人教版九年级数学上册 24.44 《圆》-圆的基本性质（巩固篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学上册 24.44 《圆》-圆的基本性质（巩固篇）（专项练习），共55页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
【考点一】圆➽➼概念✭✭点和圆的位置关系
1．（2022·青海·中考真题）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
【考点二】圆的对称性➽➼垂径定理
【考点①】垂径定理✭✭推论➼➸概念的理解
3．（2022·全国·九年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心
4．（2019·四川凉山·中考真题）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点②】垂径定理➼➸求弦长✭✭求半径✭✭求弦心距
5．（2022·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A．1B．C．2D．4
6．（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A．B．C．D．
【考点③】垂径定理推论➼➸求弦长✭✭求半径✭✭求弦心距
7．（2013·广西南宁·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（ ）
A．B．5C．4D．3
8．（2021·四川广元·一模）如图，矩形中，，，，分别是，边上的动点，，以为直径的与交于点，．则的最大值为（ ）．
A．48B．45C．42D．40
【考点④】垂径定理✭✭推论➼➸应用
9．（2020·广东广州·中考真题）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．B．C．D．
10．（2018·四川乐山·中考真题）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
【考点三】圆的对称性➽➼弧、弦、圆心角关系
11．（2020·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
12．（2016·浙江舟山·中考真题）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【考点四】确定圆的条件
13．（2021·河南洛阳·一模）下列关于圆的说法，正确的是（ ）
A．弦是直径，直径也是弦
B．半圆是圆中最长的弧
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴
D．过三点可以作一个圆
14．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【考点五】圆周角定理
【考点①】圆周角➼➸概念（定理）理解
15．（2019·四川泸州·一模）如图，是的直径，，分别是上的两点，，，，则的半径是（ ）
A．B．C．D．
16．（2021·河北沧州·一模）如图，是上一个定点，将直角三角板的角顶点与点重合，两边与相交，设交点为，，绕点顺时针旋转三角板，直至其中一个交点与点重合时停止旋转，设，旋转角为，如图所示能反映与关系的为（ ）
A．B．
C．D．
【考点②】圆周角定理➼➸求圆心（周）角✭✭弦长✭✭半（直）径
17．（2021·西藏·中考真题）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．40°B．55°C．70°D．110°
18．（2021·广西贵港·中考真题）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A．B．2C．D．1
【考点③】圆周角推论1➼➸求圆心（周）角✭✭弦长✭✭半（直）径
19．（2008·浙江台州·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等
A．①②③B．③④⑤C．①②⑤D．②④⑤
20．（2022·广西梧州·中考真题）如图，是的外接圆，且，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是（ ）
A．60°B．62°C．72°D．73°
【考点④】圆周角推论2➼➸求圆心（周）角✭✭弦长✭✭半（直）径
21．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
22．（2021·广西贺州·中考真题）如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．1
【考点⑤】圆周角推论3➼➸求圆心（周）角✭✭弦长✭✭半（直）径
23．（2018·山东济南·中考真题）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（ ）
A．2B．C．D．
24．（2022·江苏连云港·二模）如图，弦CD所对的圆心角为，AB为直径，CD在半圆上滑动，F是CD的中点，过点D作AB的垂线，垂足为E，则∠DEF的值为（ ）
A．B．
C．D．
【考点⑥】圆内接四边形➼➸求角度✭✭求半径（直径）
25．（2022·吉林长春·中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ）

A．138°B．121°C．118°D．112°
26．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（ ）

A．B．C．D．
【考点六】垂径定理✭✭圆周角定理➽➼坐标系✭✭折叠✭✭最值
27．（2020·四川广元·中考真题）如图，是的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么y与点P运动的时间（单位：秒）的关系图是（ ）
A．B．C．D．
28．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
【考点一】圆➽➼概念✭✭点和圆的位置关系
29．（2019·贵州贵州·中考真题）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交于点，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为_____度．
30．（2020·山东临沂·中考真题）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
【考点二】圆的对称性➽➼垂径定理
【考点①】垂径定理➼➸求弦长✭✭求半径✭✭求弦心距
31．（2021·四川阿坝·中考真题）如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．
32．（2020·浙江·中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．
【考点②】垂径定理推论➼➸求弦长✭✭求半径✭✭求弦心距
33．（2021·北京门头沟·一模）如图，在中，，，半径，则________．

34．（2021·山东淄博·二模）如图，已知的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，，CD是的一条弦，，以PC，PD为相邻两边作▱PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最大值与最小值的积等于______．
【考点③】垂径定理✭✭推论➼➸应用
35．（2012·浙江衢州·中考真题）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．

