2024年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−(−5)等于( )
A. −5B. 15C. ±5D. 5
2.由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是( )
A.
B.
C.
D.
3.据科学研究表明，5G移动通信技术的网络理论下载速度可达每秒1300000KB以上.其中1300000用科学记数法表示为( )
A. 13×105B. 1.3×106C. 1.3×105D. 1.3×107
4.九年级一班甲、乙、丙、丁四名学生本学期数学测验成绩的平均分都是90分，方差分别是S甲2=16，S乙2=24，S丙2=28，S丁2=36，这四名学生中成绩最稳定的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的面积为( )
A. 48
B. 40
C. 24
D. 20
6.下列运算正确的是( )
A. 2a2b−a2b=a2bB. 2a−a=2C. 3a2+2a2=5a4D. 2a+b=2ab
7.如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE=3，则BF等于( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
8.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )
A. 560(1+x)2=315B. 560(1−x2)=315
C. 560(1−2x)=315D. 560(1−x)2=315
9.2022北京冬奥会延庆赛区正在筹建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角约为20°，在此雪道向下滑行100米，高度大约下降了米．( )
A. 100sin20∘B. 100cs20∘C. 100sin20°D. 100cs20°
10.如图，在四边形ACDB中，AB/​/CD，AC=AD，P是线段AC上一点(不与点A、C重合)，∠C=∠PDB=60°，连接BP，交AD于点Q，则DQ：BP的最小值是( )
A. 2 3B. 3C. 32D. 33
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.为了描述我市某一天气温变化情况，从“扇形统计图”“条形统计图”“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是______．
12.如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC=3m，小明的影子B′C′=1.5m，已知小明的身高A′B′=1.7m，则树高AB= ______．
13.如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB=42°，∠ACB= ______°
14.直线y1=kx(k≠0)与直线y2=ax+4(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式kx15.如图，直线y=−x+a与反比例函数y=4x(x>0)只有唯一的公共点A，与反比例函数
y=kx(x>0)交于点C，与x轴交于点B，如果AB=2BC，则k的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：2sin45°− 8+(π−1)0+| 2−1|．
17.(本小题7分)
先化简，再求值：(3aa−2−aa−2)÷2aa2−4，其中a=1．
18.(本小题8分)
为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用.现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为______人，图1中m的值为______；
(2)根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，则建议购买35号运动鞋多少双？
19.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠PBC=∠C．
(1)求证：CB//PD；
(2)若BC=12，BE=8，求⊙O的半径．
20.(本小题8分)
2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元．
(1)求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
(2)若该纪念品经销店A种纪念品每件售价18元，B种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元，求A种纪念品最多购进多少件．
21.(本小题9分)
综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分.建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A(0,10)起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y(m)与水平距离x(m)满足二次函数的关系．
(1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
(2)在(1)的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；
(3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k(m)，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h(m)与时间t(s)之间满足h=−5t2+k．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作．
问题解决：
①请通过计算说明，在(1)的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y(m)与水平距离x(m)的关系为y=ax2−ax+10(a<0)，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______．
22.(本小题10分)
【问题提出】
(1)如图1，在边长为6的等边△ABC中，点D在边BC上，CD=2，连接AD，则△ACD的面积为______；
【问题探究】
(2)如图2，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF=45°，若EF=5，求△AEF的面积；
【问题解决】
(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在AB=4米，AD=4 3米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上(不与点B、C、D重合)，且∠EAF=60°，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−(−5)表示−5的相反数，即−(−5)等于5．
故选：D．
根据一个负数的相反数为正数即可作答．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：从上面看得到的平面图形为：．
故选：B．
