初中数学北京课改版八年级上册12.6 等腰三角形一课一练

这是一份初中数学北京课改版八年级上册12.6 等腰三角形一课一练，共21页。试卷主要包含了6　等腰三角形等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度北京课改版版八年级数学上册课堂提升训练第十二章　三角形三　等腰三角形与直角三角形12.6　等腰三角形基础过关全练知识点1　等腰三角形及相关概念1.如图所示,D在AC上,AB=AC,AD=DB,请指出图中的等腰三角形,以及它们的腰、底边、顶角及底角. 知识点2　等腰三角形的性质2.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,下列结论不一定正确的是(　　)A.∠B=∠C　　　B.BD=CDC.AB=2BD　　　D.AD平分∠BAC3. 等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是(　　)A.55°,55°　　　B.70°,40°C.70°,40°或70°,55°　　　D.55°,55°或70°,40°4.如图,△ABC中,AB=AC,过点A作DA⊥AC交BC于点D.若∠B=2∠BAD,则∠BAD的度数为(　　)A.18° 　　　B.20°　　　C.30°　　　D.36°               第4题图                           第5题图5. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD、CE是三角形的高,若∠CAD=20°,则∠BCE=　　　　. 6.(2022独家原创)等腰△ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD把等腰△ABC的周长分为18和9两部分,则等腰△ABC的底边长是　　　　. 7.如图,AD是△ABC的角平分线,且AC=AB+BD,探究∠B与∠C的数量关系,并证明你的结论.        知识点3　等边三角形的性质8.如图,在等边三角形ABC中,D是AC边上一点,延长BC至点E,使CE=CD,连接DE,则∠E的度数为(　　)A.15°　　　B.20°　　　C.30°　　　D.40°9.(2022广东珠海南屏中学期中)如图,AD是等边△ABC的中线,若在边AC上取一点E,使得AE=AD,则∠EDC的度数为(　　) A.30°　　　B.20°　　　C.25°　　　D.15°10.如图,△ABC是等边三角形,AD为△ABC的角平分线,若AB=8,则CD的长度为　　　　　.             第10题图                        第11题图11.(2022北京东城期末)如图,BD,CE是等边三角形ABC的中线,BD,CE交于点F,则∠BFC=　　　　°. 12.如图所示,在直线AC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,连接AE,CD,且它们相交于点H,AE交BD于G,DC交BE于F,连接GF.求证:(1)△ABE≌△DBC;(2)AE=DC;(3)AE与DC所夹的锐角为60°;(4)△ABG≌△DBF;(5)GF∥AC.   知识点4　等腰三角形的判定13.(2022吉林长春期末)如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,点A、B均在格点上.要在格点上确定一点C,连接AC和BC,使△ABC是等腰三角形,则网格中满足条件的点C的个数是(　　)A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8  14.(2021安徽合肥庐阳期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,E是AB的中点,连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF.写出图中所有等腰三角形:　 　 　 　 　. 15.(2022河北定州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,M、N分别是AB、AC边上的点,并且MN∥BC.(1)求证:△AMN是等腰三角形;(2)点P是MN上的一点,并且BP平分∠ABC,求证:△BPM是等腰三角形.   知识点5　等边三角形的判定16.如图,小马师傅用自制的工具测量零件内部的宽度AB,已知OA=OB=50 cm,∠DOC=60°,则零件内部的宽度AB=　　　　. 17.(教材P104变式题)如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,连接DE、EF、FD,得到等边三角形DEF.求证:(1)△AEF≌△CDE;(2)△ABC为等边三角形.   能力提升全练18.(2021湖南益阳中考,7,)如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB的度数为(　　)A.40°　　　B.30°　　　C.20°　　　D.15°19.(2021广东深圳罗湖期末,6,)下列推理中,不能判定△ABC是等边三角形的是(　　)A.∠A=∠B=∠C　　　B.AB=AC,∠B=60°C.∠A=60°,∠B=60°　　　D.AB=AC且∠B=∠C 20.(2021北京五十七中期中,10,)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A,B是两个格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则符合条件的点C的个数是(　　)A.6　　　B.7　　　C.8　　　D.9          第20题图                         第21题图21. 如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是　　　　. 22. