人教版九年级数学上册 24.26 切线长定理（巩固篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学上册 24.26 切线长定理（巩固篇）（专项练习），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ）
A．12B．14C．16D．18
2．如图，与的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若，，则OC的长为（ ）
A．8B．C．D．
3．如图，在中，,于D，⊙O为的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．3B．4
C．D．
5．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，∠C＝65°，点D是的中点，则∠OAD的大小为（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
7．如图，点A，B，C，D都在半径为2的上，若直径，则弦的长为（ ）
A．4B．C．D．
8．如图，已知切于点，点在上，且，连结并延长交于点，的半径为2，设，
①当m=时，是等腰直角三角形；
②若，则；
③当时，与相切．以上列选项正确的有（ ）
A．②B．③C．②③D．①③
9．如图，经过A、C两点的⊙O与△ABC的边BC相切，与边AB交于点D，若∠ADC＝105°，BC＝CD＝3，则AD的值为（ ）
A．3B．2C．D．
10．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．3
二、填空题
11．如图，PA，PB是的切线，A，B为切点．若，则的大小为______．
12．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，若∠BDE+∠CFE=110°，则∠A的度数是________．
13．如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，⊙M是的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则的最小值是______．
14．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝__．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则
（1）______；
（2）点I关于x轴对称的点的坐标是______．
16．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝_____°．
17．如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若上总存在点，使过所作的的两切线互相垂直，则的最大值等于__．
18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AMN周长的最小值为________．
三、解答题
19．已知的三边长分别为，Ⅰ为的内心，且Ⅰ在的边上的射影分别为．
（1）若，求内切圆半径r；
（2）求证：．
20．已知关于x的方程x2﹣（k＋1）x＋k2＋1＝0的两根是一个直角三角形两直角边的长．
（1）k取何值时，方程有两个实数根；
（2）若直角三角形的内切圆半径为，求k值．
21．如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点D作的切线交BC的延长线于点E，交BA的延长线于点F，且，过点A作的切线交EF于点G，连接AC．
(1) 求证：AD平分；
(2) 若AD=5，AB=9，求线段DE的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
(1) 求证：FD是圆O的切线；
(2) 若BC=4，FB=8，求AB的长．
23．在中，弦与直径相交于点P，．
(1)如图①，若，求和的大小；
(2)如图②，若，过点D作的切线，与的延长线相交于点E，求的大小．
24．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．
(1)如图1，∠E是中∠A的“好角”，若，则______；（用含的代数式表示）
(2)如图2，四边形ABCD内接于，点D是优弧ACB的中点，直径弦AC，BF、CD的延长线于点G，延长BC到点E．求证：∠BGC是中∠BAC的“好角”．
(3)如图3，内接于，∠BGC是中∠A的“好角”，BG过圆心O交于点F，的直径为8，，求FG．
参考答案
1．B
【分析】
⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD=CF=1，根据切线长定理得出AD=AE，BE=BF，CF=CD，求出AD+BF=AE+BE=AB=6，即可求出答案．
解：如图，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD=CF=1，
由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，
∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，
∴AB=6=AE+BE=BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14，
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．
2．C
【分析】
如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°，∠COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．
解：如图所示，连接CP，
∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，
∴∠CPO=90°，∠COP=45°，
∴∠PCO=∠COP=45°，
∴CP=OP=4，
∴，
故选C．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．
3．B
【分析】
分别与的三边切于，，，连接，利用求出，进一步得出结论．
解：如图，令分别与的三边切于，，，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故选：B．
【点拨】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，解答的关键是，充分利用已知条件将问题转化为求几个三角形面积的和．
4．C
【分析】
延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长．
