第3章二次函数（解答题提升题）-鲁教版（五四制）九年级数学上学期期末复习培优练习

这是一份第3章二次函数（解答题提升题）-鲁教版（五四制）九年级数学上学期期末复习培优练习，共73页。试卷主要包含了之间的函数关系如图中抛物线所示，，与y轴交于点C，，连接AC、BC，，顶点为C，三点等内容，欢迎下载使用。
第3章二次函数（解答题提升题）-鲁教版（五四制）九年级数学上学期期末复习培优练习
一．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
1．（2021•威海）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点B（2，yB），C（5，yC）在抛物线上，且yB＞yC，则m的取值范围是 　 　；（直接写出结果即可）
（3）当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值．
二．抛物线与x轴的交点（共1小题）
2．（2020•东营）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

四．二次函数综合题（共17小题）
4．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

5．（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．


6．（2022•济南）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+PQ的最大值．

7．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．

9．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

10．（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．

11．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2）与点C关于y轴对称．
（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；
（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．
直线AC的函数表达式
S取的一个特殊值
满足条件的P点的个数
S的可能取值范围
①　 　
6
4个
③　 　
②　 　
3个
\
10
2个
④　 　

12．（2021•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

14．（2021•东营）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．

15．（2021•济宁）如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．
17．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

18．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

19．（2020•泰安）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①当m＝时，求点P的坐标；
②求m的最大值．

20．（2020•德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．
探究：
（1）线段PA与PM的数量关系为　 　，其理由为：　 　．
（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
M的坐标
…
（﹣2，0）
（0，0）
（2，0）
（4，0）
…
P的坐标
…
　 　
（0，﹣1）
（2，﹣2）
　 　
…
猜想：
（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是　 　．
验证：
（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．
应用：
（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标yD的取值范围．


第3章二次函数（解答题提升题）-鲁教版（五四制）九年级数学上学期期末复习培优练习
参考答案与试题解析
一．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
1．（2021•威海）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点B（2，yB），C（5，yC）在抛物线上，且yB＞yC，则m的取值范围是 　m＜﹣3.5　；（直接写出结果即可）
（3）当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值．
【解答】解：（1）解法一：
y＝x2+2mx+2m2﹣m
＝（x+m）2﹣m2+2m2﹣m
＝（x+m）2+m2﹣m，
∴顶点A（﹣m，m2﹣m），
解法二：
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴代入关系式得，y＝（﹣m）2+2m（﹣m）+2m2﹣m＝m2﹣m，
∴顶点A（﹣m，m2﹣m），
（2）解法一：
∵，a＝1开口向上，如图，
∴当对称轴大于3.5时满足题意，
∴﹣m＞3.5，
∴m＜﹣3.5，

解法二：
∵点B（2，yB），C（5，yC）在抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m上，
∴yB＝4+4m+2m2﹣m，yC＝25+10m+2m2﹣m，
又∵yB＞yC，
∴yB﹣yC＝（4+4m）﹣（25+10m）＞0，
解得，m＜﹣3.5，
故答案为：m＜﹣3.5；
（3）分三种情况讨论：
①当对称轴x＝﹣m≤1即m≥﹣1时，如图，
当x＝1时，y＝6，
∴6＝1+2m+2m2﹣m，
整理得，2m2+m﹣5＝0，
解得，，（舍去），
∴，

②当1＜﹣m≤3即﹣3≤m＜﹣1时，如图，
当x＝﹣m，y＝6，
∴6＝m2﹣m，
整理得，m2﹣m﹣6＝0，
解得，m1＝﹣2，m2＝3（舍），
∴m＝﹣2，

③当﹣m＞3即m＜﹣3时，如图，
当x＝3时，y＝6，
∴6＝9+6m+2m2﹣m，
整理得，2m2+5m+3＝0，
解得，（两个都舍去），
综上所述：m＝﹣2或m＝．


二．抛物线与x轴的交点（共1小题）
2．（2020•东营）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．
解得a＝﹣．
则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．
由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．
故A（﹣1，0），B（4，0）；

（2）存在，理由如下：
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴＝．
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．
∴CD＝2﹣1＝1．
∴＝EG．
设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．
将B（4，0），C（0，2）代入，得．
解得．
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2．
设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．
∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．
∴＝﹣（t﹣2）2+2．
∵＜0，
∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．