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°,则这个等腰三角形顶角的度数为　　　　　. 23.(2018吉林中考,14,)我们规定:等腰三角形的顶角度数与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k.若k=,则该等腰三角形的顶角为　　　　度. 24.(2021黑龙江牡丹江中考,6,)过等腰三角形顶角顶点的一条直线,将该等腰三角形分成了两个小等腰三角形,则原等腰三角形底角的度数为　　　　. 25. 如图,已知点D,E分别是△ABC的边BA,BC延长线上的点,作∠DAC的平分线AF,若AF∥BC.(1)求证:△ABC是等腰三角形;(2)作∠ACE的平分线交AF于点G,若∠B=40°,求∠AGC的度数.  26.(2022北京师大附属实验中学期末,23,)如图,AD∥BC,AE平分∠BAD,点E为DC中点,求证:AD+BC=AB.    27.(2021浙江绍兴中考,21,)如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数;(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系,并说明理由.   28. 问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.答案:∠DAC=45°.思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由;(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数(用含n的代数式表示).      素养探究全练29.[逻辑推理]在△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线交于O点,过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)如图1,图中等腰三角形为　　　　　　,猜想:EF、BE、CF之间有怎样的关系,并说明理由; (2)如图2,若AB≠AC,则图中等腰三角形是　　　　,(1)中的EF、BE、CF之间的数量关系还存在吗?请说明理由; (3)如图3,△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中等腰三角形是　　　　,写出EF、BE、CF之间的数量关系,并说明理由.        图1                           图2                             图3             答案全解全析基础过关全练1.解析　等腰三角形有△ABC、△ABD;△ABC的腰是AB、AC,底边是BC,顶角是∠A,底角是∠ABC、∠ACB;△ABD的腰是AD、BD,底边是AB,顶角是∠ADB,底角是∠A、∠ABD.2.C　∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠B=∠C,BD=DC,AD平分∠BAC,故A、B、D选项正确,无法确定AB=2BD,故C选项错误.3.D　分情况讨论:(1)当等腰三角形的顶角为70°时,底角=(180°-70°)÷2=55°;(2)当等腰三角形的底角为70°时,另外一个底角为70°,顶角为180°-70°-70°=40°.故选D.4.A　∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠B=2∠BAD,∴∠C=2∠BAD,∵DA⊥AC,∴∠DAC=90°,∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠BAC=∠BAD+90°,∴2∠BAD+2∠BAD+∠BAD+90°=180°,∴∠BAD=18°.5.20°解析　∵AB=AC,AD是三角形的高,∴∠BAD=∠CAD=20°,∠ABC=∠ACB,∴∠ABC==70°.∵CE是三角形的高,∴∠CEB=90°,∴∠BCE=20°.6.3解析　根据题意画出图形,如图,设AB=AC=2x,BC=y,∵BD是腰上的中线,∴AD=DC=x,分情况讨论:①当AB+AD=18,BC+CD=9时,解得此时△ABC三边长分别为12,12,3,符合三角形的三边关系;②当AB+AD=9,BC+CD=18时,解得此时△ABC三边长分别为6,6,15,不符合三角形的三边关系,舍去.综上,等腰△ABC的底边长为3.7.解析　∠B=2∠C.证明:如图,在AC上截取AE=AB,连接DE,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠EAD,∵AB=AE,AD=AD,∴△ABD≌△AED(SAS),∴BD=ED,∠B=∠AED,∵AC=AB+BD,AC=AE+CE,∴BD=CE.∴DE=CE,∴∠C=∠EDC,∴∠AED=∠EDC+∠C=2∠C.∴∠B=2∠C.8.C　∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°.∵CD=CE,∴∠E=∠CDE.∵∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E=60°,∴∠E=30°.9.D　∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AD是等边△ABC的中线,∴AD⊥BC,∠CAD=∠BAC=30°,∵AE=AD,∴∠ADE=∠AED,∵∠ADE+∠AED+∠CAD=180°,∴∠ADE+∠ADE+30°=180°,∴∠ADE=75°,∴∠EDC=90°-75°=15°.10.4解析　∵△ABC为等边三角形,AB=8,∴BC=8.