD是∠ABC角平分线；
即AD是△ABC角平分线；
∴AD是△ABC角平分线的依据：到角两边距离相等的点在角平分线上．
故答案为：到角两边距离相等的点在角平分线上．
15．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 10 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．
16．（3分）在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD于E，若BE＝4，BD＝5，CD＝9，则△ABC的周长是 42 ．
【分析】延长BE交AC于F，利用ASA证明△AEB≌△AEF，得BE＝EF，AB＝AF．∠ABE＝∠AFE，再证明FB＝FC＝8，由AD是∠BAC的角平分线，得，则AB＝10，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长BE交AC于F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEF，
在△AEB与△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴BE＝EF，AB＝AF．∠ABE＝∠AFE，
∵BE＝4，
∴EF＝4，BF＝BE+EF＝8，
∵∠AFE＝∠FBC+∠C，
∴∠ABE＝∠FBC+∠C，
∵∠ABC＝∠ABE+∠FBC＝2∠FBC+∠C＝3∠C，
∴∠FBC＝∠C，
∴FB＝FC＝8，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴，
∴AB＝10，
∴AC＝AB+FC＝18，
∴C△ABC＝AB+AC+BC
＝10+18+5+9
＝42，
故答案为：42．
三、解答题：
17．（8分）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
【分析】由垂直的定义，DE＝DF，CE＝BF证明△BDF≌△CDE，得出对应角相等即可．
【解答】证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠B＝∠C．
18．（8分）如图，A点坐标为（3，4），A、B、C均在格点上，请在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（1）请你画出△A1B1C1并写出A'的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（﹣3，4）；
（2）．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF．
【分析】根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答即可．
【解答】证明：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠B，DF平分∠D，
∴∠EBF+∠FDC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠EBF＝∠DFC，
∴BE∥DF．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE＝∠CAD．求证：BE⊥AC．
【分析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C＝90°．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C＝90°，
又∵∠CBE＝∠CAD，
∴∠CBE+∠C＝90°，
∴BE⊥AC．
21．（8分）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形（请画出图形，写出已知、求证、证明的过程）．
【分析】根据题意画出图形，即可写出已知、求证，根据平行线的判定和性质、三角形的外角性质即可证明．
【解答】
已知：如图：∠DAC是△ABC的外角，
AE平分∠DAC，AE∥BC．
求证：△ABC为等腰三角形．
证明：∵AE∥BC，
∴∠EAD＝∠B，
∠EAC＝∠C，
∵AE平分∠DAC，
∴∠EAD＝∠EAC，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
22．（10分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②判断△CFH的形状并说明理由．
【分析】①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；
②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF＝∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF＝CH，由CF＝CH和∠ACH＝60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．
【解答】①证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，BC＝AC，CE＝CD
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
②△CFH是等边三角形．
理由如下：
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF＝∠CAH．
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACH＝60°．
∴∠BCF＝∠ACH，
在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF＝CH；
∵CF＝CH，∠ACH＝60°，
∴△CFH是等边三角形．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．
（1）在图中，依题意补全图形；
（2）记∠DAC＝α （α＜45° ），求∠ABF 的大小；（用含α 的式子表示）
（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据轴对称即可得出结论；
（2）先判断出AE＝AC，再表示出∠BAE，即可得出结论；
（3）先判断出△BCF是直角三角形，结合△ACE是等边三角形，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1所示；
（2）如图2，
连接AE，由题意可知，∠EAD＝∠CAD＝α，AC＝AE，
∴∠BAE＝90°﹣2α，
∵AB＝AC，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴；
（3），
证明：如备用图，连接AE，CF，
由（2）可知，∠AEB＝∠ABF＝45°+α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠CBF＝α，
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴∠ACF＝∠AEF＝135°﹣α，
∴∠BCF＝90°﹣α，
∵∠CBF+∠BCF＝90°，
∴△BCF是直角三角形．
∵△ACE是等边三角形，
∴α＝30°．
∴∠CBF＝30°
∴．
24．（12分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：CE平分∠ACF；
（3）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
【分析】（1）由于AB＝AC，AD＝AE，所以只需证∠BAD＝∠CAE即可得结论；
（2）证明∠ACE和∠ECF都等于60°即可；
（3）将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BCA＝60°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠ECF＝180﹣∠ACE﹣∠BCA＝60°，
∴∠ACE＝∠ECF，
∴CE平分∠ACF．
（3）解：∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∴四边形ADCE的周长＝CE+DC+AD+AE＝BD+DC+2AD＝2+2AD，
根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，
∵AB＝AC，
∴BD＝＝＝1．
25．（14分）如图①，平面直角坐标系xOy中，若A（0，a）、B（b，0）且，以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．
（1）求C点坐标；
（2）如图②过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；
（3）如图③在（1）中，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请求出写出它们的比值，并说明理由．
【分析】（1）由非负性可求a，b的值，由“AAS”可证△CAM≌△ABO，可得MC＝OA＝4，MA＝OB＝1，即可求解；
（2）由OD＝OA＝4，可得∠ADO＝45°，即可求解；
（3）由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得AF＝MF＝AM＝1，分别求出△AEF的面积和△AOB的面积，即可求解．
【解答】解：（1）作CM⊥OA于M，如图①所示：
则∠CMA＝∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∵，
∴a﹣4＝0，b﹣1＝0，
∴a＝4，b＝1，
∴OA＝4，OB＝1，
∵∠CAB＝90°，
∴∠OAB+∠CAM＝90°，
∴∠CAM＝∠ABO，
在△CAM和△ABO中，
，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴MC＝OA＝4，MA＝OB＝1，
∴OM＝OA+MA＝5，
∴C点坐标为（4，5）；
（2）∵CD⊥x轴，
∴D（4，0），
∴OD＝OA，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴∠ADO＝45°，
∴∠ADC＝90°﹣45°＝45°；
（3）A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值不会发生变化，S△AOB：S△AEF＝2；理由如下：作CM⊥OA于M，如图③所示：
由（1）知，A（0，4），C（4，5），
∴OA＝CM＝4，
∵△AEO是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝4，∠OAE＝90°，
∴∠EAF＝∠OAE＝90°＝∠CMF，
∵∠AFE＝∠MFC，AE＝CM，
∴△AEF≌△MCF（AAS），
∴AF＝MF＝AM，
∵C（4，5），A（0，4），
∴AM＝1，
∴MF＝，
∴，S△AOB＝×OA×OB＝×4×1＝2，
∴S△AOB：S△AEF＝2：1＝2，
即S△AOB：S△AEF的值是定值，不会发生变化．
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