第5章二次函数解答题-压轴题-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）

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第5章二次函数解答题-压轴题-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
一．二次函数综合题（共10小题）
1．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．

2．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

3．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是 　 　．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．

4．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．
（1）填空：k＝　 　，b＝　 　；
（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；
（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．

5．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；
（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

6．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为：　 　；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．

7．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．
（1）b＝　 　，n＝　 　；
（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；
（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．
①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．
②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．

8．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．

（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；
（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．
①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；
②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，的值不变；
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．
9．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．

10．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．


第5章二次函数解答题-压轴题-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共10小题）
1．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．

【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，
∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x；
（2）①证明：如图1，

由翻折得：∠OAC＝∠A'，
由对称得：OC＝AC，
∴∠AOC＝∠OAC，
∴∠COA＝∠A'，
∵∠A'DB＝∠ODC，
∴△OCD∽△A′BD；
②解：∵△OCD∽△A′BD，
∴＝，
∵AB＝A'B，
∴＝，
∴的最小值就是的最小值，
y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，
∴C（2，﹣2），
∴OC＝2，
∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，
当CD＝2时，的最小值为＝；
（3）解：∵S△OCD＝8S△A'BD，
∴S△OCD：S△A'BD＝8，
∵△OCD∽△A′BD，
∴＝（）2＝8，
∴＝2，
∵OC＝2，
∴A'B＝AB＝1，
∴BF＝2﹣1＝1，
如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，

由翻折得：AA'⊥CH，
∵∠AHB＝∠BFC＝90°，∠ABH＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠BAH，
tan∠BCF＝tan∠GAA'，
∴＝＝，
设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，
在Rt△A'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，
∴a2+（2a﹣1）2＝12，
∴a1＝0（舍），a2＝，
∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝，
∵A'G∥OQ，
∴△A'GB∽△QOB，
∴＝，即＝，
∴OQ＝4，
∴Q（0，4），
设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝x2﹣2x，
3x2﹣4x﹣24＝0，
解得：x＝，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．
2．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2mx+2m+1＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1，
∵点A在点B的左侧，且m＞0，
∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），
当x＝0时，y＝2m+1，
∴C（0，2m+1），
∴OB＝OC＝2m+1，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°；

（2）如图1中，连接AE．

∵y＝﹣x2+2mx+2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴D（m，（m+1）2），F（m，0），
∴DF＝（m+1）2，OF＝m，BF＝m+1，
∵A，B关于对称轴对称，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠OBC＝45°，
∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF，
∵EF∥OC，
∴tan∠ACE＝＝＝＝m+1，
∴＝m+1，
∴m＝1或﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1；

（3）如图，设PC交x轴于点Q．

当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，
∵∠ACQ＝75°，
∴∠CAO＜60°，
∴2m+1＜，
∴m＜，
又∵∠CAQ＞15°，
同法可得m＞
∴＜m＜．
3．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是 　A，D　．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．

【解答】解（1）由题意得：，
解之得：a＝，b＝，c＝2，
∴y＝+，
∴当x＝﹣4时，y＝＝﹣，
∴D（﹣4，﹣）．

（2）①如图1中，点N，直线l即为所求．


②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．
由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），

∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝x+2，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∵MN∥AB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t，
由，解得，
∴M（，），
由．解得，
∴N（，），
∴Q（，），
∵QJ⊥CD，QT⊥MH，
∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝，
∴QJ＝QT，
∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，
∴△PJQ≌△MTQ（AAS），
∴PQ＝MQ，
∵∠PQM＝90°，
∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴＝，故选项D正确，B，C错误，
∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，
∴折痕与AB垂直，故选项A正确，
故答案为：A，D．

③设P（﹣4，m）．

∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，
∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m），
把Q的坐标代入y＝+，得到，m＝（﹣+m）2+（﹣+m）+2，
整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，
解得m＝或﹣（舍弃），
∴Q（2，），
根据对称性可知Q′（﹣10，）也满足条件，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（2，）或（﹣10，）．
4．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．
（1）填空：k＝　　，b＝　1　；
（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；
（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．

【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过A（4，3），
∴3＝4k，
∴k＝，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（4，3），
∴3＝﹣×42+4b+3，
∴b＝1，
故答案为：，1．

（2）如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF．

∵四边形DEGF是平行四边形，
∴∠G＝∠EDF
∵∠EGF＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∵EP⊥DF，
∴PD＝PF，
∵D（t，t），
∴OD＝AE＝t，
∵AC⊥AB，
∴∠OAC＝90°，
∴tan∠AOC＝，
∵OA＝＝5，
∴AC＝OA•tan∠AOC＝，OC＝AC÷＝，
∴EC＝AC﹣AE＝﹣t，
∵tan∠ACO＝，
∴点E的纵坐标为3﹣t，
∵F（t，﹣t2+t+3），PF＝PD，
∴＝3﹣t，
解得t＝或（舍弃）．
∴满足条件的t的值为．