∵AD为△ABC的角平分线,∴BD=CD,∴CD=4.11.120 解析　∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵BD,CE是等边三角形ABC的中线,∴BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠FBC=∠ABC=30°,∠FCB=∠ACB=30°,∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°.12.证明　(1)∵△ABD、△BCE为等边三角形,∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,∴∠ABE=∠DBC,∠DBE=60°.在△ABE和△DBC中,∴△ABE≌△DBC(SAS).(2)由(1)知△ABE≌△DBC,∴AE=DC.(3)由(1)知△ABE≌△DBC,∴∠BAE=∠BDC.∵∠DGH=∠AGB,∠DHA=180°-∠BDC-∠DGH,∠DBA=180°-∠BAE-∠AGB,∴∠DHA=∠DBA=60°,∴AE与DC所夹的锐角为60°.(4)由(1)知△ABE≌△DBC,∴∠BAG=∠BDF.在△ABG和△DBF中,∴△ABG≌△DBF(ASA).(5)由(4)知△ABG≌△DBF,∴BG=BF.∴∠GFB=∠FGB,又∵∠GBF=60°,∴∠GFB==60°,∴∠GFB=∠FBC,∴GF∥AC.13.B　如图:网格中满足条件的点C的个数为6,故选B.14.△ABD,△BCD,△ABC,△ACF,△ABF解析　∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,△ABC是等腰三角形,∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD=36°=∠BAC,∴AD=BD,∠BDC=∠BAC+∠ABD=72°=∠ACB,∴△ABD是等腰三角形,BD=BC,∴△BDC是等腰三角形,∵AD=BD,E是AB的中点,∴DE⊥AB,∴∠FEA=∠FEB=90°,∵AE=BE,EF=EF,∴△AEF≌△BEF(SAS),∴AF=BF,∠FAB=∠FBA=72°,∴△ABF是等腰三角形,∠AFB=180°-72°-72°=36°,∠FAC=72°-36°=36°,∴∠AFB=∠FAC,∴AC=CF,∴△ACF是等腰三角形.15.证明　(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵MN∥BC,∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C,∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,∴△AMN是等腰三角形.(2)∵BP平分∠ABC,∴∠MBP=∠CBP,∵MN∥BC,∴∠MPB=∠CBP,∴∠MBP=∠MPB,∴MB=MP,∴△BPM是等腰三角形.16.50 cm解析　∵∠DOC=60°,∴∠AOB=60°.∵OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴AB=OA=OB=50 cm.17.证明　(1)∵BF=AC,AB=AE,∴FA=EC. ∵△DEF是等边三角形,∴EF=DE.∵AE=CD,∴△AEF≌△CDE(SSS). (2)由(1)知△AEF≌△CDE,∴∠FEA=∠EDC,∵△DEF是等边三角形,∴∠DEF=60°.∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF,∴∠BCA=60°,同理可得∠BAC=60°,∴∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.能力提升全练18.C　根据平行线的性质可得∠DCA+∠CAB=180°,即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,由△ACE为等边三角形得∠ECA=∠EAC=60°,所以∠EAB=180°-40°-60°-60°=20°.故选C.19.D　A.由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判定△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意.B.由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判定△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意.C.由“∠A=60°,∠B=60°”可以得到“∠A=∠B=∠C=60°”,则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判定△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意.D.由“AB=AC且∠B=∠C”只能判定△ABC是等腰三角形,故本选项符合题意.故选D.20.C　①当AB为等腰△ABC的底边时,符合条件的C点有4个;②当AB为等腰△ABC的一个腰时,符合条件的C点有4个.综上,符合条件的点C有8个.21.6解析　∵等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点,∴EF=2,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠DEF=∠B=60°,∠DFE=∠C=60°,∴∠D=∠DEF=∠DFE=60°,∴△DEF是等边三角形,∴DE=DF=EF=2,∴剪下的△DEF的周长是2×3=6.22.55°或125°解析　分两种情况讨论:①当一腰上的高在三角形内部时,如图1,∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°.∵∠ABD=35°,∴∠A=180°-35°-90°=55°.图1 ②当一腰上的高在三角形外部时,如图2, 图2∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°. ∵∠ABD=35°,∴∠BAC=90°+35°=125°.