解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点，
∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上，
∴DF=DE，OF⊥DC，
∴GF⊥DC，
∴OG⊥AB，
∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径．
在等腰直角三角形DEH中，DE=2，
∴EH=DH==AE．
∴AD=AE+DE=+2．
故选C．
【点拨】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
5．D
【分析】
根据点是的内心，可得，故①正确；连接BE，CE，可得∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），从而得到∠CBE+∠BCE=60°，进而得到∠BEC=120°，故②正确； ，得出，再由点为的中点，则成立，故③正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到∠DBE=∠BED，故④正确；即可求解．
解：∵点是的内心，
∴，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵点是的内心，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，
∴∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BCE=60°，
∴∠BEC=120°，故②正确；
∵点是的内心，
∴，
∴,
∵点为的中点，
∴线段AD经过圆心O，
∴成立，故③正确；
∵点是的内心，
∴，
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，
∴，
∴∠DBE=∠BED，
∴，故④正确；
∴正确的有4个．
故选：D
【点拨】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．
6．B
【分析】
连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠OAB的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠BAD，结合图形计算，得到答案．
解：连接OB，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=130°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=×（180°-130°）=25°，
∵∠ABC=45°，∠C=65°，
∴∠BAC=180°-45°-65°=70°，
∵点D是的中点，
∴∠BAD=∠CAD=35°，
∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=10°，
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．
7．D
【分析】
交BC于点E，连接OC，由题意得，根据三角形内角和定理得，即，可得，根据直角三角形的性质得，在中，根据勾股定理得，根据垂径定理即可得．
解：如图所示，令交BC于点E，连接OC，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴,
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∵直径，
∴，
即，
故选：D．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握这些知识点．
8．C
【分析】
根据题目所给条件，结合圆的性质，证明即可判断①③，根据等腰直角三角形的性质并结合圆的性质，应用勾股定理即可判断②
解：如图，连接TB、OA，TB、OA相较于点G
当时，则
∴
∴OA垂直平分TB
∴
又∵与相切
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴与相切
则①错误；③正确；
当时，
∵与相切
作，则
故②正确；
故选：C
【点拨】本题主要考查圆的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，掌握以上知识，并正确做出辅助线是解题的关键．
9．A
【分析】
连接OC、OD，作于点E．易求出，．再由切线的性质，即可求出，即三角形OCD为等边三角形．得出结论，．从而即可求出，即三角形OED为等腰直角三角形，由此即可求出的长，最后根据垂径定理即可求出AD的长．
解：如图，连接OC、OD，作于点E．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
由题意可知，即，
∴，
∵OD=OC，
∴三角形OCD为等边三角形．
∴，．
∴，
∴三角形OED为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：A．
【点拨】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．
10．B
【分析】
连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD＝BD＝2，于是根据勾股定理可计算出OD＝1，再利用折叠的性质可判断和所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC＝DC，利用等腰三角形的性质得AE＝DE＝1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF＝EF＝1，然后计算出CF后得到CE＝BE＝3，于是可得到BC的长．
解：如图，连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△OBD中，OD＝，
∵将沿BC折叠，
∴和所在的圆为等圆，
∴，
∴AC＝DC，
∴AE＝DE＝1，
∵∠ODE＝∠OFE＝∠DEF＝90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∵DE＝OD＝1，
∴四边形ODEF是正方形，
∴OF＝EF＝1，
在Rt△OCF中，CF＝，
∴CE＝CF＋EF＝2＋1＝3，
而BE＝BD＋DE＝2＋1＝3，
∴BC＝．
故选：B．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理及正方形的判定和性质等．
11．60°##60度
【分析】
先由切线的性质及切线长定理求出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
