广东省深圳市罗湖区重点中学2022年中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列计算中正确的是（　　）

A．x2+x2=x4 B．x6÷x3=x2 C．（x3）2=x6 D．x-1=x

2．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

3．下列判断错误的是（    ）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线相互垂直平分的四边形是菱形

C．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形

D．对角线相互平分的四边形是平行四边形

4．如图所示是放置在正方形网格中的一个 ,则的值为(    )

A． B． C． D．

5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤

6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　）

A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm

7．若，，则的值是（　　）

A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4

8．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概率为（　　）

A． B． C． D．

9．实数的相反数是（   ）

A． B． C． D．

10．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直线y=x﹣经过直角顶点B，且平分△ABC的面积，BC=3，点A在反比例函数y=图象上，则k=_______．

12．如图，若点 的坐标为 ，则 =________.

13．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是   ．

14．因式分解：-2x2y+8xy-6y=__________．

15．若代数式的值不小于代数式的值，则x的取值范围是_____．

16．函数y＝中，自变量x的取值范围是             

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）（2017江苏省常州市）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如下统计图：

根据统计图所提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查中的样本容量是      ；

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．

18．（8分）济南国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．

（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840m，他需要多少时间才能到达终点？将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向下平移5个单位，求平移后的函数表达式．

19．（8分）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．

①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？

②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？

20．（8分）如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．

21．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD．求证：∠ACF=∠ABD；连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．

22．（10分）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．该商场两次共购进这种运动服多少套？如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？

23．（12分）如图，在中，，，点D是BC上任意一点，将线段AD绕点A逆时针方向旋转，得到线段AE，连结EC．

依题意补全图形；

求的度数；

若，，将射线DA绕点D顺时针旋转交EC的延长线于点F，请写出求AF长的思路．

24．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．求证：△AFE≌△CDF；若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】
根据合并同类项的方法、同底数幂的除法法则、幂的乘方、负整数指数幂的意义逐项求解，利用排除法即可得到答案.

【详解】

A. x2+x2=2x2 ，故不正确；  

B. x6÷x3=x3 ，故不正确；  

C. （x3）2=x6 ，故正确；  

D. x﹣1=，故不正确；

故选C.

【点睛】

本题考查了合并同类项的方法、同底数幂的除法法则、幂的乘方、负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟练掌握各知识点.

2、C

【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．

【详解】

第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；

第二、三、四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3、A

【解析】
利用菱形的判定定理、矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理分别对每个选项进行判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：、对角线相等的四边形是矩形，错误；

、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，正确；

、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；

、对角线相互平分的四边形是平行四边形，正确；

故选：．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解矩形和菱形的判定定理，难度不大．

4、D

【解析】
首先过点A向CB引垂线，与CB交于D，表示出BD、AD的长，根据正切的计算公式可算出答案．

【详解】

解：过点A向CB引垂线，与CB交于D，

△ABD是直角三角形，

∵BD=4，AD=2，

∴tan∠ABC=

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．

5、C

【解析】
根据二次函数的性质逐项分析可得解.

【详解】

解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，

则①当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；

②当x=-1时，y=a-b+c＞1，正确；

③abc＞0，正确；

④对称轴x=-1，则x=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=1＞0，错误；

⑤对称轴x=-=-1，b=2a，又x=-1时，y=a-b+c＞1，代入b=2a，则c-a＞1，正确．

故所有正确结论的序号是①②③⑤．

故选C

6、D

【解析】

分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．

详解：连接OB，

∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=1cm，AE=2cm．

在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2

解得：OE=3，

∴OB=3+2=5，

∴EC=5+3=1．

在Rt△EBC中，BC=．

∵OF⊥BC，

∴∠OFC=∠CEB=90°．

∵∠C=∠C，

∴△OFC∽△BEC，

∴，即，

解得：OF=．

 故选D．

点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．

7、D

【解析】

因为,所以,因为,故选D.

8、A

【解析】
设黄球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是，得出黄球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个黄球的概率．

【详解】

解：设袋子中黄球有x个，

根据题意，得：，

解得：x=3，

即袋中黄球有3个，

所以随机摸出一个黄球的概率为，

故选A．

【点睛】

此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．

9、D

【解析】
根据相反数的定义求解即可．

【详解】

的相反数是-，

故选D．

【点睛】

本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

10、D

【解析】
根据抛物线和直线的关系分析.

【详解】

由抛物线图像可知，所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限.

故选D

【点睛】

考核知识点：反比例函数图象.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、1

【解析】

分析：根据题意得出点B的坐标，根据面积平分得出点D的坐标，利用三角形相似可得点A的坐标，从而求出k的值．

详解：根据一次函数可得：点B的坐标为(1，0)， ∵BD平分△ABC的面积，BC=3

∴点D的横坐标1.5，  ∴点D的坐标为， ∵DE：AB=1：1，

∴点A的坐标为(1，1)，  ∴k=1×1=1．

点睛：本题主要考查的是反比例函数的性质以及三角形相似的应用，属于中等难度的题型．得出点D的坐标是解决这个问题的关键．

12、

【解析】
根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．

【详解】

如图，由勾股定理，得：OA==1．sin∠1=，故答案为．

13、．

【解析】

试题分析：画树状图为：

共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数为9，所以“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率==．故答案为．

考点：列表法与树状图法．

14、－2 y (x－1)( x－3)   

【解析】

分析：提取公因式法和十字相乘法相结合因式分解即可.

详解：原式

故答案为

点睛：本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和十字相乘法是解题的关键.分解一定要彻底.

