22.1.3 二次函数y = a(x - h) 2 +k的图像和性质（题型专攻）-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版（解析+原卷））

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2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
22.1.3 二次函数y = a(x - h) 2 +k的图像和性质

题型导航


二
次
函
数

顶点坐标
题型1
对称轴
题型2
增减性
题型3
最值
题型4
根据二次函数的图像和性质求参数
题型5



题型变式

【题型1】顶点坐标
1．（2022·浙江温州·九年级期末）抛物线的顶点坐标是_________
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可．
【详解】
∵抛物线的解析式是，
∴它的顶点坐标是．
故答案是：．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，熟记抛物线的顶点坐标是，是解本题的关键．

【变式1-1】
2．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线上的顶点坐标为______．
【答案】(2,-8)
【解析】
【分析】
运用配方法将抛物线化成顶点式，即可求顶点坐标．
【详解】
解：利用配方法，
所以顶点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查求抛物线的顶点坐标，掌握求抛物线顶点坐标的方法是解题的关键．

【题型2】对称轴
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校二模）抛物线的对称轴是直线______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数解析式判断即可；
【详解】
∵二次函数解析式为，
∴对称轴是直线；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的顶点式，准确分析判断是解题的关键．

【变式2-1】
2．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）请写出一个函数表达式，使其开口向下，图象的对称轴为直线∶______．
【答案】y=-（x+1）2
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质得到a<0，利用顶点式解析式即可得到答案．
【详解】
解：∵图象的开口向下，故a<0，取a=-1，
∵图象的对称轴为直线，
∴函数的解析式为y=-（x+1）2，
故答案为：y=-（x+1）2．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，顶点式解析式的构成特点，正确理解二次函数的性质是解题的关键．

【题型3】增减性
1．（2022·河南南阳·一模）若点、、都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是______________．（用“>”连接）
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=1，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】
解：∵y=−(x−1)2+3，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
关于直线x=1的对称点是(3，y3)，
∵1<2<3，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．

【变式3-1】
2．（2022·广西河池·九年级期末）当时，函数的函数值随的增大而减小，的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的解析式判定函数图象的开口方向，和顶点坐标，从而确定单调区间即可．
【详解】
∵函数的二次项系数为2＞0，
∴该二次函数的开口方向向上，
又∵函数的顶点坐标为（-m，1），
∴该二次函数图象x＜-m时，函数值y随着x的增大而减小，
∵当x＜-1时，函数值y随着x的增大而减小，
∴-m≥-1，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

【题型4】最值
1．（2022·江苏盐城·九年级期末）二次函数最大值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据抛物线开口向下及顶点坐标求解．
【详解】
解：∵抛物线y=-（x-1）2+3开口向下，顶点坐标为（1，3），
∴当x=1时，y取最大值为3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．

【变式4-1】
2．（2022·宁夏固原·九年级期末）二次函数的最大值是________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
二次函数的顶点式y=a(x−h)2+b在x=h时有最值，a>0时有最小值为b，a<0时有最大值为b，即可得出答案．
【详解】
解：∵a=−1<0，
∴y有最大值，
当时，y有最大值为-3．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键．

【题型5】根据二次函数的图像和性质求参数
1．（2022·江西南昌·二模）已知抛物线过不同的两点，，则当点在该函数图象上时，m的值为（       ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由都在抛物线上，得到，进而得到由也在抛物线上，代入化简得到，解出即可得出结果．
【详解】
解：，都在抛物线上，
，
，
，
，
是不同的两个点，
，
，
，
在抛物线的图象上，
，
，
，
，
，
或．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了点在抛物线图象上，即点的坐标满足函数解析式，理解好题意是解此题的关键．

【变式5-1】
2．（2022·湖南长沙·九年级期末）二次函数y＝-(x-1)2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为___________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为5m为负数，最大值为5n为正数．将最大值为5n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【详解】
二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：

①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣4，
当x=n时y取最大值，即5n=﹣（n﹣1）2+5， 解得：n=-4或n=1（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣4，
当x=1时y取最大值，即5n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=1，
或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，
5m=-（n-1）2+5，n=1，
∴m=1，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=﹣4+1=-3．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查二次函数的最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，数形结合是解题的关键．