三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得：，
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；
（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，
∵y2的图象是过原点的抛物线，
设y2＝ax2+bx，
∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，
∴，
解得：，
∴y2＝﹣5x2+40x，
答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；
（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，
由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，
①1＜x≤6时，
y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x﹣）2+
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵1＜x≤6，
∴当x＝时，y的最大值为；
②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x﹣）2﹣，
∵a＝5＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∵6＜x≤8，
∴当x＝8时，y的最大值为70，
∵＜70，
∴高度差的最大值为70米．
四．二次函数综合题（共17小题）
4．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CB交对称轴于点Q，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∴Q（1，﹣2）；
（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，
∴M点与A点重合，
∴M（﹣1，0）；
当∠PBM＝90°时，PB＝BM，
过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH+∠MBG＝90°，
∵∠PBH+∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH，
∵BP＝BM，
∴△BPH≌△MBG（AAS），
∴BH＝MG，PH＝BG＝2，
设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），
∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，
解得t＝2+或t＝2﹣，
∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；
同理可得M（3+t，2），
∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，
解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，
∴M（1﹣，2）；
综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．


5．（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．


【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），
∴，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣+x+4；
（2）点D的坐标为（﹣8，8），理由：
将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，如图，

过点D作DE⊥x轴于点E，
∵A（﹣2，0）、B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4．
∵，，
∴．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO．
∵∠CBO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，
∴点D，C，B三点在一条直线上．
由轴对称的性质得：BC＝CD，AB＝AD．
∵OC⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥OC，
∴OC为△BDE的中位线，
∴OE＝OB＝8，DE＝2OC＝8，
∴D（﹣8，8）；
由题意得：S△ACD＝S△ABC，
∴四边形OADC的面积＝S△OAC+S△ADC
＝S△OAC+S△ABC
＝OC•OA+AB•OC
＝4×2+10×4
＝4+20
＝24；
（3）①当点P在BC上方时，如图，

∵∠PCB＝∠ABC，
∴PC∥AB，
∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为4，
令y＝4，则﹣+x+4＝4，
解得：x＝0或x＝6，
∴P（6，4）；
②当点P在BC下方时，如图，

设PC交x轴于点H，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴HC＝HB．
设HB＝HC＝m，
∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，
在Rt△COH中，
∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，
解得：m＝5，
∴OH＝3，
∴H（3，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴y＝﹣x+4．
∴，
解得：，．
∴P（，﹣）．
综上，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．
6．（2022•济南）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+PQ的最大值．

【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2+x﹣6，
∴64a+22﹣6＝0，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x﹣6，
当y＝0时，﹣t2+t﹣6＝0，
解得t＝3或t＝8（舍），
∴t＝3，
∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上，
∴8k﹣6＝0，
解得k＝，
∴y＝x﹣6；
（2）作PM⊥x轴交于M，
∵P点横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+m﹣6），
∴PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，
在Rt△COA和Rt△AMP中，
∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠OAC＝∠APM，
∴△COA∽△AMP，
∴＝，即OA•MA＝CO•PM，
3（m﹣3）＝6（m2﹣m+6），
解得m＝3（舍）或m＝10，
∴P（10，﹣）；
（3）作PN⊥x轴交BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，
∴PN＝﹣m2+m﹣6﹣（m﹣6）＝﹣m2+2m，
由△PQN∽△BOC，
∴＝＝，
∵OB＝8，OC＝6，BC＝10，
∴QN＝PN，PQ＝PN，
由△CNE∽△CBO，
∴CN＝EN＝m，
∴CQ+PQ＝CN+NQ+PQ＝CN+PN，
∴CQ+PQ＝m﹣m2+2m＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，CQ+PQ的最大值是．


7．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，

设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
＝PG•AE
＝×3×（﹣m2+5m﹣3）
＝﹣（m2﹣5m+3）
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，△OPE面积最大，
此时，P点坐标为（，﹣）；

（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点DM，交AE于点N，则E（2，3），

∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；

（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m＝（舍）或，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1＝（舍）或m2＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，

如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m1＝或m2＝（舍）；
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m＝或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
方法二：作直线DE：y＝x﹣2，

E（1，﹣1）是D点（1，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小2倍得到，
易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，
联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，
解得x1＝，x2＝，
同理可得x3＝或x4＝；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
8．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．

【解答】解：（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AC＝＝；

（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点P为该抛物线对称轴上，
∴设P（1，p），
∴PA＝＝，PC＝＝，
∵PA＝PC，
∴＝，
∴p＝﹣1，
∴P（1，﹣1）；