36．（2021·山东枣庄·一模）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为_______m．

【考点三】圆的对称性➽➼弧、弦、圆心角关系
37．（2022·上海静安·二模）如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．
38．（2021·山东青岛·二模）如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于69°，则的度数为______°．

【考点四】确定圆的条件
39．（2022·河南·三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在上，若点P是的一个动点，则面积的最大值是______．
40．（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝_____．
【考点五】圆周角定理
【考点①】圆周角定理➼➸求圆心（周）角✭✭弦长✭✭半（直）径
41．（2022·江苏常州·中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
42．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．
【考点②】圆周角推论1➼➸求圆心（周）角✭✭弦长✭✭半（直）径
43．（2022·湖北随州·中考真题）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ACB=60°，则∠AOB的度数为___________.
44．（2016·福建泉州·中考真题）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE=2：3，则AE：DE=_____．
【考点③】圆周角推论2➼➸求圆心（周）角✭✭弦长✭✭半（直）径
45．（2018·江苏镇江·中考真题）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．
46．（2013·江苏常州·中考真题）如图，ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=_____．

【考点④】圆周角推论3➼➸求圆心（周）角✭✭弦长✭✭半（直）径
47．（2013·甘肃兰州·中考真题）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
48．（2017·湖北十堰·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为_____．

【考点⑤】圆内接四边形➼➸求角度✭✭求半径（直径）
49．（2018·江苏扬州·中考真题）如图，已知的半径为2，内接于，，则__________．

50．（2017·江苏南京·中考真题）如图，四边形是菱形，⊙O经过点，与BC相交于点E，连接，若∠D＝78°，则∠EAC _________．

【考点六】垂径定理✭✭圆周角定理➽➼坐标系✭✭动点✭✭折叠✭✭最值
51．（2013·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为_______.
52．（2017·海南·中考真题）如图，AB为⊙0的弦，AB=6，点C是⊙0上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是______________．

三、解答题
53．（2022·甘肃酒泉·二模）如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．
(1) 尺规作图：在BC上求作一点E，使（不写作法，只保留作图痕迹）；
(2) 探究OE与AC的数量关系．
54．（2022·河北邯郸·一模）如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点．
(1) 求证：；
(2) 若C、D是AB的三等分点，：
① 求；
② 请比较GE和BE的大小．
55．（2022·广东湛江·一模）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
(1) 用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求BC的长．
56．（2021·江苏·扬州市江都区双沟中学一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．
求证∶CD=AD；
若AD=，AB=，求FD的长．