专项训练

一．选择题
1．（2018·湖南岳阳·中考真题）抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.
【详解】
∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知一抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相同且顶点坐标为（-1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相同，可得，再由顶点坐标为（-1，2021），即可求解．
【详解】
解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相同且顶点坐标为（-1，2021），
∴该抛物线对应的函数表达式为．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
3．（2021·全国·九年级专题练习）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤2或m≥3 B．m≤3或m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
【答案】B
【解析】
【分析】
把A（4，4）代入抛物线y=ax2+bx+3得4a+b=，根据对称轴x=-，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0 【详解】
把A(4,4)代入抛物线y=ax2+bx+3得：
16a+4b+3=4，
∴16a+4b=1，
∴4a+b=，
∵对称轴x=−,B(2,m)，且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0 ∴0<|2−(−)|≤1
∴0<||≤1，
∴||≤1，
∴a≥或a≤−，
把B(2,m)代入y=ax2+bx+3得：4a+2b+3=m，
2(2a+b)+3=m，
2(2a+−4a)+3=m，
−4a=m，
a=-，
∴-≥或-≤-，
∴m≤3或m≥4.
故答案选：B.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
4．（2015·山东泰安·中考真题）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（                 ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象．
5．（2021·全国·九年级课时练习）关于二次函数y＝(x+1)2的图象，下列说法正确的是(       )
A．开口向下 B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是(﹣1，0)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质由a=得到图象开口向上，将x=0代入求出相应的y值即可判断是否经过原点，由抛物线的性质可判断对称轴右侧图象的变化情况，根据顶点式即可得到顶点坐标，由此即可得答案.
【详解】
二次函数y＝(x+1)2中a=>0，所以抛物线开口向上，
当x=0时，y=，所以图象不经过原点，
因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧的部分是上升的，
由解析式可知顶点坐标为(-1，0)，
所以选项A、B、C是错误的，D是正确的，
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，牢记其y=a(x-h)2+k的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．当a＞0时，抛物线的开口向上，当a＜0时，抛物线(a≠0)的开口向下．
6．（2021·浙江·温州市南浦实验中学一模）在平面直角坐标系中，当a＜﹣4时，抛物线y＝a（x﹣2）2+7与直线y＝2x+1上的三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m）总有x1+x2+x3＞6，则m的值可以是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意在x1，x2，x3中有两个点在抛物线上，根据对称轴公式，求出这两个根的和，再x1+x2+x3＞6即可得出x3＞2，有m=2x3+1，得出x3，即可得出关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】
解：∵点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m）中有两个点在抛物线上，不妨取A、B在抛物线上，
∴2，∴x1+x2＝4，
∵x1+x2+x3＞6，
∴x3＞6﹣4＝2，
又∵m＝2x3+1，
∴x3，
∴2，
∴m＞5，
∵a＜﹣4，
∴抛物线开口向下，有最大值7，
∴m＜7，
∴m的值可以是6，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的图象与性质，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．

二、填空题
7．（2022·湖北十堰·九年级期末）抛物线的对称轴是__________________．
【答案】直线x＝1
【解析】
【分析】
直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．
【详解】
解：∵由抛物线可知，其顶点坐标为（1，-2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
故答案是：直线x＝1．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
8．（2018·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为_____．
【答案】（﹣2，4）．
【解析】
【详解】
分析：根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
详解：∵y=2（x+2）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（-2，4），
故答案为（-2，4）．
点睛：本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
9．（2020·全国·九年级课时练习）已知二次函数，如果，那么随的增大而__________．
【答案】增大
【解析】
【分析】
由二次函数解析式可求得其对称轴，结合二次函数的增减性可求得答案．
【详解】
∵y=2（x+2）2，
∴抛物线开口向上，且对称轴为x=-2，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴当x＞-2时，y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【解答】
解：
【点评】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
10．（2022·广西河池·三模）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y=-0.3x2+1.5x-1，则最佳加工时间为__min．
【答案】2.5．
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴公式直接计算即可．
【详解】
解：∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为2.5min，
故答案为：2.5．
【点睛】
此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键．
11．（2022·全国·九年级专题练习）定义新运算：对于任意实数m，n都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题：
（1）若x☆3=1，则x的值为_________________．
（2）抛物线的顶点坐标是________________．
（3）若的值小于0，则方程有________________个根．
【答案】     x1=1，x2=2     （，−）     2
【解析】
【分析】
（1）利用新定义运算法则列出方程x2-3x+3=1，然后解方程即可；
（2）利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案；
（3）由2☆a的值小于0知22-2a+a＜0，解之求得a＞4．再在方程-2x2-bx+a=0中由Δ=（-b）2+8a≥8a＞0可得答案．
【详解】
解：（1）根据题意，得x2-3x+3=1，
移项、合并同类项，得x2-3x+2=0，
整理，得（x，-1）（x-2）=0，
解得x1=1，x2=2；
故答案为：x1=1，x2=2；
（2）根据题意知，y=（2-x）2-（2-x）（-1）+（-1）
=x2-5x+5=（x-）2-．
所以，顶点坐标（，−）；
故答案为：（，−）；
（3）∵2☆a的值小于0，
∴22-2a+a＜0，
解得a＞4．
在方程-2x2-bx+a=0中，
∵Δ=（-b）2+8a≥8a＞0，
∴方程-2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的解，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握新定义运算法则，难度不大．
12．（2020·全国·九年级课时练习）平面直角坐标系中，C（0，4），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动时，OB+BC的最小值为_____．

