2022-2023学年安徽师大附属萃文中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽师大附属萃文中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    由下列条件不能判定为直角三角形的是(    )

A.  B. ，，
C.  D. ：：：：

3.    点和点都在直线上，则和的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

4.    将每一个内角都是的五边形按如图所示方式放置，若直线，则和的数量关系是(    )

A.
B.
C.
D.

5.    年月日时分，“嫦娥四号”探测器飞行约千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆。数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，在中，、分别是、的中点，，是线段上一点，连接、，，若，则的长度是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    若是一个完全平方式，则常数的值为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

8.    如图，动点从矩形的顶点出发，在边，上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积随运动时间变化的函数图象如图所示，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，是的边上任意一点，、分别是线段、的中点，且的面积为，则的面积是．(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在边长为的正方形中，是对角线上一点，且，点是上一动点，则点到边，的距离之和的值(    )

A. 有最大值
B. 有最小值
C. 是定值
D. 是定值

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

11. 若，则______．
12. 如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______

13. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为______．

14. 如图，在中，，，，是的角平分线，点，点分别是，边上的动点，点在上，且，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    计算：．
16. 本小题分
    算法统宗是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在算法统宗中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”注：步尺
    译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它往前推送尺水平距离时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”
     

17. 本小题分
    如图，方格纸中每个小正方形的边长都是，的三个顶点都在格点上，如果用表示点的位置，用表示点的位置，那么：
    画出平面直角坐标系；
    画出与关于轴对称的图形点与点对称，点与点对称，点与点对称．

18. 本小题分
    如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．
    求的值及的解析式；
    求的值；
    一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值．

19. 本小题分
    某地区在一次九年级数学检测中，有一道满分分的解答题，按评分标准，所有考生的得分只有四种：分，分，分，分．老师为了了解学生的得分情况与题目的难易情况，从全区名考生的试卷中随机抽取一部分，通过分析与整理，绘制了如下两幅图不完整的统计图．
    请根据以上信息解答下列问题：
    填空：______，______，并把条形统计图补全；
    请估计该地区此题得满分即分的学生人数．
     

20. 本小题分
    如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
    求证：；
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．

21. 本小题分
    芜湖马鞍山高速通车后，将芜湖的农产品运往马鞍山的运输成本大大降低，芜湖一农户需要将，两种农产品定期运往马鞍山某加工厂，每次运输，产品的件数不变，原来每运一次的运费是元，现在每运一次的运费比原来减少了元，，两种产品原来的运费和现在的运费单位：元件如表所示：

求每次运输的农产品中，产品各有多少件；
由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的总件数增加件，但总件数中产品的件数不得超过产品件数的倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元．

22. 本小题分
    如图所示，在正方形的边的延长线上取点，连接，在上取点，使得，连接，过点作，交于点．
    若正方形的边长为，且，求的长；
    求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，故本选项符合题意；
B.


，故本选项不符合题意；
C.


，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据二次根式的减法法则，二次根式的除法法则，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再得出选项即可．
本题考查了二次混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】A、，
，
故是直角三角形，正确；
B、，
故不能判定是直角三角形；
C、，
，
即，
故是直角三角形，正确；
D、：：：：，
，
故是直角三角形，正确．
故选：．
由三角形内角和定理得出条件和是直角三角形，由勾股定理的逆定理，可得出条件是直角三角形，不是；即可得出结果．
本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理的逆定理是证明直角三角形的关键，注意计算方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：直线，，
随的增大而减小，
又，
，
故选：．
先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据点的横坐标的大小进行判断即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，延长交直线于点．

由题意得：．
．
和是对顶角，
．
，
．
．
．
与是对顶角，
．
，
．
又，
．
．
．
．
故选：．
如图，延长交直线于点由，得由四边形内角和等于，得，故，那么由，得，故进而推断出．
本题主要考查正多边形的性质、平行线的性质、对顶角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握正多边形的性质、平行线的性质、对顶角的性质以及三角形内角和定理是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法。科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值。
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数。确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数。
【解答】
解：用科学记数法表示为：，
故选：。  

6.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，根据题意求出，根据直角三角形的性质求出．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图可知，，，当点到达点时，的面积为，
，即，
解得：．
即的长为．
四边形是矩形，
，
在中，，
故选：．
由图可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式，求出的值，即线段的长，再运用勾股定理即可求得答案．
本题主要考查动点问题中三角形的面积，勾股定理，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点是的中点，
，，
，
，
点是的中点，
．
故选：．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，作于点，则，

