专题22.7 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题22.7 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象与性质（知识讲解）

【学习目标】

1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；

2．会用描点法画出二次函数的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；

3．掌握二次函数的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；（上加下减）.

【要点梳理】

一、y=ax2+c（a≠0）的性质：

形如y=ax2+c（a≠0）的二次函数，它的图像的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，c），c的符号决定抛物线由y=ax2上下平移，简单的说，就是“上加下减”。

二、解读y=ax2+c（a≠0）：

（1）函数y=ax2+c（a，c是常数，a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，c）；

（2）抛物线y=ax2+c（a，c是常数，a≠0）可以看作是由抛物线y=ax2(a是常数且a≠0)向上或向下平移∣c∣个单位而得到的。当c＞0时，将抛物线y=ax2(a是常数且a≠0)向上平移c个单位；当c＜0时，将抛物线y=ax2(a是常数且a≠0)向下平移∣c∣个单位。

（3）实际上在a相等的情况下，二次函数y=ax2+c（a，c是常数，a≠0）的图像与二次函数y=ax2(a是常数且a≠0)的图像形状、开口方向、对称轴等完全相同，只不过位置发生了变化，顶点坐标由（0，0）变成了（0，c）。

（4）在几条抛物线的表达式中，若∣a∣相等，则形状相同；若a相等，则其开口方向及形状均相同；若a互为相反数，则其形状相同、开口方向相反。

三、巧记：如果要画抛物线，平移或者去描点，两条途径任您选；

列表描点后连线，平移规律记心间，c正向上负向下。

【典型例题】

类型一、

1．已知：二次函数y＝x2﹣1．

(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

(2)画出它的图象．

【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．

(2)图像见分析．

【分析】

（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；

（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．

(1)解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，

∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；

(2)解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．

解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；

令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；

又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，

再求出关于对称轴对称的两个点，

将上述点列表如下：

描点可画出其图象如图所示：

【点拨】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．

举一反三：

【变式1】若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（       ）

A．都关于轴对称 B．开口方向相同

C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到

【答案】A

解：因为，，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确；

抛物线，的图象开口向上，抛物线的图象开口向下，故选项B错误；

抛物线，的图象不经过原点，故选项C错误；

因为抛物线，，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D选项错误；

故选A.

【变式2】 通过_______法画出和的图像：

通过图像可知：

的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．

的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．

【答案】     描点     向上     y轴          向上     y轴    

【分析】根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，对称轴，顶点坐标即可．

解：通过描点法画出和的图像，

通过图像可知：

的开口方向向上，对称轴为轴，顶点坐标为，

的开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标，

故答案为：描点；向上；y轴；；向上；y轴；．

【点拨】本题考查了画函数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的图像是解本题的关键．

类型二、

2．已知函数是关于x的二次函数．

（1）满足条件的m的值；

（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？

（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？

【答案】（1）m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小

【分析】

（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案；

（2）利用二次函数的性质得出m的值；

（3）利用二次函数的性质得出m的值.

解：（1）∵函数是关于x的二次函数，

∴m2+m﹣4=2，

解得：m1=2，m2=﹣3；

（2）当m=2时，抛物线有最低点，

此时y=4x2+1，

则最低点为：（0，1），

由于抛物线的对称轴为y轴，

故当x＞0时，y随x的增大而增大；

（3）当m=﹣3时，函数有最大值，

此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，

由于抛物线的对称轴为y轴，

故当x＞0时，y随x的增大而减小．

【点拨】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答本题的关键．

举一反三：

【变式1】已知点(，)，(，)(两点不重合)均在抛物线上，则下列说法正确的是(       )．

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】利用二次函数的性质即可一一判断；

解：画出的图象，对称轴为，

A、若，则；故A错误；

B、若，则；故B错误；

C、若，则；故C错误；

D、若，则；故D正确；

故选：D．

【点拨】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．

【变式2】 已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y轴，所以当x≥0时，y随x的增大而增大．

解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0，

∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴，

∴当x≥0时，y随x的增大而增大．

故答案为：．

【点拨】本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a有关；③对称轴是y轴；④顶点（0，b）．

类型三、

3．已知二次函数y＝ax2+b的图象与直线y＝x+2相交于点A（1，m），点B（n，0）．

（1）求二次函数的解析式，并写出该拋物线的对称轴和顶点坐标；

（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；

（3）画出这两个函数的图象，并结合图象直接写出ax2+b＞x+2时x的取值范围．

【答案】（1）对称轴为x＝0，顶点为（0，4）；（2）见分析；（3）见分析，﹣2＜x＜1．

【分析】

（1）求出A、B的坐标，利用待定系数法联立方程组即可求二次函数的解析式；

（2）利用描点法画出函数解析式；

（3）将二次函数与一次函数同时画在一个坐标系内，由图象即可求解．

解：（1）将点A（1，m）、点B（n，0）代入直线y=x+2，∴m=3，n=﹣2，∴点A（1，3），点B（﹣2，0），将点A、B分别代入二次函数y=ax2+b，得到，∴，∴y=﹣x2+4，∴对称轴为x=0，顶点为（0，4）；

