专题21.8 一元二次方程解法-公式法（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.8   一元二次方程解法-公式法（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；

2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

【要点梳理】

知识点一 公式法解一元二次方程

（1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。

（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：

①         方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值

②         确定公式中a,b,c的值，注意符号；

③         求出b2-4ac的值；

④         若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。

知识点二 一元二次方程根的判别式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.

                           △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根

一元二次方程                △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根

根的判别式

△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根                                           

【典型例题】

类型一、解一元二次方程--公式法

1．用公式法解下列方程：

（1）；                 （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

按照公式法的一般步骤：先把式子化为一般式，找到a，b，c，先算，再带入求根公式求解即可．

解：（1）∵，

∴，

∴，

即；

（2）方程化为一般形式，得，这里，

∴，

，

∴原方程的解为．

【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式，是解决本题的关键．

举一反三：

【变式1】用公式法解下列方程：

（1）；                （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）利用求根公式解一元二次方程即可；

（2）先将方程整理为一般式，再根据求根公式解一元二次方程.

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴原方程的根为：；

（2）原方程化为一般形式为：，

∵，

∴，

∴，

∴原方程的根为：．

【点拨】本题主要考查公式法解一元二次方程，解决本题的关键是要熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤.

【变式2】用公式法解下列方程：

（1）．                （2）．

【答案】（1），．（2），．

【分析】

（1）先把方程化为一般式，再利用公式法进行求解；

（2）根据公式法即可求解.

解：（1）将方程化为一般形式，得．

这里，，．

∵，

∴，

即，．

（2）这里，，．

∵，

∴，

∴，．

【点拨】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法解方程.

类型二、根的判别式

2．已知关于x的方程

（1）求证：方程总有两个实数根

（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围

【答案】（1）证明见分析；（2）

【分析】

（1）证出根的判别式即可完成；

（2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围.

解：（1）证明：

∴方程总有两个实数根

（2）

∴

∴

∵方程有一个小于1的正根

∴

∴

【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.

举一反三：

【变式1】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

【答案】（1）证明见分析；（2）m=1．

【分析】

解：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；

（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．

方法1 （1）利用判别式

（1）证明：．

∵不论m为何值，，即．

∴不论m为何值，方程总有实数根．

（2）解关于x的一元二次方程，得

，∴，．

∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴或．

又∵方程的两个根不相等，∴，∴．

方法2（1）直接解一元二次方程求出根

（1）证明：解关于x的一元二次方程，

得，，

∴不论m为何值，方程总有实数根．

（2）解关于x的一元二次方程，得

，∴，．

∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴或．

又∵方程的两个根不相等，∴，∴．

【变式2】 已知关于x的一元二次方程

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值

【答案】（1）详见分析  （2）或

【分析】

（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．

解：（1）∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，

即x1=k，x2=k+1，

∵k＜k+1，

∴AB≠AC．

当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；

当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，

所以k的值为5或4．

【点拨】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．

类型三、根据一元二次方程求参数

3、关于的一元二次方程有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．

【答案】（1）；（2）的值为．

【分析】

（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；

（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足．

解：（1）根据题意得，

解得；

（2）的最大整数为2，

方程变形为，解得，

∵一元二次方程与方程有一个相同的根，

∴当时，，解得；

当时，，解得，

而，

∴的值为．

【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

举一反三：

【变式1】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．

（1）求实数m的取值范围；

（2）是否存在实数m，使得成立？如果存在，求出m的值：如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）m＜1；（2）m=-1

【分析】

（1）由方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；

（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2=-2（m-1），x1•x2=m2-1，由条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．

解：（1）∵方程x2+2（m-1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2．

∴△=4（m-1）2-4（m2-1）=-8m+8＞0，

∴m<1；

（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，

∴x1+x2=-2（m-1），x1•x2=m2-1．

∵x12+x22=16+x1x2

∴(x1+x2)2＝16+3x1x2，

∴4（m-1）2=16+3（m2-1），

解得：m1=-1，m2=9，

∵m＜1，

∴m2=9舍去，

即m=-1．

【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m的值，注意不能忽视判别式应满足的条件．

【变式2】已知关于的方程有两个不相等的实数根．

求的取值范围；

若，且方程的两个实数根都是整数，求的值．

【答案】 ； ，或．

【分析】

(1)关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0，即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；

(2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值即可．

解：∵关于的方程的二次项系数、一次项系数、常数项，

∴，

解得；

由原方程，得

，

解得，

∵方程的两个实数根都是整数，且，不是负数，

∴，且是完全平方形式，

∴，或，

解得，或．

【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．