15、x≥

【解析】
根据题意列出不等式，依据解不等式得基本步骤求解可得．

【详解】

解：根据题意，得：，

6（3x﹣1）≥5（1﹣5x），

18x﹣6≥5﹣25x，

18x+25x≥5+6，

43x≥11，

x≥，

故答案为x≥．

【点睛】

本题主要考查解不等式得基本技能，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．

16、x≥0且x≠1

【解析】

试题分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x-1≠0，解可得答案．

试题解析：根据题意可得x-1≠0；

解得x≠1；

故答案为x≠1．

考点: 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）100；（2）作图见解析；（3）1．

【解析】

试题分析：（1）根据百分比= 计算即可；

（2）求出“打球”和“其他”的人数，画出条形图即可；

（3）用样本估计总体的思想解决问题即可.

试题解析：（1）本次抽样调查中的样本容量=30÷30%=100，

故答案为100；

（2）其他有100×10%=10人，打球有100﹣30﹣20﹣10=40人，条形图如图所示：

（3）估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为2000×40%=1人．

18、（1）20s；（2）

【解析】
（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝840时x的值即可得；

（2）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

解：（1）∵该抛物线过点（0，0），

∴设抛物线解析式为y＝ax2+bx，

将（1，4）、（2，12）代入，得：

，

解得：，

所以抛物线的解析式为y＝2x2+2x，

当y＝840时，2x2+2x＝840，

解得：x＝20（负值舍去），

即他需要20s才能到达终点；       

（2）∵y＝2x2+2x＝2（x+）2﹣，

∴向左平移2个单位，再向下平移5个单位后函数解析式为y＝2（x+2+）2﹣﹣5＝2（x+）2﹣．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及函数图象平移的规律．

19、（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2）①进货方案有3种，具体见解析；②当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．

【解析】

【分析】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，由条件可列方程组，则可求得答案；

（2）①设购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，由条件可得到关于m的不等式组，则可求得m的取值范围，且m为整数，则可求得m的值，即可求得进货方案；

②用m可表示出W，可得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质可求得答案．

【详解】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，

根据题意可得，解得，

答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；

（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，

根据题意可得 ，解得75＜m≤78，

∵m为整数，

∴m的值为76、77、78，

∴进货方案有3种，分别为：

方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，

方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，

方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；

②根据题意可得W=（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）=5m+1000，

∵5＞0，

∴W随m的增大而增大，且75＜m≤78，

∴当m=78时，W最大，W最大值为1390，

答：当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、找准各量之间的数量关系列出函数解析式是解题的关键.

20、3

【解析】

试题分析：根据AB=30，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．

试题解析：∵BD3+AD3=63+83=303=AB3，

∴△ABD是直角三角形，

∴AD⊥BC，

在Rt△ACD中，CD=，

∴S△ABC=BC•AD=(BD+CD)•AD=×33×8=3，

因此△ABC的面积为3．

答：△ABC的面积是3．

考点：3．勾股定理的逆定理；3．勾股定理．

21、（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）先根据CG2=GE•GD得出，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出结论；

（2）先根据∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．

试题解析：（1）∵CG2=GE•GD，∴．

又∵∠CGD=∠EGC，∴△GCD∽△GEC，∴∠GDC=∠GCE．

∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∴∠ACF=∠ABD．

（2）∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，∴△BGF∽△CGE，∴．

又∵∠FGE=∠BGC，∴△FGE∽△BGC，∴，∴FE•CG=EG•CB．

考点：相似三角形的判定与性质．

22、（1）商场两次共购进这种运动服600套；（2）每套运动服的售价至少是200元．

【解析】
（1）设商场第一次购进套运动服，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元”即可列方程求解；

（2）设每套运动服的售价为y元，根据“这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%” 即可列不等式求解.

【详解】

（1）设商场第一次购进x套运动服，由题意得

解这个方程，得

经检验，是所列方程的根

．

答：商场两次共购进这种运动服600套；

（2）设每套运动服的售价为y元，由题意得

，

解这个不等式，得

答：每套运动服的售价至少是200元．

【点睛】

此题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量及不等关系，正确列方程和不等式求解.

23、（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析.

【解析】
（1）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°，得到线段AE，连结EC．

（2）先判定△ABD≌△ACE，即可得到，再根据，即可得出；

（3）连接DE，由于△ADE为等腰直角三角形，所以可求；由， ，可求的度数和的度数，从而可知DF的长；过点A作于点H，在Rt△ADH中，由，AD=1可求AH、DH的长；由DF、DH的长可求HF的长；在Rt△AHF中，由AH和HF，利用勾股定理可求AF的长．

【详解】

解：如图，

线段AD绕点A逆时针方向旋转，得到线段AE．

，，

．

，

．

，

在和中

，

≌．

，

中，，，

．

；

Ⅰ连接DE，由于为等腰直角三角形，所以可求；

Ⅱ由，，可求的度数和的度数，从而可知DF的长；

Ⅲ过点A作于点H，在中，由，可求AH、DH的长；

Ⅳ由DF、DH的长可求HF的长；

Ⅴ在中，由AH和HF，利用勾股定理可求AF的长．

故答案为（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析.

【点睛】

本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质的运用，解题的关键是要注意对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．

24、（1）证明见解析；（2）1．

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B，AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到AF=CF，EF=DF，根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可得到结论．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，在△AEF与△CDF中，∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，AE=CD，∴△AEF≌△CDF；

（2）∵AB=4，BC=8，∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，∵△AEF≌△CDF，∴AF=CF，EF=DF，∴DF2+CD2=CF2，即DF2+42=（8﹣DF）2，∴DF=3，∴EF=3，∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF=×4×8﹣×4×3=1．

点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．