专题11 二元一次方程的六种实际应用-【B卷必考】2021-2022学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

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例1．某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．
（1）原来每天生产健身器械多少台？
（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？
【答案】（1）原来每天生产健身器械50台；（2）方案一：当m=8时，n=5，费用为：16000元；方案二：当m=9时，n=3,费用为：15900元，方案二费用最低．
【解析】（1）设原来每天生产健身器械x台，
根据题意得：
解这个方程得x=50，
经检验x=50是原方程的根，并符合实际
答原来每天生产健身器械50台；
（2）设运输公司用大货车m辆，小货车n辆
根据题意
由②得④，
把④代入③得，解得m≥8
∵m10，∴8≤m10
方案一：当m=8时，n=25-20=5，
费用为：8×1500+5×800=12000+4000=16000元；
方案二：当m=9时，n=3,
费用为9×1500+3×800=13500+2400=15900元，
方案二费用最低．
【变式训练1】为庆祝建党100周年，学校党支部号召广大党员积极开展“学知识、获积分、赢奖品!”活动，该校准备到苏宁电器超市采购奖品，发现该超市销售、两种型号的电风扇，型号每台进价为190元、型号每台进价为160元，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价：
（2）若超市准备再采购40台这两种型号的电风扇，且型号电风扇采购数量不超过型号数量的2倍，当这40台电风扇全部出售给学校且利润不低于1850元，求超市共有哪些采购方案?
【答案】（1）型电风扇的销售单价为240元/台，型销售单价为200元/台；（2）共有2种采购方案：方案1，采购型电风扇为25台，型电风扇为15台；方案2，采购型电风扇为26台，型电风扇为14台
【解析】（1）设型电风扇的销售单价为元/台，型电风扇的销售单价为元/台
，解得，
答：型电风扇的销售单价为240元/台，型销售单价为200元/台
（2）设型电风扇采购为台，由题意得
解得．
为正整数解，、26，共有2种采购方案
方案1，采购型电风扇为25台，型电风扇为15台；
方案2，采购型电风扇为26台，型电风扇为14台．
【变式训练2】已知：用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．根据以上信息，解答下列问题：
（1）辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）某物流公司现有货物吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，（，均大于），一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请用含有的式子表示，并帮该物流公司设计租车方案．
【答案】（1）辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨；（2），有两种租车方案：型车辆，型车辆或型车辆，型车辆
【解析】（1）设每辆型车装满货物一次可以运货吨、型车装满货物一次可以运货吨．
依题意列方程组得：， 解方程组， 得： ．
所以辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨．
（2）结合题意和（1）得： ，解得：．
都是正整数， 或 ．
方案一：型车辆，型车辆；
方案二：型车辆，型车辆；
所以 有两种租车方案：型车辆，型车辆或型车辆，型车辆．
类型二、行程问题
例1.小颖家离学校，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了，已知小颖在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．小颍上坡、下坡各用了多长时间？
【答案】小颖上坡用了，下坡用了．
【解析】设小颖上坡用了x小时，下坡用了y小时，
，解得，
即，，
所以，小颖上坡用了，下坡用了．
【变式训练1】甲、乙两人同时从，两地出发赶往目的地，，甲骑摩托车，乙骑自行车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经小时两人相遇． 已知在相遇时甲比乙多行驶了千米，相遇后经过小时甲到达地．
（1）求甲、乙两人行驶的速度．
（2）在整个行程中，问甲、乙行驶多少小时，两车相距千米．
【答案】（1）甲：，乙：；（2）或
【解析】（1）设甲的速度为，乙的速度为，
由题意得，解得
所以甲的速度为，乙的速度为
（2）由（1）可得，AB两地的距离为：，设甲、乙行驶小时后两人相距
①相遇前甲、乙相距
由题意可得，解得：
②相遇后甲、乙相距，由题意可得，解得：
所以当甲乙行驶2小时或3小时两人相距
【变式训练2】一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲、乙两车同时从B地出发，匀速行驶．乙车直接驶往C地，甲车先到A地取一物件后立即调转方向驶往C地（甲车取物件的时间忽略不计），甲车每小时比乙车多行驶30km．已知两车间距离y（km）与甲车行驶时间x（h）的关系图象．
（1）求两车的速度分别是多少？
（2）填空：A、C两地的距离是： ，图中的t＝ ；
（3）求甲车行驶多长时间，两车相距30km．
【答案】（1）v甲＝90km/小时，v乙＝60km/小时；（2）300km，；（3）0.2小时或4小时
【解析】解：（1）v甲＋v乙＝150①；v甲﹣v乙＝30②，
即，结合①②可得：v甲＝90km/小时，v乙＝60km/小时；
（2）乙用3.5小时候到达C地，故B、C之间的距离为：v乙t＝3.5×60＝210km．
甲用1小时从B到达A，故A、B之间的距离为v甲t＝90×1＝90km，
综上可得A、C之间的距离为：AB＋BC＝300km；
甲需要先花1小时从B到达A，然后再花＝小时从A到达C，
从而可得t＝＋1＝；
（3）当两车反向运动时：30÷150＝0.2（小时）
当两车同向运动时：－ 30÷90＝4（小时）；
答：甲车行驶0.2小时或4小时，两车相距30km．
【变式训练3】“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：
（1）求p，q的值；
（2）“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里程数？
【答案】（1）p=2；q=0.3；（2）7或13．