解： PA，PB是的切线，A，B为切点




故答案为：60°．
【点拨】本题考查了切线的性质及切线长定理、直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．40
【分析】
根据切线长定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理推出∠BDE+∠BED+∠B=180°，∠CFE+∠CEF+∠C=180°，得到2(∠BDE+∠CFE)+∠B+∠C=360°，据此求解即可．
解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，
∴BD=BE，CE=CF，
∴∠BDE=∠BED，∠CFE=∠CEF，
∵∠BDE+∠BED+∠B=180°，∠CFE+∠CEF+∠C=180°，
即2∠BDE+∠B=180°，2∠CFE+∠C=180°，
∴2(∠BDE+∠CFE)+∠B+∠C=360°，
∵∠BDE+∠CFE=110°，
∴2×110°+∠B+∠C=360°，
∴∠B+∠C=140°，
∴∠A=180°-(∠B+∠C)= 40°．
故答案为：40．
【点拨】本题考查了切线长定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
13．4
【分析】
作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，此时BP+PN取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式分析计算．
解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，
过点M作MQ⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ，
∵点B与点B′关于x轴对称，
∴PB+PN=PB′+PN，
当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值．
在Rt△ABC中，AC==5，
由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r，
∴S△AOC=（3r+4r+5r）=×3×4，
解得r=1，
∴ME=MN=1，
∴QB′=4-1=3，QM=3+1=4，
∴MB′=5，
∴PB′+PN=5-1=4，
即PB+PN最小值为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，三角形内切圆，理解“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题关键．
14．62°
【分析】
先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．
解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，
∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，
∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，
∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，
∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．
故答案为：62°．
【点拨】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键．
15． 10 （2，-2）
【分析】
（1）利用勾股定理解答即可；
（2）根据I是的内心，利用OM=ON，BM=BE，AE=AN，得出AE+BE=6-x+8-x=10，求解即可．
解：（1）∵点，点，
∴OA=6，OB=8，
在Rt△OAB中，
AB=；
（2）连接OI，BI，AI，过I作IM⊥OB，IN⊥OA，IE⊥AB，
∵I是的内心，
∴OM=ON，BM=BE，AE=AN，
设OM=ON=x，则BM=BE=8-x，AN=AE=6-x，
∴AE+BE=6-x+8-x=10，
解得：x=OM=ON=2，
∴I的坐标为（2，2），
∴点I关于x轴对称的点的坐标是（2，-2）．
【点拨】本题考查了勾股定理及三角形的内心，解题的关键是灵活运用性质解决实际问题．
16．55
【分析】
由三角形的内心的性质可得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得∠BID＝∠DBI，由三角形内角和定理可求解．
解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠DBI，
∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝70°，
∴∠BID＝∠DBI＝＝55°
故答案为：55．
【点拨】本题考查了三角形的内切圆与圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明∠BID=∠DBI是本题的关键．
17．
【分析】
根据切线的性质和已知条件先证得四边形PMON是正方形，从而求得，以O为圆心，以长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，作出图形，根据切线的性质得出OP⊥PC，根据勾股定理求得PC的长，从而证得△OPC是等腰直角三角形，即可证得∠ACP的最大值为45°．
解：、是过所作的的两切线且互相垂直，
，
四边形是正方形，
根据勾股定理求得，
点在以为圆心，以长为半径作大圆上，
以为圆心，以长为半径作大圆，然后过点作大的切线，切点即为点，此时有最大值，如图所示，
是大圆的切线，
，
，，
，
，
，
的最大值等于，
故答案为．
【点拨】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是求得P点的位置．
18．4
【分析】
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．
19．（1）1；（2）见分析
【分析】
（1）先得到△ABC为直角三角形，再根据面积相等求出△ABC内切圆的半径；
（2）利用切线的判定与性质以及切线长定理得出AF=AE，BF=BD，CD=EC，进而求出即可．
解：（1）∵，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC内切圆的半径为，由△ABC的面积可得：
=，
即=，
解得：r=1，
∴△ABC的内切圆半径为1；
（2）∵I为△ABC的内心，且I在△ABC的边BC，AC，AB上的射影分别为D，E，F，
∴D、E、F分别是⊙I的三边切点，
∴AF=AE，BF=BD，CD=EC，
设AE=AF=x，则EC=b-x，BF=c-x，
