湖北省咸宁市通山县振新学校2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试卷（含答案）

2021-2022学年湖北省咸宁市通山县振新学校九年级（上）第二次月考数学试卷

一、精心选一选（共24分，每小题3分）

1．（3分）在下列平面图形中，是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

2．（3分）方程的根是　　

A．0 B． C．4 D．

3．（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

4．（3分）如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点在线段的延长线上，则的大小为　　

A． B． C． D．

5．（3分）抛物线向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为　　

A． B． 

C． D．

6．（3分）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为　　

A． B． C． D．

7．（3分）如图，抛物线与轴交于，两点，将抛物线向上平移个单位长度后，点，在新抛物线上的对应点分别为点，，若图中阴影部分的面积为8，则平移后新抛物线的解析式为　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图，正方形的边长为，点，点同时从点出发，速度均，点沿向点运动，点沿向点运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是　　

A． B． 

C． D．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．（3分）抛物线的顶点坐标是　　．

10．（3分）点关于原点对称的点的坐标为　 　．

11．（3分）如图，是的直径，点、在的异侧，连接、、，若，且，则的度数为　　．

12．（3分）一个三角形的两边分别为3，5，另一边是的解，则此三角形的面积为 　　．

13．（3分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽为步，则所列方程为　　．

14．（3分）在学校运动会上，九年级（5）班的运动员掷铅球，铅球的高与水平距离之间的函数解析式为．则此运动员的成绩是　 　．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到△的位置，点、分别落在点、处．点在轴上，再将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，依次进行下去，若点，，则点的横坐标为 　　．

16．（3分）对称轴为的抛物线如图所示，与轴分别交于点，，，有下列五个结论：①；②；③为实数）；④当时，随增大而增大；⑤若方程的两个实数根分别为，，且，则，．其中结论正确的是 　　．

三.专心解一解（本大题共8小题，满分72分）第16题图

17．（8分）用适当的方法解下列方程．

（1）；

（2）．

18．（9分）如图，三个顶点的坐标分别为，，．

（1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形△，并写出点的坐标；

（2）请画出关于原点成中心对称的图形△，并写出点的坐标；

（3）在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标．

19．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．

（1）求实数的取值范围；

（2）若，求的值．

20．（8分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同

（1）求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

21．（8分）二次函数的图象如图所示，根据图象解答：

（1）写出方程的两个根；

（2）写出不等式的解集；

（3）写出随的增大而增大时自变量的取值范围；

（4）若方程有实数根，求的取值范围．

22．（9分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为40元件，设销售该商品的日销售利润为元．

（1）求与的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？

（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于6160元，请直接写出结果．

23．（10分）如图，两个等腰直角和中，．

（1）观察猜想如图1，点在上，线段与的数量关系是　　，位置关系是　　．

（2）探究证明把绕直角顶点旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，当、、三点在直线上时，请直接写出的长．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积．

（3）连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）在直线上找一点，使得为等腰三角形，请直接写出点坐标．

2021-2022学年湖北省咸宁市通山县振新学校九年级（上）第二次月考数学试卷（详解版）

一、精心选一选（共24分，每小题3分）

1．（3分）在下列平面图形中，是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

．是中心对称图形，故本选项符合题意；

．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：．

2．（3分）方程的根是　　

A．0 B． C．4 D．

【解答】解：，

，

．

故选：．

3．（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意得△，

解得．

故选：．

4．（3分）如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点在线段的延长线上，则的大小为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据旋转的性质，可得：，，

．

故选：．

5．（3分）抛物线向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：抛物线向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为：，即；

故选：．

6．（3分）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示：输水管的半径为，水面宽为，水的最大深度为，

，

，，

，

水的最大深度为：．

故选：．

7．（3分）如图，抛物线与轴交于，两点，将抛物线向上平移个单位长度后，点，在新抛物线上的对应点分别为点，，若图中阴影部分的面积为8，则平移后新抛物线的解析式为　　

A． B． C． D．

【解答】解：当时，有，

解得：，，

．

，

，

平移后新抛物线的解析式为．

故选：．

8．（3分）如图，正方形的边长为，点，点同时从点出发，速度均，点沿向点运动，点沿向点运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据两个动点的运动状态可知

（1）当时，，此时抛物线开口向上；

（2）当时，，此时抛物线的开口向下．

故选：．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．（3分）抛物线的顶点坐标是　　．

【解答】解：为抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为．

故答案为：．

10．（3分）点关于原点对称的点的坐标为　　．

【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为，

故答案为：．

11．（3分）如图，是的直径，点、在的异侧，连接、、，若，且，则的度数为　　．

【解答】解：，

，

又，

，

．

故答案为：．

12．（3分）一个三角形的两边分别为3，5，另一边是的解，则此三角形的面积为 　6　．

【解答】解：，

，

则或，

解得，，

当时，三角形三边分别为2、3、5，不能构成三角形，舍去；

当时，三角形三边为3、4、5，符合直角三角形三边关系，

此时三角形面积为，

故答案为：6．

13．（3分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽为步，则所列方程为　　．

【解答】解：设阔（宽为步，则所列方程为：．

故答案为：．

14．（3分）在学校运动会上，九年级（5）班的运动员掷铅球，铅球的高与水平距离之间的函数解析式为．则此运动员的成绩是　　．

【解答】解：由题意知，当时，，

整理，得：，

解得：，，

故此运动员的成绩是，

故答案为：．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到△的位置，点、分别落在点、处．点在轴上，再将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，依次进行下去，若点，，则点的横坐标为 　12128　．

