新高考高中数学二轮复习专题二三角函数、解三角形导学案+PPT课件

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第2讲　三角恒等变换与解三角形——小题备考微专题1　三角函数求值『常考常用结论』1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan (α±β)＝.5．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝.6．常用公式(1)降幂扩角公式：cos2α＝，sin2α＝.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式变形：tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan α·tan β)．(4)辅助角公式：a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝『保分题组训练』1．[2021·山东青岛一模]已知角θ终边上有一点P，则cos θ的值为(　　)A．       B．－C．－    D．2．[2021·山东德州一模]已知sin α＝sin ，则cos 的值为(　　)A．      B．－C．    D．－3．[2021·河北沧州二模]若cos ＝，则sin ＝________．4．[2021·福州二模]已知tan (π－α)＝－，则sin 2α的值为________．『提分题组训练』1．已知sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，则α＋β为(　　)A．    B．或C．    D．2．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos 72°，则＝(　　)A．2　    B．1C．    D．3．已知θ∈，1＋sin2θ－cos 2θ＝sin θ，则sin 2θ＝(　　)A．－    B．C．－    D．4．已知sin α－cos α＝－，则cos 2α＝________．三角函数求值的类型及方法(1)给角求值解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．(2)给值求值给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 微专题2　利用正弦、余弦定理解三角形 『常考常用结论』1．正弦定理及其变形在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2R sin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．2．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A；变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝.3．三角形面积公式S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B．4．三角形中的有关结论(1)sin A＝sin (B＋C)，cos A＝－cos (B＋C)；(2)A>B⇔sin A>sin B ，cos A<cos B．『保分题组训练』1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝，c＝，则C＝(　　)A．    B．C．    D．2．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且a＝3，b＝，∠B＝45°，则∠A等于(　　)A．60°          B．120°C．60°或120°    D．135°3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B·sin C＝sin 2A，则△ABC的形状是(　　)A．等腰且非等边三角形    B．直角三角形C．等边三角形            D．等腰直角三角形4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则cos A＝________．『提分题组训练』1．[2021·山东省实验中学模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C＝(　　)A．　　　　B．　　　　C．－　　　D．－2．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＝b2＋bc，则(　　)A．sin 2A－sin 2B＝sin B sin C    B．c＝bC．A＝B    D．△ABC可能为锐角三角形3．[2021·山东潍坊一模]某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA＝∠QAB＝60°，AQ＝QP＝PB，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时∠AOB＝__________．  1．正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．2．三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化． 微专题3　与三角形有关的最值(范围)问题 『提分题组训练』1．[2021·山东省潍坊学情调研]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，b＝2，则△ABC面积的最大值是(　　)A．1　　　B．C．2　    D．42．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差，b＝1，则a＋c的取值范围是(　　)A．     B．C．    D．3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b＝2a sin B，则cos B＋sin C的取值范围为________． 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2c－a)sin C＝(b2＋c2－a2)，且b＝2，则△ABC周长的取值范围为________．  