2021-2022学年四川省乐山市市中区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省乐山市市中区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列方程是一元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    中华民族历史悠久，传统文化博大精深．下面选取了几幅传统文化图片，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    用数轴表示不等式的解集正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.    在下列线段的组合中，能与长度的线段构成三角形的是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.    如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是(    )

A. 两点之间，线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 三角形具有稳定性

6.    一个正多边形每个内角都等于，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪种正多边形组合(    )

A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形

7.    如图，面积为的正方形，分成个全等的长方形和一个面积为的小正方形，则小长方形的长和宽分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.    如图，在四边形中，，，、分别是、上的点，将沿着翻折，得到，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.    若关于的不等式组的整数解恰有个，则取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 、、、四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图，判断这四人的轻重正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 已知方程，用含的代数式表示，则 ______ ．
12. 已知是方程的解，则的值是______．
13. 如图，、、、是五边形的个外角，，则______

14. 如图，是的中线，是上的一点，，连结，若，则为______．

15. 北京冬残奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人们的普遍喜爱，某电商以元件的价格购进一批“冰墩墩”和“雪容融”玩具套装礼品，标价元件出售，“双十一”搞打折促销，为了保证利润率不低于，则每件套装礼品最多可打______折．
16. 如图，边长为的等边和等边互相重合，现将沿直线向左平移个单位，将沿直线向右平移个单位．
    若，则______；
    当、是线段的三等分点时，的值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程组
    ；
    ．
18. 本小题分
    解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来．

19. 本小题分
    如图，在边长为一个单位的小正方形网格中．
    将先向右平移个单位，再向下平移个单位，作出平移后的；
    请画出，使与关于点成中心对称；
    直接写出的面积．

20. 本小题分
    如图，点、分别在正五边形的边、上，连结、相交于，≌．
    求的度数；
    求的度数．

21. 本小题分
    已知关于、的二元一次方程组的解满足．
    求的取值范围；
    在的条件下，若不等式的解集为，求整数的值．
22. 本小题分
    若一个两位数十位、个位上的数字分别为、，我们可将这个两位数记为，即：．
    若，求的值；
    若，求的值．
23. 本小题分
    如图，在正方形中，为边上的一点，将顺时针旋转后得到．
    指出旋转中心及旋转的角度；
    判断与的位置关系，请说明理由；
    如果正方形的面积是，的面积是，求四边形的面积．

24. 本小题分
    乐山市在创建全国卫生城市的活动中，为更好的增强人们对垃圾分类的意识，某小区积极响应，决定在其辖区内安装温馨提示牌和垃圾箱，若购买个温馨提示牌和个垃圾箱共需元，购买个温馨提示牌和个垃圾箱费用相同．
    求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
    该小区至少需要安放个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共个，且总费用不超过元，请问共有几种购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
25. 本小题分
    唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
    实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
    实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是
    、边上的动点，求的最小值．
     

26. 本小题分
    数学乐园：解二元一次方程组，得：，
    当时，，同理：；
    符号称之为二阶行列式，规定：，
    设，，，那么方程组的解就是
    求二阶行列式的值；
    解不等式：；
    用二阶行列式解方程组；
    若关于、的二元一次方程组无解，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意；
B、是分式，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
C、含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
D、未知数的最高次数是，不是一元一次方程，故本选项不合题意．
故选：．
根据一元一次方程的定义判断即可．只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的整式方程叫一元一次方程．
本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：移项得，．
在数轴上表示为：
．
故选：．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，，无法构成三角形，故此选项不合题意；
B.，
，，无法构成三角形，故此选项不合题意；
C.，
，，可以构成三角形，故此选项符合题意；
D.，
，，无法构成三角形，故此选项不合题意；
故选：．
根据三角形的三边关系分析即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，
所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：．
根据点、、组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：一个正多边形每个内角都等于，
，
需要正三角形，
故选：．
正多边形镶嵌有三个条件限制：边长相等；顶点公共；在一个顶点处各正多边形的内角之和为，根据镶嵌的条件解答即可．
此题考查平面图形镶嵌，关键是根据在一个顶点处各正多边形的内角之和为解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：，．
设小长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
小长方形的长为，宽为．
故选：．
设小长方形的长为，宽为，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
将沿着翻折，得到，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得，，再利用四边形内角和定理可得答案．
本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质，四边形内角和定理等知识，熟练掌握两直线平行、同位角相等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：不等式整理得，
关于的不等式组的整数解恰有个，
．
故选：．
分别解出两个一元一次不等式的解集，再根据已知条件，原一元一次不等式组的整数解恰有个，确定该不等式组解集的公共解集，进而求得的取值范围．
本题考查一元一次不等式组的整数解、不等式的解集等知识，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
由得：，
把代入中得：
，
，
，
，
由得：
，
，
，
，
故选：．
根据题意可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
移项、得．
故答案为：．
把含的项放到方程左边，移项即可．
本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化就可用含的式子表示的形式．
 

