葫芦岛市第四中学2021-2022学年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．若点M（﹣3，y1），N（﹣4，y2）都在正比例函数y=﹣k2x（k≠0）的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　）

A．y1＜y2    B．y1＞y2    C．y1=y2    D．不能确定

2．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）

A．. B．. C． D．.

3．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有(    )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的主视图是（   ）

A． B． C． D．

5．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）

A． B． C． D．

6．大箱子装洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个大小相同的小箱子里，装满后还剩余2千克洗衣粉，则每个小箱子装洗衣粉（   ）

A．6.5千克    B．7.5千克    C．8.5千克    D．9.5千克

7．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

8．关于x的正比例函数，y=（m+1）若y随x的增大而减小，则m的值为                  （     ）

A．2 B．-2 C．±2 D．-

9．下列计算结果等于0的是（    ）

A． B． C． D．

10．如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的中位数为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．9

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是______．

12．一个多项式与的积为，那么这个多项式为   .

13．现有八个大小相同的矩形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小矩形的面积是_____．

14．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且△AOB是正三角形，则∠ACB的度数是    。

15．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________

16．已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______________．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，AB为☉O的直径，CD与☉O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE，交☉O于点F，交切线于点C，连接AC.

（1）求证：AC是☉O的切线；

（2）连接EF，当∠D=     °时，四边形FOBE是菱形.

18．（8分）为营造浓厚的创建全国文明城市氛围，东营市某中学委托制衣厂制作“最美东营人”和“最美志愿者”两款文化衫．若制作“最美东营人”文化衫2件，“最美志愿者”文化衫3件，共需90元；制作“最美东营人”文化衫3件，“最美志愿者”5件，共需145元．

（1）求“最美东营人”和“最美志愿者”两款文化衫每件各多少元？

（2）若该中学要购进“最美东营人”和“最美志愿者”两款文化衫共90件，总费用少于1595元，并且“最美东营人”文化衫的数量少于“最美志愿者”文化衫的数量，那么该中学有哪几种购买方案？

19．（8分）如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A的正北方向的D处．

（1）求观测点B到航线的距离；

（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．

（参考数据： ≈1.73，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

20．（8分）计算：（-）-2 – 2（）+

21．（8分）我们来定义一种新运算：对于任意实数 x、y，“※”为 a※b＝（a+1）（b+1）﹣1.

（1）计算（﹣3）※9

（2）嘉琪研究运算“※”之后认为它满足交换律，你认为她的判断      （ 正确、错误）

（3）请你帮助嘉琪完成她对运算“※”是否满足结合律的证明．

22．（10分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上.

(1)给出以下条件；①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；

(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．

23．（12分）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元）

根据上表回答问题：

（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？

（2）周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？

（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？

24．已知：a是﹣2的相反数，b是﹣2的倒数，则

（1）a=_____，b=_____；

（2）求代数式a2b+ab的值．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】
根据正比例函数的增减性解答即可.

【详解】

∵正比例函数y=﹣k2x（k≠0），﹣k2＜0，

∴该函数的图象中y随x的增大而减小，

∵点M（﹣3，y1），N（﹣4，y2）在正比例函数y=﹣k2x（k≠0）图象上，﹣4＜﹣3，

∴y2＞y1，

故选：A．

【点睛】

本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx（k为常数，k≠0），当k＞0时， y=kx的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时， y=kx的图象经过二、四象限，y随x的增大而减小.

2、A

【解析】
根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．

【详解】

由题意得：m﹣1≠0，

解得：m≠1，

故选A．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

3、B

【解析】
解：根据中心对称的概念可得第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．

故选B．

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是本题的解题关键．

4、A

【解析】
对一个物体，在正面进行正投影得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图.

【详解】

解：由主视图的定义可知A选项中的图形为该立体图形的主视图，故选择A.

【点睛】

本题考查了三视图的概念.

5、D

【解析】
过B点作BD⊥AC，如图，

由勾股定理得，AB=，AD=，

cosA===，

故选D．

6、C

【解析】

【分析】设每个小箱子装洗衣粉x千克，根据题意列方程即可．

【详解】设每个小箱子装洗衣粉x千克，由题意得：

4x+2=36，

解得：x=8.5，

即每个小箱子装洗衣粉8.5千克，

故选C．

【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题，弄清题意，找出等量关系是解答本题的关键.

7、C

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；

D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误，

故选C．

【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.