（3）如图2中，因为点D在线段AB上，S△DFP＝S▱DEGF，所以DP＝2PE，观察图象可知，点D只能在第一象限，

设PF交AB于J，
∵AC⊥AB，PF⊥AB，
∴PJ∥AE，
∴DJ：AJ＝DP：PE＝2，
∵D（t，t），F（t，﹣t2+t+3），
∴OD＝t，DF＝﹣t2+t+3﹣t＝﹣t2+t+3，
∴DJ＝DF＝﹣t2+t+，AJ＝DJ＝﹣t2+t+，
∵OA＝5，
∴t﹣t2+t+﹣t2+t+＝5，
整理得9t2﹣59t+92＝0，
解得t＝或4（4不合题意舍弃），
∴OD＝t＝．
5．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；
（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，
∴根据抛物线的两点式知，y＝．
（2）根据抛物线表达式可求C（0，2），即OC＝2．
∴＝＝2，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，
∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，
设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，
又∵P在抛物线上，
∴②，
联立①②两式，解得m＝6（﹣1舍去），此时n＝﹣7，
∴点P的坐标是（6，﹣7）．
（3）设PH与x轴的交点为Q1，P（a，），
则H（a，），PH＝，
若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO，
∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2，
∴AQ1＝2PQ1，
即a+1＝2（），
解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝．
若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，

∴∠PFH＝∠PHF，
∵∠CFA＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠Q1HB，
又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°，
∴△ACF∽△BQ1H，
∴CF＝AC＝，
在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，
F（1，），
∴AF：，
将上式和抛物线解析式联立并解得x＝（﹣1舍去），
此时 PH＝．
若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见上图），
∵∠CAF+∠CFA＝90°，
∠PAQ+∠HPF＝90°，
∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，
∴∠CAF＝∠PAQ1，
即 AP平分∠CAB，
∴CE＝CA＝，
∴E（，2），
∴AE：，
联立抛物线解析式，解得x＝5﹣（﹣1舍去）．
此时 PH＝．
∴当FP＝FH时，PH＝；
当PF＝PH时，PH＝；
当HF＝HP时，PH＝；

6．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为：　（1，0）　；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．

【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x＝﹣＝1，
∴E（1，0），
故答案为（1，0）．

（2）如图，连接EC．
对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a，
令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），
∵C，D关于对称轴对称，
∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，
当∠HEF＝90°时，
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DCF＝90°，
∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF＝DE，
∵EA∥DH，
∴FA＝AH，
∴AE＝DH，
∵AE＝2，
∴DH＝4，
∵HE⊥DFEF＝ED，
∴FH＝DH＝4，
在Rt△CFH中，则有42＝22+（6a）2，
解得a＝或﹣（不符合题意舍弃），
∴a＝．
当∠HFE＝90°时，∵OA＝OE，FO⊥AE，
∴FA＝FE，
∴OF＝OA＝OE＝1，
∴3a＝1，
∴a＝，
综上所述，满足条件的a的值为或．

（3）结论：EH∥GK．
理由：由题意A（﹣1，0），F（0，﹣3a），D（2，3a），H（﹣2，3a），E（1，0），
∴直线AF的解析式y＝﹣3ax﹣3a，直线DF的解析式为y＝3ax﹣3a，
由，解得或，
∴K（6，﹣21a），
由，解得或，
∴G（﹣3，﹣12a），
∴直线HE的解析式为y＝﹣ax+a，
直线GK的解析式为y＝﹣ax﹣15a，
∵k相同，a≠﹣15a，
∴HE∥GK．

7．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．
（1）b＝　1　，n＝　﹣2　；
（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；
（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．
①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．
②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，2）代入二次函数y＝﹣x2+bx+4中，得﹣1﹣b+4＝2，
∴b＝1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4，
将点B（3，n）代入二次函数y＝﹣x2+x+4中，得n＝﹣9+3+4＝﹣2，
故答案为：1，﹣2；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+a，由（1）知，点B（3，﹣2），
∵A（﹣1，2），
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4，
∵点P（m，0），
∴M（m，﹣m+1），N（m，﹣m2+m+4），
∵点N在点M的上方，且MN＝3，
∴﹣m2+m+4﹣（﹣m+1）＝3，
∴m＝0或m＝2；

（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1+4＝﹣x+5，
令y＝0，则﹣x+5＝0，
∴x＝5，
∴C（5，0），
∵A（﹣1，2），B（3，﹣2），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，直线BC的解析式为y＝x﹣5，
过点N作y轴的平行线交AC于K，交BC于H，
∵点P（m，0），
∴N（m，﹣m2+m+4），K（m，﹣m+），H（m，m﹣5），
∴NK＝﹣m2+m+4+m﹣＝﹣m2+m+，NH＝﹣m2+9，
∴S2＝S△NAC＝NK×（xC﹣xA）＝（﹣m2+m+）×6＝﹣3m2+4m+7，
S1＝S△NBC＝NH×（xC﹣xB）＝﹣m2+9，
∵S1﹣S2＝6，
∴﹣m2+9﹣（﹣3m2+4m+7）＝6，
∴m＝1+（由于点N在直线AC上方，所以，舍去）或m＝1﹣；
∴S2＝﹣3m2+4m+7＝﹣3（1﹣）2+4（1﹣）+7＝2﹣1，
S1＝﹣m2+9＝﹣（1﹣）2+9＝2+5；