12.【答案】 

【解析】解：将知代入方程，
得，
解得．
故答案为：．
根据方程的解的定义即可求出答案．
本题考查二元一次方程，解题的关键是熟练运用方程的解的定义，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：与相邻的外角的度数是：，
．
故答案为：．
首先求出与相邻的外角的度数，然后根据多边形的外角和定理即可求解．
本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过作，交的延长线于，过作于，

，，
的面积，
的面积，
是的中线，
，
，，
，
，
故答案为：．
过作，交的延长线于，过作于，根据和的面积求出的面积，求出的面积，再根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积的面积，再求出答案即可．
本题考查了三角形的重心，三角形的面积等知识点，能熟记等底等高的三角形的面积相等是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设每件套装礼品打折销售，
依题意得：，
解得：，
每件套装礼品最多可打折．
故答案为：．
设每件套装礼品打折销售，利用利润原售价折扣率进价，结合利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

16.【答案】  或 

【解析】解：点向左平移个单位，点向右平移个单位，
，
，
．
故答案为：．
、是线段的三等分点分两种情况：
点在点的左边时，如图所示．
、是线段的三等分点，
，
，，
，解得：；
点在点的右边时，如图所示．
、是线段的三等分点，
，
，，
，解得：．
综上可知：当、是线段的三等分点时，的值为或．
故答案为：或．
根据点平移的性质可得出，代入的值即可得出结论；
分点、的位置不同，两种情况来考虑，根据线段间的关系结合即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了等边三角形的性质以及平移的性质，解题的关键是：找出；分两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决时，很多同学往往忘记考虑到第二种情况，造成失分，故应在日常学习中多做些分类讨论分段的练习题．
 

17.【答案】解：移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
，
得：，
，
把代入得：，
，
原方程组的解为． 

【解析】根据解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为求解即可；
根据加减消元法求解即可．
本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，解方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
 

18.【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：． 

【解析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

19.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．

．
的面积为． 

【解析】根据平移的性质作图即可．
根据中心对称的性质作图即可．
利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图平移变换、中心对称的性质，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：正五边形的内角和为：，
；
≌，
，
，
，
． 

【解析】根据多边形的内角和公式、正五边形的内角相等即可得解；
根据全等三角形的性质及三角形外角定理即可得解．
此题考查了全等三角形的性质，熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理是解此题的关键．
 

21.【答案】解：，
，得，
，
，
解得；
不等式的解集为，
，
解得：，
又，
的取值范围为，
整数的值为． 

【解析】根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决．
不不等式的解集为，根据不等式得性质得到，得到的取值范围，再根据的范围，求得最终的取值范围，即可得到答案．
本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：，，
，
；
，，
，
解得，
，
，或，或，
或或． 

【解析】按定义列出方程求出的值即可；
按定义列出方程求出、的值，代入计算即可．
本题考查了一次方程的解法．明确新的定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：旋转中心是，旋转角是；
延长交于点．
≌，
，．
又，，
，
．
≌，
的面积是，
四边形的面积是 

【解析】将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定；
根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断；
根据≌，四边形的面积就是正方形的面积与的面积，即正方形的面积与的面积的差．
本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等．
 

24.【答案】解：设温馨提示牌的单价为元，垃圾箱的单价为元，
依题意得，，
解得，，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是元和元；

设购买温馨提示牌个，则购买垃圾箱个，
依题意得：，
解得，
为整数，
，，，
共有种购货方案：
方案一：购买温馨提示牌个，购买垃圾箱个，此时费用为元；
方案二：购买温馨提示牌个，购买垃圾箱个，此时费用为元；
方案三：购买温馨提示牌个，购买垃圾箱个，此时费用为元；
，
购买温馨提示牌个，购买垃圾箱个时所需资金最少，最少是元． 

【解析】设温馨提示牌的单价为元，垃圾箱的单价为元，根据“购买个温馨提示牌和个垃圾箱共需元，购买个温馨提示牌和个垃圾箱费用相同”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买温馨提示牌个，则购买垃圾箱个，根据“该小区至少需要安放个垃圾箱，且总费用不超过元”，可得不等式组，求出的范围，可得答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，理解题意得出相等关系与不等关系是解题关键．
 

25.【答案】解：如图，

作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
如图，

分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，
则的周长最小；
如图，

作点作，交于，于，作于，交于，则最小，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】作点关于直线的对称点，连接交于；
分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，；
作点作，交于，于，作于，交于，则最小，先证明≌，从而得出是的中垂线，从而得出，进而得出，根据∽求出．
本题考查了轴对称性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型．
 

26.【答案】解：由题意可得，
，
即的值是；
由得，
，
解得：，
不等式的解集为；
由题意可得，
，
，
，
，
，
方程组的解是．
若关于、的二元一次方程组无解，则，
，
． 

【解析】根据题意可以直接算出二阶行列式的值；
根据公式得不等式，解不等式即可；
根据题意可以算出、，，从而可以求得、的值，本题得以解决；
根据公式，当等于时方程组无解，即可求出的值．
本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程，解题的关键是明确题目中的新定义，根据新定义可以解决相关的问题．