故BC=a=b-x+c-x，
整理得出：x=，
即AE=AF=．
【点拨】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，利用切线长定理得出是解题关键．
20．（1）k≥；（2）．
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个正实数根，则判别式△，且两根的和与积都是正数，得出关于的不等式组，求出的取值范围．
（2）根据切线性质得出直角三角形的内切圆半径与直角三角形三边的关系：，再结合勾股定理和根与系数的关系可求的值．
解：（1）设方程的两根为，，
则△，
方程有两个实数根，
△，即，
综上可知，
当，方程有两个实数根；
（2）如图，设直角三角形两直角边为BC=a，AC=b，斜边为AB=c，其内切圆半径，
∵AB、AC、BC是圆的切线，
∴，
又∵，，
∴四边形OECF是正方形，
∴，
又∵，，
∴，即，
∵，
∴，即：
又∵，
∴，
化简得：，
又，，
∴，
解得，（舍去），
的值为．
【点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心，根的判别式，根与系数的关系，解决本题的关键是首先利用判别式是非负数确定k的取值范围，然后利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理以及内切圆的半径公式，把问题转化为解方程求得的值．
21．(1)见分析(2)
【分析】
（1）根据切线长定理得到GA＝GD，则∠GAD＝∠GDA，根据圆周角定理推出AC∥DE，则∠CAD＝∠GDA，进而得到∠GAD＝∠CAD，据此即可得解；
（2）连接OD，交AC于点H，根据切线的性质、平行线的性质推出OH是△ABC的中位线，AH＝CH＝AC，则OH＝BC，设OH＝x，则DH＝−x，BC＝2x，解直角三角形得到AH＝，根据矩形的性质即可得解．
(1)证明：∵GA、GD是⊙O的切线，
∴GA＝GD，
∴∠GAD＝∠GDA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BE，
∵DE⊥BE，
∴AC∥DE，
∴∠CAD＝∠GDA，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴AD平分∠GAC；
(2)解：连接OD，交AC于点H，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
由（1）知，AC∥DE，
∴OD⊥AC，
∴AH＝CH＝AC，∠AHD＝∠CHD＝90°，
∵OA＝OB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH＝BC，
∵AB＝9，
∴OD＝，
设OH＝x，则DH＝−x，BC＝2x，
∴，
∴，
∴，
∵，AD＝5，
∴，
∴x＝，
∴AH＝，
∵∠HCE＝180°−∠ACB＝90°＝∠ODE＝∠CHD，
∴四边形CHDE是矩形，
∴DE＝CH＝AH＝．
【点拨】此题考查了切线长定理、切线的判定与性质，熟记切线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
22．(1)见分析(2)
【分析】
（1）连接，，根据直径所对的圆周角是直角，可得根据直角三角形斜边上的中线可得，进而根据，等量代换可得，即可证明FD是圆O的切线；
（2）利用勾股定理求得的长，进而根据切线长定理求得，即可求得，在中，勾股定理建立方程求得半径，进而求得的长．
解：(1)连接，，
是的直径，
．
．
．
是的中点，
．
．
，
．
．
即．
是半径，
是圆O的切线；
(2)如图，连接，
为的中点，BC=4，FB=8，
，是的切线，
是的切线，
．
在中，，
，
，
设的半径为，则，
在中，，
，
即，
解得，
．
【点拨】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理解直角三角形，切线长定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
23．(1)；(2)58°
【分析】
（1）由同弧所对圆周角相等求得，进而求得；连接AC，求得，进而由同弧所对的圆周角相等求得．
（2）连接OD，求得，进而求得其所对圆心角，再由三角心外角和内角的关系求得．
(1)解：∵
∴
∴
如图，连接AC，∵AB为直径
∴
∴
∵
∴
(2)解：如图，连接OD
∵
∴
∴
∵在中，
∴
∵是的切线
∴即
∴.
【点拨】本题考查圆与三角形的综合问题，熟练掌握三角形和圆的相关性质定理是解题的关键．
24．(1)α(2)见分析(3)FG＝4
【分析】
（1）根据角平分线的性质以及三角形外角定理，可知∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠ECD-∠EBC=-，由此可知∠E==α；
（2）根据圆内接四边形的性质可知∠DCB＋∠BAD＝180°，可知∠BAD＝∠DCE，根据圆周角的定理可知∠ACD＝∠DCE，进而证得∠ABF＝∠CBF，根据“好角”的定义即可得出结论；
（3）连接CF，根据“好角”的定义可知∠G＝∠A，即∠G＝∠BFC，由外角定理可知∠G＝∠GCF，可知FG＝CF，利用三角函数求得CF即可求得结果．
(1)解：由题意得，∠ABE=∠CBE=，∠ACE=∠ECD=，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠ECD-∠EBC=-，
∴∠E==α；
(2)如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCB＋∠BAD＝180°，
又∵∠DCB＋∠DCE＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
∵点D是优弧ACB的中点，
∴，
∴∠ACD＝∠BAD，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CG是△ABC的外角平分线，
∵直径BF⊥弦AC，
∴，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴BG是∠ABC的平分线，
∴∠BGC是△ABC中∠BAC的“好角”；
(3)如图3，连接CF，
∵∠A＝45° ，
∴∠BFC＝45°．
∵BG过圆心O ，
∴∠BCF＝90°．
∵∠BGC是△ABC中∠A的“好角” ，
∴∠G＝∠A，
∵ ∠A＝∠BFC；
∴∠G＝∠BFC，
∴∠G＝∠GCF ，
∴FG＝CF，
∵cs∠BFC＝，
∴CF＝cs45°×BF＝×8＝4，
∴FG＝4．
【点拨】本题考查的是圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆周角定理、三角形外角性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．