2021-2022学年四川省成都市锦江区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省成都市锦江区七年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共32分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年月日，由四川省文物考古研究院和三星堆研究院、三星堆博物馆联合主办的“考古中国”重要项目三星堆遗址考古发掘阶段性成果新闻通气会在三星堆博物馆举行，会上发布三星堆遗址祭祀区考古工作阶段性重大成果：座坑共计出土编号文物近件．将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列润滑油标志图标中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列事件中，不确定事件是(    )

A. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
B. 两直线平行，同位角相等
C. 在名同学中至少有两人的生日在同一个月
D. 射击运动员射击一次，命中靶心

6. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，把两根木条和的一端用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为(    )

A. 的度数 B. 的长度 C. 的面积 D. 的长度

8. 如图，成都某公园有一个假山林立的池塘．、两点分别位于这个池塘的两端，为测量出池塘的宽，小明想出了这样一个办法：先在的垂线上取两点、，使，再过点作的垂线，交的延长线于线段的长即为、两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共10小题，共40分）

9. 已知，则它的余角是______
10. 若______，则括号内应填的代数式是______．
11. 已知等腰三角形的周长，其中底边长为，则腰长为______．
12. 如图，在和中，点、、、在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定≌的是______写出一个即可．

13. 如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，若，，则的大小为______．

14. 已知，而无意义，则______．
15. 已知，、分别为小正方形和大正方形的边长，则阴影部分面积为______．

16. 在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰所在直线的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为______．
17. 已知直线，射线、分别平分、，两射线反向延长线交于点，请写出、之间的数量关系：______．

18. 如图为等腰三角形，其中，以为底边作，其中，再以为底边作，其中，两底角的角平分线交于点，点为直线上的动点，已知最大值为则的最小值为______．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 计算：；
     
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求：
    转到数字是______从“不确定事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入；
    转动转盘，转出的数字不大于的概率是______
    现有两张分别写有和的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．
    这三条线段能构成三角形的概率是多少？
    (ⅱ)这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？

22. 如图，在四边形中，，．
    用直尺和圆规作的角平分线，分别交、于点、；保留作图痕迹，不写作法，
    求证：请把下列证明过程及理由补充完整
    证明：平分已知
    ______角平分线的定义
    已知
    ____________
    ____________等量代换
    ______
    已知
     

23. 已知中，延长至点，使得．
    
    如图，连接，求证：≌；
    如图，过点作的平行线，与过点且平分的直线相交于当点落在的延长线上时：
    试判断与的数量关系，并证明；
    已知，求的长．
24. 周末，小明和爸爸从家出发去青龙湖公园露营，早上：小明徒步先行出发，爸爸带上露营物资骑自行车后出发，到达露营地扎营．行进过程中爸爸和小明行驶速度均保持不变，两人离家的距离与时间如图所示．请根据图象回答问题：
    爸爸比小明晚出发______：小明徒步的速度是______；爸爸骑自行车的速度是______；
    爸爸比小明早多久到达营地？

25. 对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与我们规定：例如：．
    若是一个完全平方式，求常数的值：
    若，且，求的值：
    在的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积．

26. 已知点是等边三条角平分线的交点．，将按图所示放置：点在线段上滑动不与、重合，过点，且与线段相交于点；与线段相交于点，与线段交于点，连接测量发现在点的滑动过程中，始终满足“”可直接使用，不必证明．
    
    当时，请判断的形状并说明理由；
    滑动过程中存在点，使≌，求证：；
    如图，在的情况下，若，在上找一点，使，求此时的面积．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据整式的加法，乘法，乘方运算法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的加法，乘法，乘方运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
 

5.【答案】 

【解析】解：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，是确定事件，不符合题意；
B.两直线平行，同位角相等，是确定事件，不符合题意；
C.在名同学中至少有两人的生日在同一个月，是确定事件，不符合题意；
D.射击运动员射击一次，命中靶心，是不确定事件，符合题意；
故选：．
根据确定事件的定义解答即可．
本题主要考查了确定事件和不确定事件，熟练掌握相关的定义是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
与的乘积中不含的一次项，
，即．
故选：．
应用多项式乘多项式的法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：木条绕点自由转动至过程中，的长度始终不变，
故AC的长度是常量；
而的度数、的长度、的面积一直在变化，均是变量．
故选：．
根据常量和变量的定义进行判断．
本题考查常量和变量，理解题意，确定变与不变是求解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌．
故选：．
根据可判定三角形全等．
本题考查了全等三角形的应用；在测量长度或者角度问题中，如果不能直接到达，可以构造全等三角形，利用对应边角相等，来解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：已知，
则它的余角为．
故答案为：．
根据互余的两个角的和等于列式计算即可得解．
本题考查了余角的概念，掌握互余的两个角的和等于是解题的关键．
 

10.【答案】   

【解析】解：由题意得：


．
故答案为：．
所求的代数式为：，利用整式的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

11.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的周长为，其中底边长为，
等腰三角形的腰长．
故答案为：．
根据三角形的周长公式即可得到结论．
此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加答案不唯一，理由如下：
，
，
，，
根据“”判定≌．
故答案为：答案不唯一．
先根据平行线的性质得到，加上，则可根据全等三角形的判定方法即可求解．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的根据，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，
，，
，
的大小为：．
故答案为：．
直接利用轴对称图形的性质得出，，再结合三角形内角的定理得出答案．
此题主要考查了轴对称图形的性质，正确得出对应角度数是解题关键．
14.【答案】 