参考答案
1．C
【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可．
解：∵，
∴OA=，
∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴，
∴，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键．
2．C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
【点拨】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
3．A
【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．
解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故选A.
【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
4．A
【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可．
解：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
②两点之间线段最短；真命题；
③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
④平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是1个；
故选A．
【点拨】考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
5．C
【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．
解：设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．
∵是的直径，垂直于弦于点，
∴
∴OD是△ABC的中位线
∴BC=2OD
∵
∴，解得
∴BC=2OD=2x=2
故选：C
【点拨】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．
6．C
【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可.
解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，
∵C是弧AB的中点，AB=6，
∴OC⊥AB，AE=BE=3，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵OC⊥AB,
∴，,
∴
∴
∴圆心O到弦AB的距离为，
故选C.
【点拨】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
7．B
解：∵∠BAC=∠BOD，
∴，
∴AB⊥CD，
∵AE=CD=8，
∴DE=CD=4，
设OD=r，
则OE=AE﹣r=8﹣r，
在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r，
∴OD2=DE2+OE2，
即r2=42+（8﹣r）2，
解得r=5．
故选：B．
8．A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD=，
∵×AH×BD=×AD×AB，
∴AH==36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM=，
∴此时HM有最大值，最大值为：
24，
∵OH⊥MN，
∴MN=2MH，
∴MN的最大值为2×24=48．
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．
9．C
【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．
解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴油的最大深度为，
故选：．
【点拨】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．
10．C
分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.
解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选C．
点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题
11．B
【分析】先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．
解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
【点拨】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．
12．C
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，
故的度数是150°．
13．C
【分析】根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可．
解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；
B、半圆小于优弧，半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意；
D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了圆的有关概念和性质，解题关键是熟练掌握这些性质，灵活运用它们解答．
14．C
【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可．
解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，
圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，
∴AG=BM，
又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
，
，
．
故选：C．
【点拨】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
15．C
【分析】反向延长OD交圆于E，延长CA作EF⊥CA，首先证明CE=CD，然后求出∠CAE=135°，根据勾股定理求出AF、EF、DE，即可求出圆的半径.
解：如图
反向延长OD交圆于E，延长CA作EF⊥CA，
∵OC⊥OD，
∴∠COE=∠COD=90°，
∵OD=OE
∴CE=CD，
∵∠COE=90°，
∴∠D=45°，
∴∠CAE=135°，
∴∠FAE=45°，
∵∠AOE=∠DOB，
∴AE=BD=，
∴AF=EF=1，
又∵AC=2，
∴CF=CA+AF=3，
CE=，
DE=，
则⊙O的半径=，
故选C．
【点拨】本题考查圆周角，勾股定理等知识，解题的关键是做出辅助线EF⊥CA，属于中考常考题型．
16．A
【分析】根据圆周角的定义及特点即可求解．
解：依题意可知∠BMA是圆周角，弦AB为∠BMA所对的弦，
当绕点顺时针旋转三角板时，∠BMA的大小不变，故弦AB长度不变，即y不随的变化而变化，
故选A．
【点拨】此题主要考查圆周角的性质，解题的关键是熟知圆周角的定义．
17．B
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．A
【分析】连接、、、、，过点作于点，根据圆内接四边形的性质得，根据对称以及圆周角定理可得，由点是的中点可得，，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．
解：连接、、、、，过点作于点，
，
，
点关于对称的点为，
，
，
点是的中点，
，
，
，，
，，
直径，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出是解题的关键．
19．B
解：根据圆周角定理可知：①顶点在圆周上且角的两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误；
②同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误；
③90°的圆周角所对的弦是直径；根据圆周角定理推论可知，此选项正确；
④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；根据不在一条直线上的三点可确定一个圆，故此选项正确；
⑤同弧所对的圆周角相等，∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，故此选项正确；
故答案为③④⑤．
故选B．
20．C
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质可求∠ACB的度数，然后根据圆周定理求出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，从而可求出的度数．
解：连接CD，
则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB=，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD是解题的关键．
21．B
【分析】根据圆内接四边形的性质可得，连接AC，得，进一步得出，从而可得结论．
解：连接AC，如图，
∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上，
∴
∵
∴
∵AB为半圆的直径
∴，
∴
∴
故选：B．
【点拨】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
22．B
【分析】连接OD，EF，可得OD∥BC，EF∥AC，从而得，，进而即可求解．
解：连接OD，EF，
∵与相切于点，BF是的直径，
∴OD⊥AC，FE⊥BC，
∵，
∴OD∥BC，EF∥AC，
∴，，
∵，，
∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4，
∴，，
∴BC=，BE=，
∴CE=-=．
故选：B．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质，平行线分线段成比例定理，掌握圆周角定理的推论，添加辅助线，是解题的关键．