②如图2，
记直线AB与x轴，y轴的交点为I，L，
由（2）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∴I（1，0），L（0，1），
∴OL＝OI，
∴∠ALD＝∠OLI＝45°，
∴∠AOD+∠OAB＝45°，
过点B作BG∥OA，
∴∠ABG＝∠OAB，
∴∠AOD+∠ABG＝45°，
∵∠FBA＝∠ABG+∠FBG，∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，
∴∠ABG+∠FBG+∠AOD﹣∠BFC＝45°，
∴∠FBG＝∠BFC，
∴BG∥CF，
∴OA∥CF，
∵A（﹣1，2），
∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，
∵C（5，0），
∴直线CF的解析式为y＝﹣2x+10，
过点A，F分别作过点M平行于x轴的直线的垂线，交于点Q，S，
由旋转知，AM＝MF，∠AMF＝90°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴∠FAM＝45°，
∵∠AIO＝45°，
∴∠FAM＝∠AIO，
∴AF∥x轴，
∴点F的纵坐标为2，
∴F（4，2），
∴直线OF的解析式为y＝x①，
∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4②，
联立①②解得，或，
∴直线OF与该二次函数图象交点的横坐标为和．


8．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．

（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；
（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．
①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；
②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，的值不变；
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．
【解答】解：（1）由题意m＝2，n＝4，
∴y1＝a（x﹣2）2+4，
把（0，2）代入得到a＝﹣．

（2）①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．

∵y1＝a（x﹣m）2+n＝ax2﹣2amx+am2+n，
∴P（0，am2+n），
∵A（m，n），
∴PM＝m，AN＝n，
∵∠APM＝45°，
∴AM＝PM＝m，
∴m+am2+n＝n，
∵m＞0，
∴am＝﹣1．

②如图2中，由题意AB⊥y轴，

∵P（0，am2+n），
当y＝am2+n时，am2+n＝6ax2+n，
解得x＝±m，
∴B（﹣m，am2+n），
∴PB＝m，
∵AP＝2m，
∴＝＝2．

（3）如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E．

设B（b，6ab2+n），
∵PA＝2PB，
∴点A的横坐标为﹣2b，
∴A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]，
∵BE∥AK，
∴＝＝，
∴AK＝2BE，
∴a（﹣2b﹣m）2+n﹣am2﹣n＝2（am2+n﹣6ab2﹣n），
整理得：m2﹣2bm﹣8b2＝0，
∴（m﹣4b）（m+2b）＝0，
∵m﹣4b＞0，
∴m+2b＝0，
∴m＝﹣2b，
∴A（m，n），
∴点A是抛物线C1的顶点．
9．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．

【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
﹣12＝﹣6a，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．

（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），
∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，
∴点P在直线x＝上，
∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，
此时点P为直线AC与直线x＝的交点，
∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴P（，﹣5）


（3）由题意，AB＝5，CB＝2，CA＝，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴顶点D（，﹣），
由题意，∠PDQ不可能是直角，
第一种情形：当∠DPQ＝90°时，
①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时，＝＝，

设Q（x，x2﹣x﹣2），则P（，x2﹣x﹣2），
∴DP＝x2﹣x﹣2﹣（﹣）＝x2﹣x+，QP＝x﹣，
∵PD＝2QP，
∴2x﹣3＝x2﹣x+，解得x＝或（舍弃），
∴P（，）．

②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得PQ＝2PD，

x﹣＝x2﹣3x+，
解得x＝或（舍弃），
∴P（，﹣）．
第二种情形：当∠DQP＝90°．
①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时，＝＝，

过点Q作QM⊥PD于M．则△QDM∽△PDQ，
∴＝＝，由图3﹣3可知，M（，），Q（，），
∴MD＝8，MQ＝4，
∴DQ＝4，
由＝，可得PD＝10，
∵D（，﹣）
∴P（，）．

②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M．

同法可得M（，﹣），Q（，﹣），
∴DM＝，QM＝1，QD＝，
由＝，可得PD＝，
∴P（，﹣）．
综上所述：P点坐标为（，）或（，﹣）或（，）或（，﹣）．
10．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．

【解答】解：（1）①∵点A在y＝x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（m，m）．

②假设能在抛物线上，连接OP．
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（﹣m，m），
∴P（﹣m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m＝．

（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，a2），
∴直线OA的解析式为y＝ax，
∴M（，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，可得N（﹣，2），
∴P（﹣，4），代入抛物线的解析式得到，﹣＝±4，
解得，a＝4±4，
∴直线OA的解析式为y＝（±1）x．

②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y＝﹣x＝﹣（±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（±1）x或y＝﹣（±1）x．