【解析】（1）由题意 ，解得；
（2）不妨设第一次的路程为x千米，有三种可能：
①第一次路程不超过8千米，第二次的路程超过8千米，
2×20+0.3（20÷40）×60+（20-x-8）×0.6=52，解得x=7；
②第一次路程超过8千米，第二次的路程也超过8千米，
2×20+0.3（20÷40）×60+（x-8）×0.6+（20-x-8）×0.6=52，不存在；
③第一次路程超过8千米，第二次的路程不超过8千米，
2×20+0.3（20÷40）×60+（x-8）×0.6=52，解得x=13．
类型三、工程问题
例1．长江是我们的母亲河，金港新区为了打造沿江风景，吸引游客搞活经济，将一段长为180米的沿江河道整治任务交由A、B两工程队先后接力完成．A工作队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天，求A、B两工程队分别整治河道多少米？
根据题意，七班甲同学列出的方程组如下．根据甲同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义：，x表示______表示______．
如果乙同学直接设A工程队整治河道x米，B工程队整治河道y米，列出了一个方程组，求A、B两工程队分别整治河道多少米，请你帮助他写出完整的解答过程．
【答案】A工程队整治河道的天数，B工程队整治河道的天数； A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米
【解析】根据题意：x表示A工程队整治河道的天数，y表示B工程队整治河道的天数，
故答案为：A工程队整治河道的天数，B工程队整治河道的天数
设A工程队整治河道x米，B工程队整治河道y米．
根据题意得，，解得，．
答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．
【变式训练1】现有一装修工程，若甲、乙两队装修队合作，需要12天完成；若甲队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要9天才能完成．求：
（1）甲乙两个装修队单独完成分别需要几天？
（2）已知甲队每天施工费用4000元，乙队每天施工费用为2000元，要使该工程施工总费用为70000元，则甲装修队施工多少天？
（3）甲装修队有装修工人12人，乙装修队有装修工人10人，该工程需要在13天内（包括13天）完成，该工程由甲乙两队合作完成，两队合作4天后，乙队另有任务需调出部分人员，则乙队最多调走多少人？
【答案】（1）甲、乙两装修队单独完成此项工程分别需要20天、30天；（2）10天；（3）2人
【解析】（1）设甲装修队单独完成此项工程需要x天．
根据题意，得，解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解．，
答：甲、乙两装修队单独完成此项工程分别需要20，30天．
（2）设实际工作中甲、乙两装修队分别做a、b天．
根据题意，得，解得a=10，b=15．
答：要使该工程施工总费用为70000元，甲装修队应施工10天．
（3）设乙装修队调走m人，由题意可得：
，解得：m≤，
∴m的最大整数值为2，答：乙队最多调走2人．
【变式训练3】某建筑公司为了完成一项工程，设计了两种施工方案．
方案一：甲工程队单独做需40天完成；
方案二：乙工程队先做30天后，甲、乙两工程队一起再合做20天恰好完成任务．
请问：
（1）乙工程队单独做需要多少天才能完成任务？
（2）现将该工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了x天，乙工程队做另一部分工程用了y天，若x，y都是正整数，且甲工程队做的时间不到15天，乙工程队做的时间不到70天，那么两工程队实际各做了多少天？
【答案】（1）乙工程队单独做需要100天才能完成任务；（2）甲队实际做了14天，乙队实际做了65天
【解析】（1）设乙工程队单独做需要x天完成任务，
由题意，得：，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解．
答：乙工程队单独做需要100天才能完成任务；
（2）根据题意得：，整理得：y＝100﹣x．
∵y＜70，∴100﹣x＜70．解得：x＞12．
又∵x＜15且为整数，∴x＝13或14．
当x＝13时，y不是整数，所以x＝13不符合题意，舍去．
当x＝14时，y＝100﹣×14＝100﹣35＝65．
答：甲队实际做了14天，乙队实际做了65天．
类型四、数字问题
例1．若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36．
（1）求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除；
（2）若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值．
【答案】（1）见解析；（2） B 的值为68或59．
【解析】（1）设A的十位数字为a，个位数字为b，
则A＝10a+b，它的“诚勤数”为100a+20+b，它的“立达数”为10a+b+2，
∴100a+20+b-（10a+b+2）＝90a+18＝6（15a+3），
∵a为整数，∴15a+3是整数，则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；
（2）设B＝10m+n，1≤m≤9，0≤n≤9（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），
∴B+2＝10m+n+2，则B的“立达数”为10（m+1）+（n+2-10），
∴m+1+n+2﹣10=（m+n），整理，得m+n＝14，
∵1≤m≤9，0≤n≤9，
∴、、、、，
经检验：77、86和95不符合题意，舍去，
∴所求两位数为68或59．
【变式训练1】有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数．
【答案】这个两位数是56，一位数是9
【解析】设两位数为x，一位数为y，根据题意，
得：，解得：，答：这个两位数是56，一位数是9．
【变式训练2】在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程和方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题．
周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
【答案】这个两位数是36．
【解析】设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y,
根据题意，得，解得
答：这个两位数是36.