综上所述,这个等腰三角形顶角的度数为55°或125°.23.36解析　设等腰三角形顶角的度数为α,则底角度数为90°-α,由题意得α=,解得α=36°.24.36°或45°解析　分两种情况讨论:(1)如图1,△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD,∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB,∴∠BAC=2∠B,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴4∠B=180°,∴∠B=45°.(2)如图2,△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD,∴∠B=∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,∴∠CAD=∠CDA=∠ABC+∠BAD=2∠B,∴∠BAC=3∠B,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°.综上,原等腰三角形底角的度数为36°或45°.              图1                              图225.解析　(1)证明:∵AF平分∠DAC,∴∠DAF=∠CAF,∵AF∥BC,∴∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB,∴∠B=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.(2)由(1)知∠B=∠ACB,∵∠B=40°,∴∠ACB=∠B=40°,∴∠BAC=100°,∴∠ACE=∠BAC+∠B=140°,∵CG平分∠ACE,∴∠ECG=∠ACE=70°,∵AF∥BC,∴∠AGC=∠ECG=70°.26.证明　如图,分别延长AE,BC交于点F,∵AD∥BC,∴∠DAE=∠CFE,∵点E是DC的中点,∴ED=CE,在△ADE与△FCE中,∴△ADE≌△FCE(AAS),∴AD=CF,∵AE平分∠BAD,∴∠DAF=∠BAF,∵∠DAF=∠F,∴∠BAF=∠F,∴AB=BF,∴AB=BF=BC+CF=BC+AD.27.解析　(1)∵∠ABC=80°,BD=BC,∴∠BDC=∠BCD=×(180°-80°)=50°,∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°,∴∠ACB=180°-40°-80°=60°,∵CE=BC,∴△BCE是等边三角形,∴∠EBC=60°,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=80°-60°=20°.(2)∠BEC+∠BDC=110°,理由:设∠BEC=α,∠BDC=β,则α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE,∴∠ABE=α-40°,∵CE=BC,∴∠CBE=∠BEC=α,∴∠CBD=α+α-40°=2α-40°,∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=β,在△BCD中,∠CBD+∠BDC+∠BCD=180°,∴2α-40°+β+β=180°,∴α+β=110°,∴∠BEC+∠BDC=110°.28.解析　(1)∠DAC的度数不会改变.理由:∵EA=EC,∴∠EAC=∠C,∵BA=BD,∴∠BAD=∠BDA,∵∠BAE=90°,∴∠B=90°-∠AED=90°-2∠C,∴∠BAD=(180°-∠B)=[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C,∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C,∵∠EAC=∠C,∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°-∠C+∠C=45°.(2)设∠ABC=m°,∵AB=DB,∴∠BAD=(180°-m°)=90°-m°,∵∠BAE=n°,∴∠AEB=180°-n°-m°,∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+m°,∵EA=EC,∴∠CAE=∠AEB=90°-n°-m°,∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+m°+90°-n°-m°=n°.素养探究全练29.解析　(1)图中等腰三角形为△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC.EF、BE、FC之间的数量关系是EF=BE+CF.理由:∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB,∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∴∠EOB=∠EBO,∠FOC=∠FCO,∴EO=EB,FO=FC,∴EF=EO+OF=BE+CF.(2)图中等腰三角形是△EOB、△FOC,(1)中的EF、BE、CF之间的数量关系仍然成立.理由:∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB,∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∴∠EOB=∠EBO,∠FOC=∠FCO,∴EO=EB,FO=FC,∴EF=EO+OF=BE+CF.(3)图中等腰三角形是△EOB和△FOC,EF=BE-FC.理由:同(1)可证得EO=EB,∵EO∥BC,∴∠FOC=∠OCG,∵CO平分∠ACG,∴∠ACO=∠OCG,∴∠FOC=∠FCO,∴FO=FC,∴EF=EO-FO=BE-FC.