【解答】解：点，，

，，

，

，

观察图象可知，点的纵坐标为4，

，

点的横坐标为，

点的坐标为．

故答案为12128．

16．（3分）对称轴为的抛物线如图所示，与轴分别交于点，，，有下列五个结论：①；②；③为实数）；④当时，随增大而增大；⑤若方程的两个实数根分别为，，且，则，．其中结论正确的是 　　．

【解答】解：抛物线开口向下、对称轴在轴的右侧、与轴的交于正半轴，

，，，

，

故①正确；

对称轴为，

，即，

，

故②错误；

对称轴为，顶点坐标为，

当时，函数由最大值，此时，

当时，，

，即，

故③错误；

由图象可知：当时，随增大而减小，

当时，随的增大而增大，

故④错误；

方程的两个实数根分别为，，且，

即为直线与抛物线的两个交点横坐标分别为，，

，，

故⑤正确，

故答案为：①⑤．

三.专心解一解（本大题共8小题，满分72分）第16题图

17．（8分）用适当的方法解下列方程．

（1）；

（2）．

【解答】解：（1），

，

，

或，

所以，；

（2），

，

，

，

所以，．

18．（9分）如图，三个顶点的坐标分别为，，．

（1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形△，并写出点的坐标；

（2）请画出关于原点成中心对称的图形△，并写出点的坐标；

（3）在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标．

【解答】解：（1）如图，△为所作，点的坐标为；

（2）如图，△为所作，点的坐标为；

（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图，则，

，

，

此时的值最小，

设直线的解析式为，

把，分别代入得，

解得，

直线的解析式为，

当时，，

解得，

点坐标为．

19．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．

（1）求实数的取值范围；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）△

，

△

，

；

（2）由题意可得

，，

又，

，

，

解得，，

又，

．

20．（8分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同

（1）求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

【解答】解：（1）设每次下降的百分率为，根据题意，得：

，

解得：（舍或，

答：每次下降的百分率为；

（2）设每千克应涨价元，由题意，得

，

整理，得，

解得：，，

因为要尽快减少库存，所以符合题意．

答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．

21．（8分）二次函数的图象如图所示，根据图象解答：

（1）写出方程的两个根；

（2）写出不等式的解集；

（3）写出随的增大而增大时自变量的取值范围；

（4）若方程有实数根，求的取值范围．

【解答】解：（1）由图象得：方程的两个根是1或3；

（2）由图象得：不等式的解集是：或；

（3）当时，随的增大而增大；

（4）方程有实数根，

．

22．（9分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为40元件，设销售该商品的日销售利润为元．

（1）求与的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？

（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于6160元，请直接写出结果．

【解答】解：（1）由题意得：；

（2），

，

抛物线开口向下，

当时，取得最大值为6250（元．

销售该商品第5天时，日销售利润最大，最大日销售利润6250元；

（3）令，

解得或，

故当月有7天的日销售利润不低于6160元．

23．（10分）如图，两个等腰直角和中，．

（1）观察猜想如图1，点在上，线段与的数量关系是　　，位置关系是　　．

（2）探究证明把绕直角顶点旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，当、、三点在直线上时，请直接写出的长．

【解答】解：（1）如图1中，延长交于．

，，，

，

，，

，，

，

，即，

故答案为，．

（2）结论：，．

理由：如图2中，延长交于，交于．

，

，

，，，

，

，，

，，

，

，即．

（3）①当射线在直线的上方时，作用．

，，，

，，

在中，，，

，

．

②当射线在直线的下方时时，作用．

同法可得：，故，

综上所述，满足条件的的值为17或7．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积．

（3）连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）在直线上找一点，使得为等腰三角形，请直接写出点坐标．

【解答】解：（1）将、两点的坐标代入得，

解得：；

所以二次函数的表达式为：；

（2）如图，过点作轴的平行线与交于点，与交于点，

设，设直线的解析式为：，

则，

解得：，

直线的解析式为，

则点的坐标为；

当，

解得：，，

，，

．

当时，四边形的面积最大

此时点的坐标为，，四边形的面积的最大值为；

（3）存在点，使四边形为菱形；

如图，设点坐标为，交于，

若四边形是菱形，则有；

连接，则于，

，

，

又，

，

；

，

解得，（不合题意，舍去），

点的坐标为，；

（4）设点的坐标为，

，，

，，．

为等腰三角形分三种情况：

①当时，，

解得：，

此时点的坐标为，或，；

②当时，，

解得：或（舍去），

此时点的坐标为；

③当时，有，

解得：，

此时点的坐标为，．

综上可知：点坐标为，、，、或，．