8、B

【解析】
根据正比例函数定义可得m2-3=1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再解即可．

【详解】

由题意得：m2-3=1，且m+1＜0，

解得：m=-2，

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了正比例函数的性质和定义，关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0）的自变量指数为1，当k＜0时，y随x的增大而减小．

9、A

【解析】
各项计算得到结果，即可作出判断．

【详解】

解：A、原式=0，符合题意；
B、原式=-1+（-1）=-2，不符合题意；
C、原式=-1，不符合题意；
D、原式=-1，不符合题意，
故选：A．

【点睛】

本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10、B

【解析】
直接利用平均数的求法进而得出x的值，再利用中位数的定义求出答案．

【详解】

∵一组数据1，7，x，9，5的平均数是2x，

∴，

解得：，

则从大到小排列为：3，5，1，7，9，

故这组数据的中位数为：1．

故选B．

【点睛】

此题主要考查了中位数以及平均数，正确得出x的值是解题关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、1﹣1

【解析】
如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=1，即可求出B′D．

【详解】

如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，

根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，

∴EB′⊥B′F，

∴EB′=EB，

∵E是AB边的中点，AB=4，

∴AE=EB′=1，

∵AD=6，

∴DE=，

∴B′D=1﹣1．

【点睛】

本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点B′在何位置时，B′D的值最小是解题的关键．

12、

【解析】

试题分析：依题意知

=

考点：整式运算

点评：本题难度较低，主要考查学生对整式运算中多项式计算知识点的掌握。同底数幂相乘除，指数相加减。

13、1．

【解析】
设小矩形的长为x，宽为y，则由图1可得5y=3x；由图2可知2y-x=2.

【详解】

解：设小矩形的长为x，宽为y，则可列出方程组，

，解得，

则小矩形的面积为6×10=1.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用.

14、30°

【解析】

试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.

∵△AOB是正三角形

∴∠AOB=60°

∴∠ACB=30°.

考点：圆周角定理

点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆周角定理，即可完成.

15、x=±1

【解析】

移项得x1=4，

∴x=±1．

故答案是：x=±1．

16、a＜2且a≠1．

【解析】
利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围．

【详解】

试题解析：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2-4ac＞0，即4-4×（a-2）×1＞0，

解这个不等式得，a＜2，

又∵二次项系数是（a-1），

∴a≠1．

故a的取值范围是a＜2且a≠1．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）详见解析；（2）30.

【解析】
（1）利用切线的性质得∠CEO=90°，再证明△OCA≌△OCE得到∠CAO=∠CEO=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）利用四边形FOBE是菱形得到OF=OB=BF=EF，则可判定△OBE为等边三角形，所以∠BOE=60°，然后利用互余可确定∠D的度数．

【详解】

（1）证明：∵CD与⊙O相切于点E，

∴OE⊥CD，

∴∠CEO=90°，

又∵OC∥BE，

∴∠COE=∠OEB，∠OBE=∠COA

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∴∠COE=∠COA，

又∵OC=OC，OA=OE，

∴△OCA≌△OCE（SAS），

∴∠CAO=∠CEO=90°，

又∵AB为⊙O的直径，

∴AC为⊙O的切线；

（2）∵四边形FOBE是菱形，

∴OF=OB=BF=EF，

∴OE=OB=BE，

∴△OBE为等边三角形，

∴∠BOE=60°，

而OE⊥CD，

∴∠D=30°．

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．

18、（1）“最美东营人”文化衫每件15元，“最美志愿者”文化衫每件20元；（2）有三种方案，具体见解析.

【解析】
（1）设“最美东营人”文化衫每件x元，“最美志愿者”文化衫每件y元，根据若制作“最美东营人”文化衫2件，“最美志愿者”文化衫3件，共需90元；制作“最美东营人”文化衫3件，“最美志愿者”5件，共需11元建立方程组求出其解即可；

（2）设购买“最美东营人”文化衫m件，根据总费用少于1595元，并且“最美东营人”文化衫的数量少于“最美志愿者”文化衫的数量，列出不等式组，然后求m的正整数解．

【详解】

（1）设“最美东营人”文化衫每件x元，“最美志愿者”文化衫每件y元，

由题意，得

，

解得：

．

答：“最美东营人”文化衫每件15元，“最美志愿者”文化衫每件20元；

（2）设购买“最美东营人”文化衫m件，则购买“最美志愿者”文化衫（90-m）件，

由题意，得，

解得：41＜m＜1．

∵m是整数，

∴m=42，43，2．

则90-m=48，47，3．

答：方案一：购买“最美东营人”文化衫42件，“最美志愿者”文化衫48件；

方案二：购买“最美东营人”文化衫43件，“最美志愿者”文化衫47件；

方案三：购买“最美东营人”文化衫2件，“最美志愿者”文化衫3件．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．