正方形的性质可知，
为等腰直角三角形，
正方形的边长为，
，
，
，，
，
，
，

则点到边，的距离之和的值是定值
故选：．
连接，作于点，由正方形的性质可知为等腰直角三角形，，可求，利用面积法得，将面积公式代入即可．
本题主要考查正方形的性质，三角函数，等面积法，解决此题的关键是用等面积求出．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
先利用幂的乘方得到原式，再根据同底数幂的乘法法则得到原式，然后把代入计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方：熟练掌握幂的乘方法则底数不变，指数相乘和积的乘方法则把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，将沿着翻折得到，
，，
，
故答案为：
根据三角形外角性质和翻折的性质解答即可．
此题考查翻折的性质，关键是根据三角形外角性质和翻折的性质解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过点，
，解得，
，
又与轴的交点是，
关于的不等式的解集为．
故答案为．
先将点代入，求出的值，再找出直线落在的下方且都在轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出的值，是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则，，
，
当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，
此时，中，，
，
的最小值为，
故答案为：．
作点关于的对称点，连接，则，，当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到的最小值．
本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

15.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

16.【答案】解：设绳索有尺长，
由题意得：，
解得：，
即绳索长尺． 

【解析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．设绳索有尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可．
 

17.【答案】解：如图，平面直角坐标系如图所示．
如图，即为所求．
 

【解析】根据，两点的坐标确定平面直角坐标系即可；
利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图轴对称变换，平面直角坐标系等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：把代入一次函数，可得
，
解得，
，
设的解析式为，则，
解得，
的解析式为；
如图，过作于，于，则，，
，令，则；令，则，
，，
，，
；

一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，
当经过点时，；
当，平行时，；
当，平行时，；
故的值为或或． 

【解析】先求得点的坐标，再运用待定系数法即可得到的解析式；
过作于，于，则，，再根据，，可得，，进而得出的值；
分三种情况：当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，；故的值为或或．
本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．
 

19.【答案】   

【解析】解：抽取的总人数是：人，
故得分的学生数是人，
所以，，
即，．
补全的条形统计图如下图所示：

故答案为：、；
由可得，得满分的占，
估计该地区此题得满分即分的学生人数是：名，
即该地区此题得满分即分的学生数人．
根据条形统计图和扇形统计图可以得到和的值，从而可以得到得分的人数将条形统计图补充完整；
根据第问可以估计该地区此题得满分即分的学生人数．
本题考查加权平均数、用样本估计总体、条形统计图，解题的关键是明确题意，找所求问题要的条件．
 

20.【答案】证明：，
，
平分，
，
；
证明：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
． 

【解析】由平行线的性质得，由角平分线的性质得，即可得出结论；
由等腰三角形的判定与性质易得，易证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，由直角三角形斜边上的中线性质得，由勾股定理得，即可得出结果．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设每次运输的农产品中产品有件，每次运输的农产品中产品有件，
根据题意得，
解得，
答：每次运输的农产品中产品有件，每次运输的农产品中产品有件；
设增加件产品，则增加了件产品，设增加供货量后得运费为元，
增加供货量后产品的数量为件，产品的数量为件，
根据题意得：，
由题意得：，
解得：，
即，
一次函数随的增大而增大
当时，，
答：产品件数增加后，每次运费最少需要元． 

【解析】设每次运输的农产品中产品有件，每次运输的农产品中产品有件，根据表中的数量关系列出关于和的二元一次方程组，解之即可，
设增加件产品，则增加了件产品，设增加供货量后得运费为元，根据的结果结合图表列出关于的一次函数，再根据“总件数中产品的件数不得超过产品件数的倍”，列出关于的一元一次不等式，求出的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键：正确根据等量关系列出二元一次方程组，根据数量关系列出一次函数和不等式，再利用一次函数的增减性求最值．
 

22.【答案】解：四边形是正方形，且边长为，
，，
在中，，
，
，
，
；

证明：在上截取，连接，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由正方形的边长为，在中，由，即可求得的长，然后由勾股定理求得的长，又由，即可求得的长；
先在上截取，然后证得≌，由全等三角形的对应角相等、同角的余角相等，即可求得，进而得出．
此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解题时注意掌握辅助线的作法，构造全等三角形是解决问题的关键．