与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量的最值．解决这类的问题方法有：一、将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值；二、将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值． 第2讲　三角恒等变换与解三角形微专题1　三角函数求值保分题组训练1．解析：因为角θ终边上有一点P，所以可得r＝ ＝＝2，所以cosθ＝＝.故选D.答案：D2．解析：∵sin α＝sin ，∴sin α＝sin α＋cos α＋，∴sin α－cos α＝，即－cos ＝，∴cos ＝－.故选B.答案：B3．解析：因为2α＋＝2，则sin ＝cos 2＝2cos 2－1＝－.答案：－4．解析：因tan (π－α)＝－，则tan α＝，sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝.答案：提分题组训练1．解析：∵sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，∴cos α＝，cos β＝，∴cos (α＋β)＝＝，又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.故选A.答案：A2．解析：∵a＝2cos 72°，∴a2＝4cos272°，可得4－a2＝4－4cos272°＝4sin272°，∴＝2sin72°，a＝2cos 72°·2sin 72°＝2sin 144°＝2sin 36°，∴＝＝＝.故选C.答案：C3．解析：∵1－cos 2θ＋sin 2θ＝sin θ∴2sin 2θ＋2sin θcos θ＝sin θ，因为θ∈，所以sin θ≠0，即：sin θ＋cos θ＝，则2＝⇒sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝，∴sin 2θ＝－.故选A.答案：A4．解析：∵sin α－cos α＝－，∴(sin α－cos α)2＝，即1－2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－，∴cos 2α＝± ＝±＝±.答案：±微专题2　利用正弦、余弦定理解三角形保分题组训练1．解析：由余弦定理得cos C＝＝＝－，∵C∈，∴C＝.故选D.答案：D2．解析：∵a＝3，b＝，∠B＝45°，由正弦定理得sin A＝＝＝，∵a>b，∴A>B，∴45°<A<180°，∴A＝60°或A＝120°.故选C.答案：C3．解析：根据余弦定理可知cos A＝＝，因为0°<A<180°，所以A＝60°，根据正弦定理可知sin B sin C＝sin 2A⇔bc＝a2，所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc⇔2＝0，所以b＝c，则△ABC的形状是等边三角形．故选C.答案：C4．解析：∵S△ABC＝bc sin A＝，∴sin A＝＝cos A，∴tan A＝，又A∈，tan A>0，∴A∈，∴cos A＝.答案：提分题组训练1．解析：△ABC中，∵S△ABC＝ab·sin C，由余弦定理：c2＝a2＋b2－2ab cos C，且2S＝(a＋b)2－c2，∴ab sin C＝(a＋b)2－(a2＋b2－2ab cos C)，整理得sin C－2cos C＝2，∴(sin C－2cos C)2＝4.∴＝4，化简可得3tan2C＋4tanC＝0.∵C∈(0，π)，∴tan C＝－，故选C.答案：C2．解析：因为a2＝b2＋bc，由正弦定理可得，sin2A＝sin2B＋sinB sin C，即A正确；又由a2＝b2＋bc＝b2＋c2－2bc cos A可得b＝c－2b cos A，即c＝b，所以B正确；由b＝c－2b cos A可得sin B＝sin －2sin B cos A＝sin A cos B－sin B cos A＝sin ，所以A＝2B或B＋A－B＝π(舍)，故C不正确；由上推导可知，A＝2B⇔a2＝b2＋bc，所以△ABC可能为锐角三角形，如：A＝80°，B＝40°，C＝60°，所以D正确．故选ABD.答案：ABD3．解析：设∠ABO＝θ，则AB＝20cos θ，PB＝10cos θ，故OP2＝100＋100cos2θ－2×10×10cosθcos (60°＋θ)＝100＋50sin 2θ，故当2θ＝时，OP取最大值，此时∠AOB＝.答案：微专题3　与三角形有关的最值(范围)问题提分题组训练1．解析：由题意知B＝60°，由余弦定理，4＝a2＋c2－ac，故ac＝a2＋c2－4≥2ac－4，有ac≤4，故S△ABC＝ac sin B≤.故选B.答案：B2．解析：在△ABC中，由A，B，C成等差，可得2B＝A＋C，由A＋B＋C＝π，得3B＝π，B＝.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，可得1＝a2＋c2－2ac·cos ，即1＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，则(a＋c)2－1＝3ac≤(a＋c)2，解得－2≤a＋c≤2.又a＋c>b＝1.∴a＋c的取值范围是(1，2].故选A.答案：A3．解析：依题意b＝2a sin B，由正弦定理得sin B＝2sin A sin B，∵sin B≠0，∴sin A＝，由于三角形ABC是锐角三角形，所以A＝.由，可得<B<，所以cos B＋sin C＝cos B＋sin ＝cos B＋cos B＋sin B＝cos B＋sin B＝sin ，由于<B＋<，所以sin ∈，所以sin ∈.答案：4．解析：∵(2c－a)sin C＝(b2＋c2－a2)，∴由正弦定理可得：(2c－a)c＝b2＋c2－a2＝2bc cos A，∴可得：2c－a＝2b cos A，可得：cos A＝，∴由余弦定理可得：cos A＝＝，整理可得：c2＋a2－b2＝ac，∴cos B＝＝＝，∵B∈(0，π)，可得：B＝，且b＝2，∴由正弦定理＝＝＝4，可得：a＝4sin A，c＝4sin C＝4sin ，∴△ABC周长L＝b＋a＋c＝2＋4sin A＋4sin ＝2＋4sin A＋4＝4sin (A＋)＋2，∵A∈，A＋∈，sin ∈，∴△ABC周长L＝4sin ＋2∈(4，6].答案：(4，6].