（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
设M（m，m2﹣2m﹣3），
∵△BCM为直角三角形，
∴①当∠BCM＝90°时，
如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴∠HMC＝45°＝∠HCM，
∴CH＝MH，
∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m＝m，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，
∴M（1，﹣4）；
②当∠CBM＝90°时，
过点M作M'H'⊥x轴，
同①的方法得，M'（﹣2，5）；
③当∠BMC＝90°时，如图2，
Ⅰ、当点M在第四象限时，

过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，
∴∠CDM＝∠E＝90°，
∴∠DCM+∠DMC＝90°，
∵∠DMC+∠EMB＝90°，
∴∠DCM＝∠EMB，
∴△CDM∽△MEB，
∴，
∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），
∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，
∴，
∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，
∴M（，﹣），
Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），
即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．

9．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点C（1，4）．
（2）设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图，

∵A（﹣1，0），C（1，4），
∴OA＝1，OE＝1，CE＝4．
∴OA＝OE，AC＝＝2．
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO∥CE，
∴OF＝CE＝2，F为AC的中点．
∵△DAC是以AC为底的等腰三角形，
∴DF⊥AC．
∵FO⊥AD，
∴△AFO∽△FDO．
∴．
∴．
∴OD＝4．
∴D（4，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：．
∴直线CD的解析式为y＝﹣．
∴，
解得：，．
∴P（）．
（3）过点P作PH⊥AB于点H，如下图，

则OH＝，PH＝，
∵OD＝4，
∴HD＝OD﹣OH＝，
∴PD＝＝．
∴PC＝CD﹣PD＝5﹣＝．
由（2）知：AC＝2．
设AF＝x，AE＝y，则CE＝2﹣y．
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C．
∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°，
∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，
又∵∠PEF＝∠CAB，
∴∠CEP＝∠AFE．
∴△CEP∽△AFE．
∴．
∴．
∴x＝﹣+y＝﹣+．
∴当y＝时，x即AF有最大值．
∵OA＝1，
∴OF的最大值为﹣1＝．
∵点F在线段AD上，
∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m≤．
10．（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，
∴△PEH∽△OEC，
∴＝，
∵＝k，OC＝3，
∴k＝PH，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴k＝（﹣t2+3t）＝（t﹣）2+，
∵＜0，
∴当t＝时，k取得最大值，此时，P（，）；
（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴Q（1，0），
∴OQ＝1，BQ＝OB﹣OQ＝3﹣1＝2，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴D（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴OB＝OD＝3，
∵∠BOD＝90°，
∴DQ＝＝＝，
BD＝＝＝3，
∴△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝2++3；
在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝45°，
∵∠BTQ＝90°，
∴△BQT是等腰直角三角形，
∴QT＝BT＝BQ•cos∠DBO＝2•cos45°＝，
∴DT＝BD﹣BT＝3﹣＝2，
∴tan∠BDQ＝＝＝；
②解法1：如图3，设M（0，﹣m），则OM＝m，
过点M作MF∥x轴，过点B作BN⊥BM交MQ于点N，
过点N作DN⊥y轴于点D，过点B作EF∥y轴交DN于E，交MF于F，
则∠MBN＝∠BEN＝∠MFB＝90°，
∵∠BMF+∠MBF＝∠MBF+∠NBE＝90°，
∴∠BMF＝∠NBE，
∴△MBF∽△BNE，
∴＝＝＝tan∠BMQ＝，
∴BE＝×MF＝，EN＝×BF＝，
∴DN＝DE﹣EN＝3﹣，
∵OQ∥DN，
∴△MQO∽△MND，
∴＝，即＝，
解得：m＝t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
解法2：如图4，设M（0，﹣m），则OM＝m，
BM＝＝＝，
MQ＝＝，
∵tan∠BMQ＝，
∴＝，
∴MT＝t•QT，
∵QT2+MT2＝MQ2，
∴QT2+（t•QT）2＝（）2，
∴QT＝，MT＝，
∵cos∠QBT＝cos∠MBO，
∴＝，即＝，
∴BT＝，
∵BT+MT＝BM，
∴+＝，
整理得，（m2+3）2＝4t2m2，
∵t＞0，m＞0，
∴m2+3＝2tm，即m2﹣2tm+3＝0，
当Δ＝（﹣2t）2﹣4×1×3＝4t2﹣12≥0，即t≥时，
m＝＝t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
解法3：如图5，取线段BQ的中点E，作EO′⊥BQ，使EO′＝t，且点O′在x轴下方，
∴O′（2，﹣t），
连接O′B，O′Q，以O′为圆心，O′B为半径作⊙O′，交y轴于点M，
则tan∠BO′E＝＝，
∵EB＝EQ，∠O′EB＝∠O′EQ＝90°，O′E＝O′E，
∴△O′EB≌△O′EQ（SAS），
∴∠QO′E＝∠BO′E，
∴∠BMQ＝∠BO′Q＝∠BO′E，
∴tan∠BMQ＝tan∠BO′E＝，
设M（0，m），
∵O′M＝O′B，
∴（2﹣0）2+（﹣t﹣m）2＝12+t2，
∴m2+2tm+3＝0，
解得：m＝＝﹣t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．