【答案】4+4
【解析】
【分析】
过点B作BE⊥x轴，由旋转可知AC=AB，易证△ACO≌△BAE，则AE=OC=4，OA=BE，作点O关于BE的对称点D，则BE垂直平分OD，得到OB=BD，当点C、B、D三点共线时OB+BC=BD+BC=CD，然后设点A坐标为（x，0），则OA=x（），则点E为（x+4，0），则点D为（2x+8，0），得到OD=2x+8，利用勾股定理求出CD，结合二次函数的性质得到当x=0时，OB+BC最小，故可求解．
【详解】
解：过点B作BE⊥x轴，
∴∠AEB=∠COA=90°，
∵将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，
∴∠CAB=90°，AC=AB，
∴∠OCA+∠CAO=∠CAO+∠BAE=90°，
∴∠OCA=∠BAE，
∴△ACO≌△BAE，
∴CO=AE=4，OA=BE，
如图，作点O关于BE的对称点D，则BE垂直平分OD，

∴OB=DB，
∴当点C、B、D三点共线时OB+BC=BD+BC=CD，OB+BC的最小值为CD；
设点A坐标为（x，0），则OA=x（），
∴点E为（x+4，0），则点D为（2x+8，0），
∴OD=2x+8，
在直角三角形OCD中，由勾股定理，得：，
∴，
∵，
∴当时，CD有最小值，
当x=0时，A（0，0），B（4，0）
∴OB+BC=4+
故答案为：4+4．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，轴对称求最短距离问题，以及勾股定理，解题的关键是正确理解题意，找到使OB+BC得到最小值的情况，然后进行分析解答．
三、解答题
13．（2021·江苏·九年级专题练习）画出函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点．怎样移动抛物线就可以得到抛物线？
【答案】画图见解析；抛物线的开口向下，对称轴是，顶点是；把抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度
【解析】
【分析】
根据二次函数的解析式即可判断其开口，对称轴和顶点坐标，然后根据二次函数平移左加右减，上加下减进行求解即可．
【详解】
解：函数的图象如图所示．

抛物线的开口向下，对称轴是，顶点是．
把抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像的平移，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
14．（2022·全国·九年级单元测试）已知抛物线y=ax2-2ax-6+a2（a≠0）
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其对应的函数的解析式．
【答案】（1）直线；（2）或
【解析】
【分析】
（1）把解析式化为顶点式，其中对称轴为直线，即可得出答案；
（2）把解析式化为顶点式，顶点坐标为，当抛物线顶点在x轴上时，求解即可算出，代入即可写出函数解析式．
【详解】
（1），
对称轴为直线；
（2）由题可知，当抛物线顶点在x轴上时，
，
，
解得：或，
当时，函数解析式为；
当时，函数解析式为．
【点睛】
本题考查了函数的性质，由通过一般式化为顶点式，找出对称轴和顶点坐标是解题的关键．
15．（2021·全国·九年级专题练习）A、B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C、D两地分别需要橘子30吨和70吨；已知从A、B到C、D的运价如表：