19、（1）观测点到航线的距离为3km（2）该轮船航行的速度约为40.6km/h

【解析】试题分析：（1）设AB与l交于点O，利用∠DAO=60°，利用∠DAO的余弦求出OA长，从而求得OB长，继而求得BE长即可；

（2）先计算出DE=EF+DF=求出DE=5，再由进而由tan∠CBE=求出EC，即可求出CD的长，进而求出航行速度．

试题解析：（1）设AB与l交于点O，

在Rt△AOD中，

∵∠OAD=60°，AD=2（km），

∴OA==4（km），

∵AB=10（km），

∴OB=AB﹣OA=6（km），

在Rt△BOE中，∠OBE=∠OAD=60°，

∴BE=OB•cos60°=3（km），

答：观测点B到航线l的距离为3km；

（2）∵∠OAD=60°，AD=2（km），∴OD=AD·tan60°=2 ，

∵∠BEO=90°，BO=6，BE=3，∴OE==3，

∴DE=OD+OE=5（km）；

CE=BE•tan∠CBE=3tan76°，

∴CD=CE﹣DE=3tan76°﹣5≈3.38（km），

∵5（min）= (h)，∴v==12CD=12×3.38≈40.6（km/h），

答：该轮船航行的速度约为40.6km/h．

【点睛】本题主要考查了方向角问题以及利用锐角三角函数关系得出EC，DE，DO的长是解题关键．

20、0

【解析】
本题涉及负指数幂、二次根式化简和绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【详解】

原式.

【点睛】

本题主要考查负指数幂、二次根式化简和绝对值，熟悉掌握是关键.

21、（1）-21；（2）正确；（3）运算“※”满足结合律

【解析】
（1）根据新定义运算法则即可求出答案．

（2）只需根据整式的运算证明法则a※b=b※a即可判断．

（3）只需根据整式的运算法则证明（a※b）※c=a※（b※c）即可判断．

【详解】

（1）（-3）※9=（-3+1）（9+1）-1=-21

（2）a※b=（a+1）（b+1）-1

b※a=（b+1）（a+1）-1，

∴a※b=b※a，

故满足交换律，故她判断正确；

（3）由已知把原式化简得a※b=（a+1）（b+1）-1=ab+a+b

∵（a※b）※c=（ab+a+b）※c

=（ab+a+b+1）（c+1）-1

=abc+ac+ab+bc+a+b+c

∵a※（b※c）=a（bcv+b+c）+（bc+b+c）+a=abc+ac+ab+bc+a+b+c

∴（a※b）※c=a※（b※c）

∴运算“※”满足结合律

【点睛】

本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算的法则，本题属于中等题型．

22、（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）选取①②，利用ASA判定△BEO≌△DFO；也可选取②③，利用AAS判定△BEO≌△DFO；还可选取①③，利用SAS判定△BEO≌△DFO；

（2）根据△BEO≌△DFO可得EO＝FO，BO＝DO，再根据等式的性质可得AO＝CO，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．

试题解析：

证明：（1）选取①②，

∵在△BEO和△DFO中，

∴△BEO≌△DFO（ASA）；

（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，

∴EO＝FO，BO＝DO，

∵AE＝CF，

∴AO＝CO，

∴四边形ABCD是平行四边形．

点睛：此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．

23、（1）25.6元；（2）收盘最高价为27元/股，收盘最低价为24.7元/股；（3）-51元，亏损51元.

【解析】

试题分析: （1）根据有理数的加减法的运算方法，求出星期二收盘时，该股票每股多少元即可．

（2）这一周内该股票星期一的收盘价最高，星期四的收盘价最低．

（3）用本周五以收盘价将全部股票卖出后得到的钱数减去买入股票与卖出股票均需支付的交易费，判断出他的收益情况如何即可．

试题解析:

(1)星期二收盘价为25+2−1.4=25.6(元/股)

答：该股票每股25.6元.

 (2)收盘最高价为25+2=27(元/股)

收盘最低价为25+2−1.45+0.9−1.8=24.7(元/股)

答：收盘最高价为27元/股，收盘最低价为24.7元/股.

 (3)(25.2-25) ×1000-5‰×1000×(25.2+25)=200-251=-51(元)

答：小王的本次收益为-51元.

24、2    ﹣   

【解析】

试题分析：利用相反数和倒数的定义即可得出.

先因式分解，再代入求出即可.

试题解析：是的相反数，是的倒数，

当时，

点睛:只有符号不同的两个数互为相反数.

乘积为的两个数互为倒数.