（2）

画图见分析：

（3）如图，由图象可得ax2+b＞x+2时，﹣2＜x＜1．

【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的方法，画出正确的函数图象，数形结合解题是关键．

举一反三：

【变式1】函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）

A．  B．  C． D．

【答案】D

【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．

解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）

A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；       

B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；       

C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；       

D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；       

故选D．

【点拨】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．

【变式2】如图，抛物线y=-x2+2．将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作C1，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作C2，C1和C2构成的图形记作C3．关于图形C3，给出如下四个结论：①图形C3关于y轴成轴对称；② 图形C3有最小值，且最小值为0；③ 当x>0时，图形C3的函数值都是随着x的增大而增大的；④ 当-2≤x≤2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．

【答案】①②④

【分析】画出图象C3，根据图象即可判断．

解：如图所示，

①图形C3关于y轴成轴对称，故正确；

②由图象可知，图形C3有最小值，且最小值为0；，故正确；

③当x>0时，图形C3与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形C3与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误；

④当-2≤x≤2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确；

故答案为：①②④．

【点拨】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．

类型四、

4．已知抛物线过点和点．

（1）求这个函数的关系式；

（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大．

【答案】（1）；（2）当时，函数随的增大而增大

【分析】

（1）根据待定系数法即可求解；

（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．

解：（1）∵抛物线过点和点，

，解得

∴这个函数得关系式为：．

（2）∵二次函数开口向下，对称轴为x=0，

∴当时，函数随的增大而增大．

【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．

举一反三：

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+m的图象经过边长为的正方形ABCD的三个顶点A、B、C，则m的值为（　　）

A． B．2 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出点A的坐标即可．

解：∵四边形是正方形，

∴是等腰直角三角形，

在等腰中，

，则，即．

代入二次函数y＝﹣x2+m得，

，

故选：D．

【点拨】本题考查了正方形的性质和求二次函数解析式，解题关键是熟练运用正方形的性质求出点的坐标．

【变式2】写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________________________．

【答案】

【分析】根据开口方向与抛物线的方向相反，形状相同可得，再利用顶点坐标即可写出解析式．

解：∵抛物线与的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）

∴设抛物线解析式为：，

代入顶点坐标（0，-3）得：

∴解析式为

故答案为．

【点拨】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题的关键．

类型五、

5．已知二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B，C(B点在C点左侧)．

(1)  求B，C两点的坐标；

(2)  求△ABC的面积．

【答案】(1) B点的坐标为(－1，0)，C点的坐标为(1，0)(2) 1

解：【试题分析】（1）根据二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y轴对称，一次项系数为0，易得m=1；从而得y＝－x2＋1.当y=0时，有－x2＋1＝0，解得x1＝－1，x2＝1，即B点的坐标为(－1，0)，C点的坐标为(1，0)．

（2）先求出顶点坐标，再求S△ABC.

【试题解析】

(1)由二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y轴对称，得m－1＝0，解得m＝1，则2m－m2＝1.故函数的表达式为y＝－x2＋1.当y＝0时，有－x2＋1＝0，解得x1＝－1，x2＝1，即B点的坐标为(－1，0)，C点的坐标为(1，0)．

(2)当x＝0时，y＝1，即A点的坐标为(0，1)，

故S△ABC＝×2×1＝1.

举一反三：

【变式1】如图，矩形纸片ABCD中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分线，交AB于点E．设BP=x， BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（       ）

A．B．C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，连接DE，因为△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；又PE为∠BPC′的角平分线，可推知∠EPD=90°，又因为BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，分别用x和y表示出PD和EP和DE，在Rt△PED中利用勾股定理，即可得出一个关于x和y的关系式，化简即可．

解：连接DE，

△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；

又因为PE为∠BPC′的角平分线，

可推知∠EPD=90°，

已知BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，

即在Rt△PCD中，PC=4-x，DC=3．即PD2=(4-x)2+9；

在Rt△EBP中，BP=x，BE=y，故PE2=x2+y2；

在Rt△ADE中，AE=3-y，AD=4，故DE2=(3-y)2+16，

在Rt△PDE中，PE2+PD2=DE2，

即x2+y2+(4-x)2+9=(3-y)2+16，

化简得：y=-x2+x(0)，图象是一段开口向下的抛物线；

结合题意，只有选项D符合题意．

故选：D．

【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

【变式2】如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____．

【答案】2

【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．

解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，

当点P在x轴上方时，∴x2-1>0,

∴PH=|x2-1|=x2-1，

在Rt△OHP中，由勾股定理，得

OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，

∴OP=x2+1，

∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，

故答案为：2．

【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．