第5章圆（解答题中档题）-鲁教版（五四制）九年级数学下册期末复习培优练习

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第5章圆（解答题中档题）-鲁教版（五四制）九年级数学下册期末复习培优练习
一．切线的性质（共2小题）
1．（2022•济南）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长．

2．（2020•济南）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．

二．切线的判定（共1小题）
3．（2020•威海）如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．
求证：（1）BE＝CE；
（2）EF为⊙O的切线．

三．切线的判定与性质（共10小题）
4．（2022•枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

5．（2022•日照）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．

6．（2022•聊城）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．

7．（2021•威海）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．弦BF交CD于点G，点P在CD延长线上，且PF＝PG．
（1）求证：PF为⊙O切线；
（2）若OB＝10，BF＝16，BE＝8，求PF的长．

8．（2021•济宁）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．

9．（2020•东营）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．

10．（2020•烟台）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．

11．（2020•潍坊）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．

12．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．

13．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．


第5章圆（解答题中档题）-鲁教版（五四制）九年级数学下册期末复习培优练习
参考答案与试题解析
一．切线的性质（共2小题）
1．（2022•济南）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，
∴∠A＝∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°，
∴CA＝CD；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝12，
∴BC＝AB＝6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝45°，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴BF＝BC•sin45°＝6×＝3，
∴线段BF的长为3．

2．（2020•济南）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．

【解答】解：（1）证明：连接OC，如图，

∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，
∴AC＝．
二．切线的判定（共1小题）
3．（2020•威海）如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．
求证：（1）BE＝CE；
（2）EF为⊙O的切线．

【解答】证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAM＝∠EBC，
∵AE平分∠BAM，
∴∠BAE＝∠EAM，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠EAM，
∴∠BCE＝∠EBC，
∴BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，
∵OB＝OC，EB＝EC，
∴直线EO垂直平分BC，
∴EH⊥BC，
∴EH⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．

三．切线的判定与性质（共10小题）
4．（2022•枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

【解答】（1）证明：连接OC，如图：

∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝6cm，
∴AC＝12cm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，即＝，
∴AD＝cm．
5．（2022•日照）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OD，CD，

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，
又∵AC＝，
∴BD＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（）2，
解得：OD＝1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．
6．（2022•聊城）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．

【解答】（1）证明：在△AOF和△EOF中，
，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF＝∠OEF，
∵BC与⊙O相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF＝∠OEF＝90°，
即OA⊥AF，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，FC＝10，AC＝6，
∴AF＝＝8，
∵∠OCE＝∠FCA，∠OEC＝∠FAC＝90°，
∴△OEC∽△FAC，
∴，
设⊙O的半径为r，则，
解得r＝，
在Rt△FAO中，∠FAO＝90°，AF＝8，AO＝，
∴OF＝＝，
∴FD＝OF﹣OD＝﹣，
即FD的长为﹣．
7．（2021•威海）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．弦BF交CD于点G，点P在CD延长线上，且PF＝PG．
（1）求证：PF为⊙O切线；
（2）若OB＝10，BF＝16，BE＝8，求PF的长．

【解答】（1）证明：连接OF，如图，

∵PF＝PG，
∴∠PFG＝∠PGF，
∵∠BGE＝∠PGF，
∴∠PFG＝∠BGE，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠OBF，
∵CD⊥AB，
∴∠BGE+∠OBF＝90°，
∴∠PFG+∠OFB＝90°，
∴∠PFO＝90°，
∵OF是⊙O半径，
∴PF为⊙O切线；

（2）解：连接AF，过点P作PM⊥FG，垂足为M，如图，

∵AB是⊙O直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AB2＝AF2+BF2，
∵OB＝10，
∴AB＝20，
∵BF＝16，
∴AF＝12，
在Rt△ABF中，tanB＝，cosB＝，
在Rt△BEG中，，，
∴GE＝6，GB＝10，
∵BF＝16，
∴FG＝6，
∵PM⊥FG，PF＝PG，
∴MG＝FG＝3，
∵∠BGE＝∠PFM，∠PMF＝∠BEG＝90°，
∴△PFM∽△BGE，
∴，即，
解得：PF＝5，
∴PF的长为5．
8．（2021•济宁）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又D为BC中点，O为AB中点，
故OD＝，OD∥AC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°．
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
又∵∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，
∴∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，
又∠EBP＝∠EBC，
∴∠P＝∠OBD．
∵∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠BOD+∠P＝90°，
∴∠OBP＝90°．
又OB为半径，
故PB是⊙O的切线．
（2）∵AC＝2，
由（1）得OD＝＝1，
又PD＝6，
∴PO＝PD+OD＝6+1＝7．
∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，
∴△BDP∽△OBP．
∴，即BP2＝OP•DP＝7×6＝42，
∴BP＝．
∴OB＝＝＝．
故⊙O的半径为．

9．（2020•东营）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．

【解答】（1）证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，
∴AM2＝ME2+AE2，
∴△AME是直角三角形，
∴∠AEM＝90°，
又∵MN∥BC，
∴∠ABC＝∠AEM＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，
在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，
∵OM2＝ME2+OE2，
∴r2＝32+（4﹣r）2，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝．

10．（2020•烟台）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．

【解答】（1）证明：连接OB，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝60°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵BE＝AB，
∴∠E＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，
∴∠E＝∠BAE＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB＝30°，
∴∠OBC＝30°+60°＝90°，
∴OB⊥CE，
∴EC是⊙O的切线；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，
过O作OH⊥AM于H，
则四边形OBCH是矩形，
∴OH＝BC＝2，
∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，
∴的长度＝＝．

11．（2020•潍坊）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．

【解答】解：（1）连接BF，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，
∵CE⊥AD，
∴BF∥CE，
∵点C为劣弧的中点，
∴OC⊥BF，
∵BF∥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连接OF，CF，
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵点C为劣弧的中点，
∴，
∴∠FOC＝∠BOC＝60°，
∵OF＝OC，
∴∠OCF＝∠COB，
∴CF∥AB，
∴S△ACF＝S△COF，
∴阴影部分的面积＝S扇形COF，
∵AB＝4，
∴FO＝OC＝OB＝2，
∴S扇形FOC＝，
即阴影部分的面积为：．

12．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．

【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过C作CH⊥BF于H，
∵AB＝AC，⊙O的直径为4，
∴AC＝4，
∵CF＝6，∠ABF＝90°，
∴BF＝＝＝2，
∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，
∴△CHF∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝，
∴HF＝＝＝，
∴BH＝BF﹣HF＝2﹣＝，
∴tan∠CBF＝＝＝．

13．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．

【解答】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D为AC中点，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝＝3，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝10，
∴BD＝＝＝，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴，即＝，
∴DE＝3．