11．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2）与点C关于y轴对称．
（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；
（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．
直线AC的函数表达式
S取的一个特殊值
满足条件的P点的个数
S的可能取值范围
①　y＝x+　
6
4个
③　0＜S＜　
②　　
3个
\
10
2个
④　S＞　

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣，将A（4，0）代入，
得：0＝a（4﹣2）2﹣，
解得：a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣＝x2﹣x，
∵点B（2，2）与点C关于y轴对称，
∴C（﹣2，2），
当x＝﹣2时，y＝（﹣2﹣2）2﹣＝2，
∴点C在该抛物线y＝（x﹣2）2﹣上；
（2）四边形ABCO是菱形．
证明：∵B（2，2），C（﹣2，2），
∴BC∥x轴，BC＝2﹣（﹣2）＝4，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴BC＝OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OC＝＝4，
∴OC＝OA，
∴四边形ABCO是菱形．
（3）①设直线AC的函数表达式为y＝kx+b，
∵A（4，0），C（﹣2，2），
∴，
解得：，
∴直线AC的函数表达式为y＝x+；
故答案为：y＝x+；
②当点P在直线AC下方的抛物线上时，如图2，
设P（t，t2﹣t），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，
则H（t，t+），
∴PH＝t+﹣（t2﹣t）＝﹣t2+t+，
∵满足条件的P点有3个，
∴在直线AC下方的抛物线上只有1个点P，即S△PAC的值最大，
∵S△PAC＝S△PHC+S△PHA＝PH•[4﹣（﹣2）]＝3PH＝3（﹣t2+t+）＝（t﹣1）2+，
∴当t＝1时，S△PAC取得最大值，此时，点P的坐标为（1，﹣），
故答案为：；
③由②知，当0＜S＜时，在直线AC下方的抛物线上有2个点P，满足S△PAC＝S，
在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S，
∴满足条件S△PAC＝S的P点有4个，符合题意．
故答案为：0＜S＜；
④∵满足条件S△PAC＝S的P点只有2个，而在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S，
∴在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，
由②知，当S＞时，在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，符合题意．
故答案为：S＞．
点P的横坐标的值为1，
当点P在直线AC上方时，如图3，
∵S△PAC＝S△PCH﹣S△PAH＝PH•（xA﹣xC）＝3PH＝，
∴PH＝，
∴t2﹣t﹣＝，
解得：t＝1±3，
综上所述，点P的横坐标为1或1﹣3或1+3．



12．（2021•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，故点C的坐标为（0，4），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4；

（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，

理由：由函数的对称性知，AF＝BF，
则AF+FC＝BF+FC＝BC为最小，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，故点F（1，3），
由点B、C的坐标知，OB＝OC＝4，
则BC＝BO＝4，
即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为4；

（3）存在，理由：
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+4）、点Q的坐标为（t，﹣t+4），
①当点Q在点P的左侧时，
如图2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，

由题意得：∠PEQ＝90°，
∴∠PEN+∠QEM＝90°，
∵∠EQM+∠QEM＝90°，
∴∠PEN＝∠EQM，
∴∠QME＝∠ENP＝90°，
∴△QME∽△ENP，
∴＝tan∠EQP＝tan∠OCA＝＝＝，
则PN＝﹣m2+m+4，ME＝1﹣t，EN＝m﹣1，QM＝﹣t+4，
∴＝＝，
解得m＝±（舍去负值），
当m＝时，﹣m2+m+4＝，
故点P的坐标为（，）．
②当点Q在点P的右侧时，

分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M，
则MQ＝t﹣1，ME＝t﹣4，NE＝﹣m2+m+4、PN＝m﹣1，
同理可得：△QME∽△ENP，
∴＝2，
＝2，
解得m＝（舍去负值），
故m＝，
故点P的坐标为（，），
故点P的坐标为（，）或（，）．
13．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，
故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，故c＝0，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝×36+6b，解得b＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；
则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3时，y＝x2﹣2x＝﹣3，
则点M的坐标为（3，﹣3）；