类型五、年龄问题
例1．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【解析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据题意得，解得
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【变式训练1】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
【解析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，
依题意，得： ，解得： ．
答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
【变式训练2】聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄.
【答案】聪聪现在的年龄为14岁，妈妈现在的年龄为41岁.
【解析】(1)设聪聪的年龄为(10x+y)岁，则妈妈的年龄为(10y+x)岁，
根据题意得： ，解得： ．
答：聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．
类型六、利润问题
例1．某商店销售、两种型号的打印机，销售台型和台型打印机的利润和为元，销售台型和台型打印机的利润和为元．
（1）求每台型和型打印机的销售利润；
（2）商店计划购进、两种型号的打印机共台，其中型打印机数量不少于型打印机数量的一半，设购进型打印机台，这台打印机的销售总利润为元，求该商店购进、两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将型打印机的出厂价下调元（），但限定商店最多购进型打印机台，且、两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这台打印机总利润最大的进货方案．
【答案】（1）每台型打印机的利润为元，每台型打印机的利润为元；（2）当商店购进型号的打印机台，型号的打印机台时，才能使销售总利润最大；（3）综上所述，商店销售这台打印机总利润最大的进货方案为：方案一：当时，型打印机都进货台，型打印机都进货台；方案二：当时，型打印机满足的整数；方案三：当时，型打印机都进货台，型打印机都进货台；
【解析】（1）设每台A型打印机的利润为元，每台型打印机的利润为元，
根据题意得：，解得：，
每台A型打印机的利润为元，每台型打印机的利润为元．
答：每台A型打印机的利润为元，每台型打印机的利润为元．
（2）∵购进A型打印机台，则型打印机数量为（120-）台，
由题意得：，
，随的增大而减小，
，即，是正整数，时，最大，（台），
当商店购进A型号的打印机台，型号的打印机台时，才能使销售总利润最大．
答：当商店购进A型号的打印机台，型号的打印机台时，才能使销售总利润最大．
（3）A形打印机利润为(80+m)元，B形打印机利润不变，
由题意得：，
且，
①当时，即时，随的增大而增大，
时，最大，此时（台），
②当时，即时，，
当满足的整数时，最大．
③当时，即时，随的增大而减小，
当时，最大，此时（台），
综上所述，商店销售这台打印机总利润最大的进货方案为：
方案一：当时，A型打印机都进货台，型打印机都进货台；
方案二：当时，A型打印机满足的整数即可．
方案三：当时，A型打印机都进货台，型打印机都进货台；
【变式训练1】某商品经销店计划购进，两种纪念品，若购进种纪念品7件，种纪念品8件共需380元；若购进种纪念品10件，种纪念品6件共需380元．
（1）求，两种纪念品每件的进价分别为多少元；
（2）若该商店每销售1件种纪念品可获利5元，每销售1件种纪念品可获利7元，该商店准备购进，两种纪念品共40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，求该商店最多可以购进种纪念品多少件．
【答案】（1）20元，30元；（2）32件
【解析】（1）设，两种纪念品每件的进价分别为元，元．
根据题意，得，解得
答：，两种纪念品每件的进价分别为20元，30元．
（2）设该商店购进种纪念品件．根据题意，得，解得．
答：该商店最多可以购进种纪念品32件．
【变式训练2】玩具批发市场、玩具的批发价分别为每件元和元，张阿姨花元购进、两种玩具若干件，并分别以每件元与元价格出售．设购入玩具为件，玩具为件．
（1）若张阿姨将玩具全部出售赚了元，则张阿姨购进、型玩具各多少件？
（2）若要求购进玩具的数量不得少于玩具的数量，问如何购进玩具、的数量并全部出售才能获得最大利润，此时最大利润为多少元？
【答案】（1）张阿姨购进A型玩具20件，B型玩具12件；（2）购进玩具A、B的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
【解析】（1）由题意可得，，解得，，
答：张阿姨购进A型玩具20件，B型玩具12件；
（2）设利润为w元，w＝（35−30）x＋（60−50）y＝5x＋10×＝−x＋240，
∵购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，∴x≥，解得：x≥15，
∵−1＜0，∴w随x的增大而减小，
∴当x＝15时，w取最大值，最大值为225，
此时y＝（1200−30×15）÷50＝15，
答：购进玩具A、B的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
销售时段
销售数量
销售额
种型号
种型号
第一周
3台
3台
1320元
第二周
2台
6台
1680元
时间（分钟）
里程数（千米）
车费（元）
小明
7
5
12.1
小亮
6
4.5
10.8