2023届高考数学一轮复习作业空间几何体的结构及其表面积体积北师大版（答案有详细解析）

空间几何体的结构及其表面积、体积 

一、选择题

1．(2021·北京高考)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

A　[根据图示三视图画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图所示，故

S表＝3××1×1＋×()2＝．

]

2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　)

A．π　　B．π　　C．16π　　D．24π

B　[设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，则球的体积V＝πR3＝π．]

3．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为(　　)

A．32　　B．　　C．　　D．

B　[若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为．]

4．(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

C　[由题意知，可将金字塔看成如图所示的正四棱锥S­ABCD，其中M为AD的中点，O为底面正方形ABCD的中心，连接SM，SO，OM，则SO⊥底面ABCD，SM⊥AD，OM⊥AD，即正四棱锥S­ABCD的高为SO，侧面△SAD的高为SM．设底面正方形ABCD的边长为a，SM＝h，则OM＝，正四棱锥S­ABCD的一个侧面三角形的面积为ah，在Rt△SOM中，SO2＝SM2－OM2＝h2－＝h2－，以该正四棱锥的高为边长的正方形的面积为SO2＝h2－，故ah＝h2－，化简、整理得4h2－2ah－a2＝0，得4－2－1＝0，令＝t，则4t2－2t－1＝0，因为t>0，所以t＝，即＝，所以其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为，故选C．]

5．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1­BFE的体积为(　　)

A． B．

C． D．

C　[由等体积法可知V＝V＝S·AD＝×1××1＝．故选C．]

6．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米．已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)(　　)

A．410斛 B．420斛

C．430斛 D．441斛

D　[粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V＝×7×12＝714(立方尺)，又≈441，所以可以储存粟米约为441斛．

]

7．(2021·全国卷甲)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O­ABC的体积为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

A　[如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝．连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O­ABC的体积V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝．]

8．三棱锥P­ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为(　　)

A．4　　B．6　　C．8　　D．10

C　[依题意，设题中球的球心为O、半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则＝，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为＝3，因此三棱锥P­ABC的高的最大值为5＋3＝8，选C．]

二、填空题

9．(2021·全国卷甲)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．

39π　[设该圆锥的高为h，则由已知条件可得×π×62×h＝30π，解得h＝，则圆锥的母线长为＝＝，故该圆锥的侧面积为π×6×＝39π．]

10．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．

2＋　[如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E．

图①　　　　　　　　图②

在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝．

而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1．由此可还原原图形如图②．在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)×A′B′＝××2＝2＋．]

11．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积为________cm2 (结果中保留π)．

1 100π　[如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180°，所以C＝π·SA．

又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20(cm)．

同理SB＝40(cm)．

所以AB＝SB－SA＝20(cm)．

S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr

＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202

＝1 100π(cm2)．

故圆台的表面积为1 100π cm2．]

12．已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为________．设线段AB为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B点后再沿侧面回到A点，则该质点运动路径的最短长度为________．

　6　[该圆锥的高h＝＝2．

所以该圆锥的体积V＝×π×12×2＝π．

将圆锥侧面沿母线SA展开，如图所示．

因为圆锥底面周长为2π，所以侧面展开后得到的扇形的圆心角∠ASA′＝．

由题意知点B是侧面展开后得到的扇形中弧AA′的中点，

连接AB，A′B，SB，则∠ASB＝，可得AB＝A′B＝AS＝3．

所以该质点运动路径的最短长度为AB＋A′B＝6．]

1．(2021·福州质检)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为(　　)

A．　　B．π　　C．　　D．

C　[正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3×＝．故选C．]

2．(2021·全国卷乙)以图①为主视图，在图②③④⑤中选两个分别作为左视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选左视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即可)．

图①　　　　图②　　　　图③

图④　　　　　　　　图⑤

③④(答案不唯一，②⑤也可)　[根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是左视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选左视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤．若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示．

图1　　　　　　　图2]