到C地
到D地
A果园
每吨15元
每吨12元
B果园
每吨10元
每吨9元

（1）若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为____吨，从A果园将橘子运往D地的运输费用为____元；
（2）设总运费为y元，请你求出y关于的函数关系式；
（3）求总运输费用的最大值和最小值；
（4）若这批橘子在C地和D地进行再加工，经测算，全部橘子加工完毕后总成本为w元，且w=-(x-25)2+4360，则当x＝___ 时，w有最 __ 值（填“大”或“小”）．这个值是 ___ ．
【答案】（1）（40-x），12（40-x）；（2）y=2x+1050；（3）最大值为1110元，最小值为1050元；（4）25，大，4360
【解析】
【分析】
（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，剩下的都运往D地，所以运往D地的是（40-x）吨．运输费用=吨数×每吨的运费．
（2）总运费=从A运往C、D的费用+从B运往C、D的费用．
（3）总运费与x是一次函数关系，由于0≤x≤30，可计算出总运费的最大值和最小值．
（4）利用二次函数的性质，求出函数的最值．
【详解】
解：（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，那么从A果园运到D地的橘子为（40-x）吨，
从A运到D地的运费是12元每吨，所以A果园将橘子运往D地的运输费用为12（40-x）吨．
故答案为：（40-x），12（40-x）；
（2）从A果园运到C地x吨，运费为每吨15元；从A果园运到D地的橘子为（40-x）吨，运费为每吨12元；
从B果园运到C地（30-x）吨，运费为每吨10元；从B果园运到D地（30+x）吨，运费为每吨9元；
所以总运费为：y=15x+12（40-x）+10（30-x）+9（30+x）
=2x+1050；
（3）因为总运费y =2x+1050，
∵，
∴函数值随x的增大而增大，
由于0≤x≤30，
∴当x=30时，有最大值2×30+1050=1110元，
当x=0时，有最小值2×0+1050=1050元；
（4）w=-(x-25)2+4360，
∵二次项系数-1＜0，
∴抛物线开口向下，
当x=25时，w有最大值．最大值时4360．
故答案为：25，大，4360．
【点睛】
本题考查了列代数式及函数的性质．利用一次函数的性质求出总运费的最大值和最小值，利用二次函数的性质求出总成本的最值．
16．（2021·新疆·乌鲁木齐市实验学校九年级期中）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？

【答案】水管长为2.25m．
【解析】
【分析】
以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
【详解】
以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0）求得：a＝．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y＝（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
令x＝0，则y＝＝2.25．
故水管长为2.25m．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
17．（2020·全国·九年级课时练习）设二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0，c＞1），当x＝c时，y＝0；当0＜x＜c时，y＞0．
（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；
（2）当x＞0时，求证：．
【答案】（1）ac≤1，理由见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知可得ac+b+1=0，因为当0＜x＜c时，y＞0，x＝c时，y＝0，所以，所以ac≤1；
（2）因为， 而a+b+c＞0，0＜a＜1，c＞1，a﹣2ac﹣2+3c＝（1﹣a）（2c﹣1）+（c﹣1）＞0，所以当x>0时，．
【详解】
（1）解：当x＝c时，y＝0，即ac2+bc+c＝0，c（ac+b+1）＝0，
又c＞1，所以ac+b+1＝0
又因为当0＜x＜c时，y＞0，x＝c时，y＝0，
于是二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴：即b≤﹣2ac
所以b＝﹣ac﹣1≤﹣2ac即ac≤1；
（2）证明：因为0＜x＝1＜c时，y＞0，所以a+b+c＞0
由ac≤1及a＞0，c＞1得：0＜a＜1
因为
=
而a+b+c＞0，0＜a＜1，c＞1，a﹣2ac﹣2+3c＝（1﹣a）（2c﹣1）+（c﹣1）＞0
所以当x＞0时，，
即．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象与二次函数解析式各系数之间的关系是解题关键．
18．（2020·北京交通大学附属中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．
（1）用含a的式子表示b；
（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．
【答案】（1）b＝﹣3a+1；（2）B（﹣4a，4）；（3）a＝﹣1或a＜﹣
【解析】
【分析】
（1）将点(3，3)代入解析式即可求解；
（2）把y=4代入y=x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求出B点坐标；
（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况进行讨论，即可得到结论．
【详解】
解：（1）将点(3，3)代入y＝ax2+bx，得：9a+3b＝3,
∴b＝-3a+1；
（2）令x+4a+4＝4，得x＝-4a，
∴B(-4a，4)，
（3）∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵A(1，4)，B(-4a，4)，
∴点A、B所在的直线为y＝4，
由（1）得b＝1-3a，
则抛物线可化为：y＝ax2+（1-3a）x，
当抛物线与线段AB恰有一个公共点时，分两种情况讨论：
①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点且抛物线的顶点在点A、B之间时，
则或，
方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，
即（1﹣3a）2+16a＝0，
解得a1＝，a2＝，
当a1＝时，（不符合题意），
当a2＝﹣1时，，则1≤≤-4a成立，
②当抛物线经过点A时，
即当x＝1，y＝4时，a+1-3a＝4，
解得a＝；
∴a＜时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，
综上所述，当a＝-1或a＜-时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数和一次函数图象上的点的坐标特征，解决本题的关键是理解抛物线与线段AB恰有一个公共点的含义．