【解析】解：无意义，
，
即：，


，
故答案为：．
根据零指数幂无意义，同底数幂的乘法可得，，在根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
本题考查零指数幂无意义，同底数幂的乘法，理解零整数指数的运算性质是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
则阴影部分面积为：




．
故答案为：．
利用非负数的性质列出方程组，表示出阴影部分面积，代入计算即可求出．
此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当为锐角等腰三角形时，如图：

，，
，
当为钝角等腰三角形时，如图：

，，
顶角．
故该等腰三角形顶角的度数为或．
故答案为：或．
由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：延长交于，交于，如图：

射线、分别平分，，
，，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
整理得，
故答案为：．
延长交于，交于，由射线、分别平分，，得，，设，，可得，，而，有，，即可得，，从而有，故．
本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线定义，三角形内角和等，解题的关键是用含，的式子表示，，从而得到，之间的数量关系．
 

18.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，
，
，
当、、三点共线时，的值最大，
最大值为，
，
连接交于，
，
当、、三点共线时，的值最小，
此时点与点重合，
连接，，
，，，
，
，
，
，
是的角平分线，是的角平分线，
，
，
，，
≌，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
作点关于的对称点，连接交于点，连接，当、、三点共线时，的值最大，即，连接交于，当、、三点共线时，的值最小，此时点与点重合，连接，，证明≌，求出，即可求解．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的性质是解题的关键．

19.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】根据单项式乘单项式，积的乘方，合并同类项化简即可；
根据绝对值，零指数幂，同底数幂的除法，负整数指数幂计算即可．
本题考查了绝对值，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，掌握是解题的关键．
 

20.【答案】解：


，
当时，原式

． 

【解析】先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式计算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】不可能事件  

【解析】解：转到数字是不可能事件，
故答案为：不可能事件；
转盘被平均分成等份，转到每个数字的可能性相等，共有种可能结果，不大于的结果有种，
转出的数字不大于的概率是，
故答案为：；
根据题意可知三角形的第三边的长的范围为：第三边，
转盘被平均分成等份，转到每个数字的可能性相等，共有种可能结果，能够成三角形的结果有种，
这三条线段能构成三角形的概率是；
(ⅱ)转盘被平均分成等份，转到每个数字的可能性相等，共有种可能结果，能够成等腰三角形的结果有种，
这三条线段能构成等腰三角形的概率是．
根据确定性事件和不确定性事件的概念判断可得；
转盘被平均分成等份，转到每个数字的可能性相等，共有种可能结果，不大于的结果有种，由概率公式可得；
转盘被平均分成等份，转到每个数字的可能性相等，共有种可能结果，能够成三角形的结果有种，由概率公式可得；
(ⅱ)转盘被平均分成等份，转到每个数字的可能性相等，共有种可能结果，能够成等腰三角形的结果有种，由概率公式可得．
本题主要考查概率公式的运用及三角形三边间的关系、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形三边间的关系和等腰三角形的判定是解题的关键．
 

22.【答案】    两直线平行，内错角相等      等边对等角 

【解析】解：如图，为所作；

证明：平分已知，
角平分线的定义，
已知，
两直线平行，内错角相等，
等量代换，
等边对等角，
已知，
．
故答案为：，，两直线平行，内错角相等；，；等边对等角；
利用基本作图作的平分线即可；
先根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，则，所以，从而得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质．
 

23.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌；
解：，
证明：连接，

，，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
又，
≌，
；
，
，
设，
，
平分，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由可证明≌；
连接，证明≌，由全等三角形的性质得出；
由三角形外角的性质求出，得出，则，由直角三角形的性质得出，求出长，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】     

【解析】解：由题意可知，爸爸比小明晚出发：小明徒步的速度是：；爸爸骑自行车的速度是：；
故答案为：；；；
小明到达营所需时间为：，
，
答：爸爸比小明早分钟到达营地．
根据图象数据以及“速度路程时间”可得答案；
根据小明徒步的速度可得小明到达营所需时间，进而得出结论．
本题主要考查了函数的图象，准确理解函数图象中的信息进行求解是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：
，
是一个完全平方式，
；
，



，
，

；
，

，

，
，




． 

【解析】根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出；
根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出；
根据阴影部分的面积等于三角形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积，可以把阴影部分的面积表示出来，从得到含有、的整式，再把的条件和结论整体代入即可得解．
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
 

26.【答案】解：是等边三角形，理由如下：
，，
，
，
，
，
是等边三角形；
证明：如图，过点作于点，过点作于点，

则，
，
；
≌，
，，
，，
，，
，
，
，
，
；
在与中，
，
≌，
，
，
，
；
解：如图，过点作于点，过点作于，过点作于点，

设，
，，
，
，
，，
，
，
由得，
，
又，
，，
，
设，且，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的面积． 

【解析】根据等腰三角形的性质得，则，再利用，得，从而证明结论；
过点作于点，过点作于点，利用证明≌，得，则，从而解决问题；
过点作于点，过点作于，过点作于点，设，由得，则，，，从而得出和的长，再根据的面积，求出的长，从而得出和的长，进而解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解三角形等知识，寻求特殊角解三角形是解决问题的关键．