23．C
【分析】连接BD、OC，根据矩形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD=2；由ABC为等边三角形得∠A=60°，于是利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，易得∠CBD=30°，在Rt△BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD=BD=1，BC=CD=，然后根据矩形的面积公式求解．
解：连接BD、OC，如图，
∵四边形BCDE为矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，而OB=OC，
∴∠CBD=30°，
在Rt△BCD中，CD=BD=1，BC=CD=，
∴矩形BCDE的面积=BC•CD=．
故选C．
【点拨】本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质，综合性比较强．合理利用圆的基本性质是解题的关键．
24．C
【分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再判断出点四点共圆，然后根据圆周角定理即可得．
解：如图，连接，
弦所对的圆心角为，
，
，且点是的中点，
，（等腰三角形的三线合一），
又，
点四点共圆，
则由圆周角定理得：，
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
25．C
【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得．
解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故选：C
【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键
26．B
【分析】连接OA，在上取点E，连接AE，BE，先证明，可得∠AOB=112°，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可求解．
解：连接OA，在上取点E，连接AE，BE，
∵点C为弦中点，
∴OC ⊥AB，即∠ACO=∠BCO=90°，
又∵AC=BC，OC=OC，
∴，
∴∠AOC=，即：∠AOB=112°，
∴∠E=∠AOB=56°，
∵四边形ADBE是的内接四边形，
∴=180°-56°=124°，
故选B．
【点拨】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、圆的内接四边形的性质，添加辅助线，构造圆的内接四边形，是解题的关键．
27．B
【分析】根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→B运动时；（3）当点P沿B→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．
解：（1）当点P沿O→C运动时，
当点P在点O的位置时，y＝90°，
当点P在点C的位置时，
∵OA＝OC，
∴y＝45°，
∴y由90°逐渐减小到45°；
（2）当点P沿C→B运动时，
根据圆周角定理，可得
y≡90°÷2＝45°；
（3）当点P沿B→O运动时，
当点P在点B的位置时，y＝45°，
当点P在点O的位置时，y＝90°，
∴y由45°逐渐增加到90°．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了动点问题的函数图象和圆周角定理，解题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．
28．B
【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数．
解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，
∴．
同理：．
又∵F是劣弧BD的中点，
∴．
∴．
∴弧AC的度数=180°÷4=45°．
∴∠B=×45°=22.5°．
∴所在的范围是；
故选：B．
【点拨】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
29．34
【分析】先根据同圆的半径相等可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
解：由同圆的半径相等得：，
，
，
，
故答案为：34．
【点拨】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握同圆的半径相等是解题关键．
30．
【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果.
解：根据题意可得：
点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A（2，1），
∴OA==，
∵圆O的半径为1，
∴AB=OA-OB=，
∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为，
故答案为：.
【点拨】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.
31．3
【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．
解：连接OC，
Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；
由勾股定理，得：OH=；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
32．3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点拨】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
33．2
【分析】连结OA、OB、AC、BC，则由AC=BC可以推得弧AC=弧BC，由垂径定理可得AD=BD，OD⊥AB，再根据勾股定理可以得到OD的值，最后可以算得CD的值．
解：连结OA、OB、AC、BC，
∵AC=BC，
∴弧AC=弧BC，
∴OD⊥AB，AD=BD=4，
∵OA=5，
∴在RT△OAD中，OD=，
∴CD=OC-OD=5-3=2，
故答案为2．
【点拨】本题考查圆的应用，熟练掌握垂径定理、等弦对等弧的性质及勾股定理的应用是解题关键．
34．80.
【分析】连接OC．设CD交PE于点K，连接OK．根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理求出OK，然后得出OP的值，利用三角形的三边关系即可解决问题．
解：连接设CD交PE于点K，连接OK．
四边形PCED是平行四边形，，
，，
，
在中，，，
，
，
，
，
的最小值为2，最大值为10，
，
的最小值为4，最大值为20，
线段PE长的最大值与最小值的积等于80．
故答案为80．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
35．8
【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求．
解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm．
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm．
在Rt△AOD中，∵mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm
故答案为8
【点拨】本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键．
36．5
【分析】由垂径定理可知，设，则，根据勾股定理计算即可；
解：由图可知：，
∴，
设，则，
在Rt△AOC中，，
∴，
解得：．
∴该输水管的半径为5m．
故答案是：5．
【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理，准确计算是解题的关键．
37．
【分析】连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，点C、D三等分半圆弧，可知是等边三角形，从而可以证得CD∥AB，所以和的面积相等，利用30°所对的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得面积．
解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，
∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、30°所对的直角三角形的性质和勾股定理．
38．34.5
【分析】根据圆的内切四边形，对角互补，求出，再利用三角形全等的判定定理及性质，证明三角形为等腰三角形，最后根据性质可求解．
解：，
连接，且交于点，如下图：
为等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
故答案是：．
【点拨】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定定理及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解题的关键是：熟练掌握以上相关的性质．
39．
【分析】连接AC，确定弧AB所在圆的圆心O的位置，过点O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E，先求出OA的长，从而求出EF的长，再推出当点P运动到点E的位置时，三角形APB的面积最大，据此求解即可．
解：连接AC，确定弧AB所在圆的圆心O的位置，过点O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E，
由图可知，
∴，
∴，
∵要使△APB的面积最大，即点P到AB的距离要最大，
∴当点P运动到点E的位置时，三角形APB的面积最大，
∴此时，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形面积，正确确定出圆心位置是解题的位置．
40．4.