（2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，

设点E的坐标为（x，x2﹣2x），则点H（x，﹣x+3），
则△EAB的面积＝S△EHB+S△EHA＝×EH×OA＝6×（﹣x+3﹣x2+2x）＝，
解得x＝1或，
故点E的坐标为（1，﹣）或（，﹣）；

（3）∵直线AB向下平移后过点M（3，﹣3），
故直线CM的表达式为y＝﹣（x﹣3）﹣3＝﹣x﹣，
令y＝﹣x﹣＝0，解得x＝﹣3，
故点C（﹣3，0）；
过点D作DH⊥CM于点H，

∵直线CM的表达式为y＝﹣x﹣，故tan∠MCD＝，则sin∠MCD＝，
则DH＝CDsin∠MCD＝（2+3）×＝，
由点D、M的坐标得，DM＝＝，
则sin∠HMD＝＝，
故∠HMD＝45°＝∠DMC＝∠ADM﹣∠ACM＝45°，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．
14．（2021•东营）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝﹣x+2，得y＝2，即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝﹣x+2，得x＝4，即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，
∴﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）设点D的坐标为（x，﹣x2+x+2），
则点E的坐标为（x，﹣x+2），
∴DE＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）
＝﹣x2+x+2+x﹣2
＝﹣x2+2x
＝﹣（x﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝2时，线段DE的长度最大，
此时，点D的坐标为（2，3），
∵C（0，2），M（3，2），
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，
连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，2），
∴CD＝＝，
∵PD+PM＝PC+PD＝CD，
∴PD+PM的最小值为．

15．（2021•济宁）如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，
∴A（3，0），B（0，），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），D（0，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线AD的解析式为y＝kx+a，将A（3，0），D（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+3，
∴E（1，2），
∵G（1，0），∠EGO＝90°，
∴tan∠OEG＝＝，
∵OA＝3，OB＝，∠AOB＝90°，
∴tan∠OAB＝＝＝，
∴tan∠OAB＝tan∠OEG，
∴∠OAB＝∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG＝90°，
∴∠OAB+∠EOG＝90°，
∴∠AFO＝90°，
∴OE⊥AB；
（3）存在．
∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴C（﹣1，0），
∴AC＝3﹣（﹣1）＝4，
∵OA＝OD＝3，∠AOD＝90°，
∴AD＝OA＝3，
设直线CD解析式为y＝mx+n，
∵C（﹣1，0），D（0，3），
∴，
解得：，
∴直线CD解析式为y＝3x+3，
①当△AOM∽△ACD时，∠AOM＝∠ACD，如图2，
∴OM∥CD，
∴直线OM的解析式为y＝3x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：3x＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝，x2＝，
②当△AMO∽△ACD时，如图3，
∴＝，
∴AM＝＝＝2，
过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM＝90°，
∵∠OAD＝45°，
∴AG＝MG＝AM•sin45°＝2×＝2，
∴OG＝OA﹣AG＝3﹣2＝1，
∴M（1，2），
设直线OM解析式为y＝m1x，将M（1，2）代入，
得：m1＝2，
∴直线OM解析式为y＝2x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：2x＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝±，
综上所述，点P的横坐标为±或．



16．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；

（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），
设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），
设直线PB的表达式为y＝kx+t，
则，解得，
∵CQ∥BP，
故设直线CQ的表达式为y＝（m+1）x+p，
该直线过点C（0，﹣4），即p＝﹣4，
故直线CQ的表达式为y＝（m+1）x﹣4，
令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝，即点Q的坐标为（，0），
则BQ＝4﹣＝，
设△PBQ面积为S，
则S＝×BQ×（﹣yP）＝﹣××（m2﹣3m﹣4）＝﹣2m2+8m，
∵﹣2＜0，故S有最大值，
当m＝2时，△PBQ面积为8，
此时点P的坐标为（2，﹣6）；

（3）存在，理由：
将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，即点A过该点，即抛物线向右平移了+1＝个单位，
则函数的对称轴也平移了个单位，即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝+＝3，故设点E的坐标为（3，m），
设点F（s，t），
①当AP是边时，
则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P，
同样点F（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE），
则或，
解得或，
故点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）；
②当AP是对角线时，
由中点坐标公式和AP＝EF得：，
解得或，
故点F的坐标为（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）；
综上，点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）或（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）．
17．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，
联立①②并解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；

