专题21.1 一元二次方程（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.1  一元二次方程（知识讲解）

【学习目标】

理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；会把一元二次方程化为一般形式；

2．会把一元二次方程化为一般形式；

3．会用整体思想及一元二次方程的解求代数式的值.

1．【要点梳理】

要点一、一元二次方程的有关概念

1．一元二次方程的概念：

　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

特别说明：

识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

特别说明：

　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.中考热点：通过方程的解和整体思想降次求代数式的解。

【典型例题】

类型一、一元二次方程的定义

1． 已知关于的方程是一元二次方程，求的值．

【答案】．

【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．

解：由关于的方程是一元二次方程，得

．解得．

【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

举一反三：

【变式1】 若方程是关于的一元二次方程，求m的值．

【答案】．

【分析】根据一元二次方程的定义得出m2=2，再求出答案即可．

解：根据题意得 解得

所以当方程是关于的一元二次方程时，．

【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．

【变式2】已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0．

求：（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程；

（2）当k为何值时，原方程是一元一次方程，并求出此时方程的解．

【答案】（1）k≠1且k≠2；（2）k=2， x=﹣5．

【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到（k-1）（k-2）≠0，由此求得k的值；

（2）根一元一次方程的定义得到k-2=0，由此得到该方程为x+5=0，解方程即可．

解：（1）依题意，得（k﹣1）（k﹣2）≠0，解得k≠1且k≠2；

（2）依题意，得（k﹣1）（k﹣2）=0，且k﹣1≠0，解得k=2.

此时该方程为x+5=0，解得x=﹣5．

【点拨】考查了一元一次方程、一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．

类型二、一元二次方程的一般形式

2．将下列方程化成一元方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．

；                              ；

；                              ．

 【分析】（1）移项得，根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可；（2）移项得，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可；（3）原方程整理为，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可；（4）原方程整理为，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可．

解：由原方程得到：，

所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为：；

由原方程得到：，

所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为：；

由原方程得到：，

所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为：；

由原方程得到：，

所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为：．

【点拨】本题考查了一元二次方程一般式：ax2+bx+c=0（a≠0），a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．

举一反三：

【变式1】已知关于的一元二次方程．

求的取值范围；

已知是该方程的一个根，求的值，并将原方程化为一般形式，写出其二次项系数、一次项系数和常数项．

【答案】（1）；（2）二次项系数是，一次项系数是，常数项是．

【分析】（1）根据一元二次方程的定义得出k+3≠0，求出即可；

（2）把x=-2代入方程，即可求出k，再把k的值代入即可．

解：∵方程是一元二次方程，

∴，

即；

把代入方程得：，

解得：，

代入方程得：，

即，

故二次项系数是，一次项系数是，常数项是．

【点拨】考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解以及一元二次方程的一般形式，一元二次方程（是常数且a≠0）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项．

【变式2】 把关于的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数.

【答案】二次项，二次项系数2；一次项，一次项系数；常数项

【分析】先化成一元二次方程的一般系数，再找出系数即可.

解：原方程整理得

∴

∴各项与各项的系数分别为：二次项，二次项系数2；一次项，一次项系数；常数项.

【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键，注意：说系数带着前面的符号．

类型三、中考热点（一元二次方程的解和整体思想应用）

3、若是方程的一个根，求的值．

【答案】．

【分析】把代入原方程，得到关于的一元二次方程，2-5+1=0，化简得到+=5,代入直接求值即可．

解：由题意得，，则．

两边同除以，得，

所以，两边同时平方，得，

所以，所以．

【点拨】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．

举一反三：

【变式1】已知关于的一元二次方程．若方程有一个根的平方等于9，求的值．

【答案】1或-5

【分析】根据题意，该方程的根可能是或，分类讨论，把x的值代入原方程求出m的值．

解：∵方程有一个根的平方等于9，

∴这个根可能是或，

当，则，解得，

当，则，解得，

综上：m的值是1或-5．

【点拨】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义．

【变式2】先化简，再求值：，其中a是方程x2－x=6的根．

【答案】，

解：原式=．

∵a是方程x2－x=6的根，∴a2－a=6．

∴原式=．

先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2－x=6的根求出a的值，代入原式进行计算即可（本题整体代入）．

类型四、知识拓展

5、已知m是方程x2−x−2=0的一个实数根，求代数式的值．

【答案】4

解：∵m是方程x2−x−2=0的根，

∴m2−m−2=0，即m2−m=2，m2 −2=m．

∴．

13．已知等腰直角中，，，点为边上动点，连接，过点作，交于点，拖动点．

（1）若，垂足为点，求证：

（2）若且，求的长度

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）根据，结合题意，得到，从而得；再结合等腰直角中，，得，从而得到，结合勾股定理，即可完成证明；

（2）过D作交AC于点G，结合题意，推导出等腰直角,得DG和AB的关系式；通过，得，通过外角性质，计算得，从而得到，根据直角三角形角所对直角边是斜边的一半，得AD和AB的关系式，通过中勾股定理计算，即可得到答案．

解：（1）∵

∴

∵

∴

∴

∵等腰直角中，

∴

∵

∴

∴，

∴

∴；

（2）如图，过D作交AC于点G

设

∵，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴，即

∴

∴

∵

∴

∴或（舍去）

∴的长度为．

【点拨】本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元二次方程、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、全等三角形、直角三角形的性质，从而完成求解．

举一反三：

【变式1】如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．

(1)若，求的度数：

(2)设．

①请用含的代数式表示与的长；

②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．

【答案】（1）；（2）①，；②是，理由见解析

【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC是等边三角形，即可得到结论；

（2）①根据线段的和差即可得到结论；

②根据方程的解得定义，判断AD是方程的解，则当AD=BE时，同时是方程的解，即可得到结论．

解：（1）∵，

，

又，

是等边三角形．

．

（2）①∵

又，

．

②∵

∴线段的长是方程的一个根．

若与的长同时是方程的根，则，

即，

，

，

∴当时，与的长同时是方程的根．

【点拨】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．

【变式2】若关于的一元二次方程有一个根为,且,求的值.

【答案】0

解：试题分析：根据二次根式有意义的条件，可求出 的值，进而求出 的值，再将 与 的值代入一元二次方程，可求出 的值，最后将 的值代入代数式即可.

 解 ：根据二次根式有意义的条件，可得 ，解得 ，那么 .将代入方程可得 ，所以 ，则将 的值代入可得.

故本题的正确答案为0.