2021-2022学年广东省佛山市南海区桂江二中八年级（下）第二次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省佛山市南海区桂江二中八年级（下）第二次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列式子是一元一次不等式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列代数式中，是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列分解因式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. 一组对角相等 B. 对角线互相平分
C. 一组对边平行，另一组对边相等 D. 对角线互相垂直

5. 如果把分式中的，都扩大倍，分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 缩小倍

6. 已知：：：：，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若有一个边形，其内角和大于它的外角和，则的值至少为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若不等式组无解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下列说法中，正确的有个．(    )
   若，则
   若，则
   对于分式，当时，分式的值为
   若关于的分式方程有增根，则．

A.  B.  C.  D.

10. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21分）

11. 当时，分式无意义；当时分式的值为，则的值是______ ．
12. 计算： ______ ．
13. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是______ ．
14. 如图，▱的周长为，对角线，相交于点点是的中点，，则的周长为______．

15. 如图，在▱中，已知，，平分交边于，则的长为______ ．

16. 如图，，，，若，则的长为______．

17. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于，则的长为______．

三、选择题（本大题共8小题，共99分）

18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
    解分式方程：．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 八年级学生去距学校千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学速度的倍，求骑车同学的速度．
21. 我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式如不能写成两数和成差的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．
    
    
    
    
    请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
           
    ．
22. 如图，直线交轴于点，交轴于点，以，，为顶点作矩形，将矩形绕点顺时针，得到矩形，直线交直线于点．
    求直线的解析式；
    求证：平分．

23. 某工厂要招聘甲、乙两种工种的工人人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为元和元．
    设招聘甲种工种工人人，工厂付给甲、乙两种工种的工人工资共元，写出元与人的函数关系式；
    现要求招聘的乙种工种的人数不少于甲种工种人数的倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？
24. 如图，分别以的直角边及斜边向外作等边及等边，已知：，，垂足为，连接．
    试说明：；
    求证：四边形是平行四边形．
     

25. 如图，矩形，，，点是上一点，沿折叠，使点恰好落在轴的点处．
    求、点坐标；
    在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，求出点坐标；不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、含有个未知数，不是一元一次不等式，选项错误；
B、最高次数是次，不是一元一次不等式，选项错误；
C、正确；
D、不是整式，则不是一元一次不等式，选项错误．
故选C．
根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是的不等式就可以．
本题考查不等式的定义，一元一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是分数，是单项式，故该选项不合题意；
B、分母是常数，是单项式，故该选项不合题意；
C、分母是常数，是单项式，故该选项不合题意；
D、正确．
故选D．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故选：．
根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式求解即可求得答案．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，理解因式分解与整式的乘法是互逆运算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图：

A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、、，
四边形是平行四边形，故本选项正确；
C、“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项错误；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如：筝形，故本选项错误．
故选：．
根据平行四边形的判定定理两组对角分别相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形进行判断即可．
本题考查了对平行四边形的判定定理得应用，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目．
 

5.【答案】 

【解析】解：把分式中的，都扩大倍，得．
故选：．
根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
 

6.【答案】 

【解析】解：由：：：：，得
，．
．
故选：．
根据比例的性质，可用表示，用表示，根据分式的性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出，是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：边形的内角和，
又多边形的外角和等于，
，
，
为正整数，
的值至少为．
故选C．
多边形的外角和等于，内角和为，从而得出不等式，得出结论．
本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的外角和等于，内角和为是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：不等式组无解．
故选D．
解出不等式组的解集含的式子，与不等式组无解比较，求出的取值范围．
本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时，，
不正确；
，
，
，
正确；
由，
解得，
当时，分式的值为，
不正确；
方程有增根，
，
解得，
正确．
综上，可得正确的结论有个：．
故选：．
本题考查分式方程的增根，属于中档题．
根据题意，逐项判断即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
则原式．
故选A．
原式利用单项式乘以多项式法则计算，再利用完全平方公式化简后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：分式无意义时，，
分式为时，，
当，时，，
故答案为：．
根据分式无意义即分母为，分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为进行解答即可．
本题考查的是分式无意义和分式为的条件，掌握分式无意义即分母为，分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