（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+3，
∴抛物线的顶点M（1，3）
令y＝0，可得x＝﹣2或4，
∴点D（4，0）；
∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，
∴×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×，解得：yR＝±④，
联立④③并解得或，
故点R的坐标为（1+，﹣）或（1，﹣）或（1，）或（1﹣，）；

（3）（Ⅰ）当点Q在MD之间时，
作△PEQ的外接圆R，
∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PER为等腰直角三角形，
当在直线MD上存在唯一的点Q时，圆R与直线MD相切，
∵点M、D的坐标分别为（1，3）、（4，0），
则ME＝3，ED＝4﹣1＝3，则MD＝3，
过点R作RH⊥ME于点H，

设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），
S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×EM•ED＝×MD•RQ×ED•yR+×ME•RH，
∴×3×3＝×3×m+×3×m×3×m，解得：m＝，
故点P（1，）；
（Ⅱ）当点Q与点D重合时，
由点M、E、D的坐标知，ME＝ED，即∠MDE＝45°；
①当点P在x轴上方时，当点P与点M重合时，此时∠PQE＝45°，此时点P（1，3），
②当点P在x轴下方时，同理可得：点P（1，﹣3），
综上，点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，﹣3）．
18．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线解析式为：；

（2）当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，
∵，
∴，
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
设，
∴F（t，﹣t+8），
∴，
∴，
即，
∴t1＝2，t2＝6，
∴P1（2，12），P2（6，8）；


（3）存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．
∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，
∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为5，
∴E（3，5），
设，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，
△NME∽△COB，则，
解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8），

②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，
则，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；

③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
此时△MNE与△COB相似，
此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称，
设M（3，m），
则m﹣8＝8﹣5，
解得m＝11，
∴M（3，11）；
此时点M的坐标为（3，11）；

故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．
19．（2020•泰安）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①当m＝时，求点P的坐标；
②求m的最大值．

【解答】解：（1）一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设直线BE交y轴于点M，

从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝1，
∵CD∥x轴交抛物线于点D，故点D（2，﹣3），
由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCB＝45°，
∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，
而BC＝BC，
故△BCD≌△BCM（ASA），
∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），
设直线BE的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线BE的表达式为：y＝x﹣1；

（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，

则△PFN∽△AFB，则，
而S△BFP＝mS△BAF，则＝，解得：m＝PN，
①当m＝时，则PN＝2，
设点P（t，t2﹣2t﹣3），
由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，当x＝t﹣2时，y＝t﹣5，故点N（t﹣2，t﹣5），
故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，
解得：t＝1或2，故点P（2，﹣3）或（1，﹣4）；
②m＝PN＝[t﹣（t2﹣2t）]＝﹣（t﹣）2+，
∵＜0，故m的最大值为．
20．（2020•德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．
探究：
（1）线段PA与PM的数量关系为　PA＝PM　，其理由为：　线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等　．
（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
M的坐标
…
（﹣2，0）
（0，0）
（2，0）
（4，0）
…
P的坐标
…
　（﹣2，﹣2）　
（0，﹣1）
（2，﹣2）
　（4，﹣5）　
…
猜想：
（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是　抛物线　．
验证：
（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．
应用：
（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标yD的取值范围．

【解答】解：（1）∵分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，
∴GH是AM的垂直平分线，
∵点P是GH上一点，
∴PA＝PM（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），
故答案为：PA＝PM，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（2）当点M（﹣2，0）时，设点P（﹣2，a），（a＜0）
∵PA＝PM，
∴﹣a＝，
∴a＝﹣2，
∴点P（﹣2，﹣2），
当点M（4，0）时，设点P（4，b），（b＜0）
∵PA＝PM，
∴﹣b＝，
∴b＝﹣5，
∴点P（4，﹣5），
故答案为：（﹣2，﹣2），（4，﹣5）；
（3）依照题意，画出图象，

猜想曲线L的形状为抛物线，
故答案为：抛物线；
（4）∵PA＝PM，点P的坐标是（x，y），（y＜0），
∴﹣y＝，
∴y＝﹣x2﹣1；
（5）∵点B（﹣1，），C（1，），
∴BC＝2，OB＝＝2，OC＝＝2，
∴BC＝OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
如图3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L于点E，连接BE，CE，

∴∠BEC＝30°，
设点E（m，n），
∵点E在抛物线上，
∴n＝﹣m2﹣1，
∵OE＝OB＝2，
∴＝2，
∴n1＝2﹣2，n2＝2+2（舍去），
如图3，可知当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，
∴点D的纵坐标yD的取值范围为yD＜2﹣2．