【分析】根据垂径定理得到AD＝DC，由等腰三角形的性质得到AB＝2OD＝2×2＝4，得到∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝×90°＝45°，求得∠ABD＝∠ADB＝45°，求得AD＝AB＝4，于是得到DC＝AD＝4，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵BO＝CO，
∴AB＝2OD＝2×2＝4，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠COE＝90°，
∴，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝×90°＝45°，
∵EA⊥BD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝4，
∴DC＝AD＝4，
∴AC＝8，
∴BC＝＝＝4．
故答案为4．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
41．1
【分析】连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可．
解：连接、，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：1．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
42．
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
43．120°
【分析】由∠ACB=60°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．
解：∵点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°．
故答案为120°．
【点拨】此题考查了圆周角定理．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
44．2：3．
解：已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，根据相交弦定理得到AE•BE=CE•DE，所以AE：DE=CE：BE=2：3.
考点：相交弦定理.
45．40
【分析】若要利用∠BAD的度数，需构建与其相等的圆周角；连接BD，由圆周角定理可知∠ACD=∠ABD，在Rt△ABD中，求出∠ABD的度数即可得答案．
解：连接BD，如图，
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACD=∠ABD=40°，
故答案为40．
【点拨】本题考查了圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角相等；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，正确添加辅助线是解题的关键.
46．
解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=120°﹣90°=30°．
∴∠CBD=∠CAD=30°.
又∵∠BAC=120°，
∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°.
∵AB=AC，
∴∠ADB=∠ADC.
∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°.
∵AD=6，
∴在Rt△ABD中，.
在Rt△BCD中，.
47．144
解：连接OE，
∵∠ACB=90°，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，
∴点E，A，B，C共圆，
∵∠ACE=3°×24=72°，∴∠AOE=2∠ACE=144°，
∴点E在量角器上对应的读数是：144°，
故答案为144.
48．8
【分析】连接AD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．
解：连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD=5．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB==10．
∵AC=6，
∴BC==8．
故答案为：8．
【点拨】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
49．
【分析】根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴AB=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查圆周角定理、三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
50．27°
【分析】根据菱形的性质、圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA（180°﹣78°）＝51°，
∵AD∥BC，
∴∠ACE＝∠DAC＝51°，
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC＝180°﹣78°＝102°，
∴∠EAC＝180°﹣102°﹣51°＝27°，
故答案：27°．
【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
51．（3，2）．
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．
解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，
∴OD=OA=3，
在Rt△OPD中 ∵OP= OD=3，
∴PD=2
∴P(3，2) .
故答案为（3，2）．
【点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
52．3
【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
解：因为点M、N分别是AB、BC的中点，
由三角形的中位线可知：MN=AC，
所以当AC最大为直径时，MN最大．这时∠B=90°
又因为∠ACB=45°，AB=6 解得AC=6
MN长的最大值是3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
53．(1)见分析(2)AC＝2OE
【分析】（1）过点O作OE⊥BC即可．
（2）利用三角形中位线定理证明即可．
解：(1)如图所示，点E即为所求的点．
(2)结论：AC＝2OE．
理由：由作图得：OE⊥BC
∴BE=CE，即点E为BC的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴AC＝2OC．
【点拨】本题考查作图-应用与设计作图，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，灵活运用所学知识解决问题．
54．(1)证明见分析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE
【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；
（2）①先由C、D是的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；
②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得，OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得，，再比较即可得出结论；
解：∵DEOC，
∴∠COD=∠ODE，
∵OC=OD，OF=DE，
∴△OCF≌△DOE(SAS)；
解：①∵C、D是的三等分点，∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，
∵△OCF≌△DOE，
∴∠OCF=∠DOE=30°，
∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，
∴∠OGC=90°．
②∵，
∴，
又∵∠DOE=30°，
∴OF=2，
∵∠OCF=∠COF=30°，
∴CF=OF，
∵△OCF≌△DOE，
∴OE=CF=OF=2，
∴，，
∵，
∴BE＞GE．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，进而求得∠OGC=90°是解题词的关键．
55．(1)见分析(2)
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF＝3，OF＝2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF，进而得到BC．
（1）解：如图，AE为所作；
（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴，
∴OE⊥BC，
∴EF＝3，
∴OF＝5−3＝2，
在Rt△OCF中，CF＝，
∴BC＝2CF＝．
【点拨】本题考查了尺规作图，圆周角定理，垂径定理以及勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，灵活运用各性质进行求解．
56．(1)见分析；(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠CAF=∠F，再由圆周角定理即可证明；
（2）过点C作CG⊥AF于点G，根据等腰三角形的性质可得AG=FG，然后根据勾股定理列出方程求解即可．
(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CF=AC，
∴∠CAF=∠F，
∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，
∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACD，
∴CD=AD；
(2)如图，过点C作CG⊥AF于点G，
∵AC=CF=AB=2，
∴AG=FG，
在Rt∆ACG中，根据勾股定理可得：
，
在Rt∆DCG中，根据勾股定理可得：
，
∴，
由（1）知：CD=AD=，
∴AG=AD+DG=+DG，
∴8-3=，
解得：，
∴AG=，
∴FD=，
∴FD的长为．
【点拨】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理等知识点，熟练运用这些知识点是解题关键．