13.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 

【解析】解：“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．
所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

14.【答案】 

【解析】解：▱的周长为，
，则．
四边形是平行四边形，对角线，相交于点，，
．
又点是的中点，
是的中位线，，
，
的周长，
即的周长为．
故答案为：．
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，又因为点是的中点，可得是的中位线，可得，所以易求的周长．
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：在▱中，，，平分交边于点，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得出，，即可得出，进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，根据已知得出是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：作于，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
作于，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等求出，根据平行线的性质和直角三角形的性质求出的长．
本题考查的是角平分线的性质和直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等和直角三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接、，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，同理，，
是等边三角形，
，
故答案为：．
连接、，根据线段的垂直平分线的性质证明，得到，同理，，得到，得到答案．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
画图：

所以原不等式组的解集为；

两边同乘以，得：
，
化简，得，
解得：，
经检验，是原方程的根． 

【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集；
首先两边同时乘以去分母，然后再整理成一元一次方程，再解即可，注意不要忘记检验．
此题主要考查了解一元一次不等式组，以及分式方程，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

19.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式除法法则是解题的关键将括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值．
 

20.【答案】解：设骑车同学的速度为千米时．
则：．
解得：．
检验：当时，．
是原方程的解．
答：骑车同学的速度为千米时． 

【解析】求的速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系．关键描述语为：“过了分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间乘车同学所用时间．
应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】此题考查了因式分解的方法，读懂题目中的方法是解本题的关键．
将拆为，再利用阅读材料中的方法分解即可；
将拆为，利用阅读材料中的方法分解即可．
 

22.【答案】解：直线交轴于点，交轴于点，
点的坐标是，点的坐标是，
将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，
点的坐标是，点的坐标是，
设直线的解析式是，
，
解得，
直线的解析式是：；

证明：过点作于点，作于点，如图所示，

在和中，
，
≌，
又，，
，
平分． 

【解析】根据直线的解析式找出点、的坐标，再由旋转的特性找出点、的坐标，结合点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式；
过点作于点，作于点，利用全等直角三角形的判定定理证出≌，全等三角形的对应高相等即可得出，从而证出平分．
本题考查了旋转的性质、待定系数法求函数解析式、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的判定等知识，根据旋转的性质找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．
 

23.【答案】解：
依题意得

；

依题意得，

因为，由一次函数的性质知，当时，有最小值
所以
答：甲工种招聘人，乙工种招聘人时可使得每月所付的工资最少． 

【解析】根据题意甲种工种工人人，则乙种工人为人，然后根据已知条件即可确定与成一次函数关系；
根据题意可列出一不等式，解得，再利用一次函数的性质可解．
此题首先正确理解题意，然后根据已知条件列出函数关系式．在利用一次函数求最值时，注意应用一次函数的性质．
 

24.【答案】解：在中，，
，
又是等边三角形，，

，
在和中，

≌，
；

是等边三角形，
，，
，
又，
，
，，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得≌是关键．
首先由中，由可以得到，又由是等边三角形，，由此得到，并且，然后证得≌，继而证得结论；
根据知道，而是等边三角形，所以，并且，而，由此得到，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形．
 

25.【答案】解：点是上一点，沿折叠，使点恰好落在轴的点处．
，，
，，四边形是矩形，
，

，

设，，解得，舍去，
，
；
如图，时，

，
，
；
如图，当时，

，
，
；
如图，当时，设，则，，

，
，即，解得，
，
，
如图，当时，

，
，
．
综上所述，在轴上存在点，，或，使为等腰三角形． 

【解析】本题主要考查了一次函数综合题，涉及等腰三角形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，解题的关键是能正确的分不同情况画图，解析．
利用折叠的特性可得出，，利用勾股定理求出，即可得出点的坐标，再得即可得出点的坐标，
分四种情况时，当时，当时，如当时分别求出点的坐标即可．