从上面看，可以看到三行，中间一行有3个小正方形，上面一行最右侧有1个小正方形，下面一行最左侧有1个小正方形．
本题考查从不同方向观察几何体，掌握几何体三种视图的空间想象能力是关键．
3.【答案】B
【解析】解：1300000=1.3×106．
故选：B．
由题意可知本题中a=1.3，n=6，即可得到答案．
本题考查了正整数指数科学记数法，“对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，
4.【答案】A
【解析】解：∵S甲∴这四名学生成绩最稳定的是甲，
故选：A．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】C
【解析】解：菱形的面积为6×8÷2=24，
故选：C．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变进行计算即可．
此题主要考查了合并同类项，关键是掌握合并同类项法则．
【解答】
解：A、2a2b−a2b=a2b，故原题计算正确；
B、2a−a=a，故原题计算错误；
C、3a2+2a2=5a2，故原题计算错误；
D、2a和b不能合并，故原题计算错误；
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，点A，D之间的距离为2，
∴BE=CF=2，
∵CE=3，
∴BF=CF+BE+CE=2+2+3=7，
故选：B．
根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得BE和CF的长，再结合图形可直接求解．
本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移的性质得到BE=CF=2．
8.【答案】D
【解析】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560(1−x)2=315，
故选：D．
设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是560(1−x)，第二次后的价格是560(1−x)2，据此即可列方程求解．
本题考查一元二次方程的应用，关键是根据题意列出方程．
9.【答案】C
【解析】解：由题意得：AB⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ACB=20°，AC=100米，
∴AB=AC⋅sin20°=100sin20°(米)，
∴高度大约下降了100sin20°米，
故选：C．
根据题意可得：AB⊥BC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：作DE⊥PB于点E，则∠PED=90°，
∵AC=AD，∠C=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=CD，∠C=∠ADC=60°，
∵AB/​/CD，
∴∠BAD=∠ADC=60°，
∴∠BAD=∠C，
∵∠PDB=60°，
∴∠ADB=∠CDP=60°−∠ADP，
∴△ADB∽△CDP，
∴BDPD=ADCD=1，
∴BD=PD，
∴△PDB是等边三角形，
∴BP=BD，∠PBD=60°，
∴DEBP=DEBD=sin60°= 32，
∵DQ≥DE，
∴DQBP≥DEBP，
∴DQBP≥ 32，
∴DQBP的最小值是 32，即DQ：BP的最小值是 32，
故选：C．
作DE⊥PB于点E，由AC=AD，∠C=60°，证明△ACD是等边三角形，则AD=CD，∠C=∠ADC=60°，再证明△ADB∽△CDP，得BDPD=ADCD=1，则BD=PD，所以△PDB是等边三角形，则BP=BD，∠PBD=60°，所以DEBP=DEBD=sin60°= 32，由DQ≥DE，得DQBP≥ 32，所以DQBP的最小值是 32，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】折线统计图
【解析】解：描述我市某一天气温变化情况，最适合的统计图是折线统计图，
故答案为：折线统计图．
根据题意，天气变化情况复杂，用折线图表示，即可求解．
本题主要考查统计图的特点，扇形图：描述百分比(构成比)的大小；折线图：用线条的升降表示事物的发展变化趋势，主要用于 计量资料，描述两个变量间关系；条形图：表示独立指标在不同阶段的情况．
12.【答案】3.4m
【解析】解：根据题意得ABBC=A′B′B′C′，即AB3=1.71.5，
所以AB=3.4(m)．
故答案为3.4m．
利用同一时刻物体的高度与其影长成正比得到AB3=1.71.5，然后利用比例性质求出AB即可．
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
13.【答案】21
【解析】解：∵∠AOB=42°，
∴∠ACB=12∠AOB=21°，
故答案为：21．
利用圆周角定理，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14.【答案】x>−1
【解析】解：由函数图象可知，
当x>−1时，
直线y1=kx(k≠0)在直线y2=ax+4(a≠0)图象的下方，
故答案为：x>−1．
数形结合解不等式的解集即可得出答案．
本题主要考查一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．
15.【答案】−5
【解析】解：联立方程组得y=−x+ay=4x，整理得x2−ax+4=0，
∵只有一个交点，
∴Δ=a2−16=0，
∴a=±4，舍去负值，
∴a=4．
此时交点A(2,2)，
一次函数解析式为y=−x+4，当y=0时，x=4，B(4,0)，
∴线段BD的中点D坐标为(3,1)，
∵AB=2BC，
∴BD=BC，
4=3+xC2，xC=5，
0=1+yC2，yC=−1，
C(5,−1)，
∵C(5,−1)在反比例函数y=kx图象上，
∴k=−5．
故答案为：−5．
联立方程组根据只有一个交点求出a值得到交点坐标A(2,2)，根据直线解析式求出B点坐标，依据中点坐标公式分别求出点D和点C坐标，即可得到k值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C坐标是关键．
16.【答案】解：2sin45°− 8+(π−1)0+| 2−1|
=2× 22−2 2+1+ 2−1
= 2−2 2+1+ 2−1
=0．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(3aa−2−aa−2)÷2aa2−4
=2aa−2⋅(a+2)(a−2)2a
=a+2；
当a=1时，原式=1+2=3．
【解析】先计算括号内的，再计算除法，然后把a=1代入，即可求解．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】40 15
【解析】解：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为：6+12+10+8+4=40 (人)，图中m的值为：100−25−30−20−10=15，
故答案为：40；15．
(2)依题意得：
200×30%=60(双)，
答：建议购买35号运动鞋60双．
1)根据条形统计图中数据的人数相加即可求解；
(2)利用35号的百分比乘数量即可求解．
本题考查了扇形统计图与条形统计图的关联，解题的关键是分析题目中所给的直方图及扇形图，然后从中得到数据进行求解．
19.【答案】(1)证明：∵∠P=∠C，∠PBC=∠C，
∴∠P=∠PBC，
∴CB//PD；
(2)解：如图所示，连接CO，

设OC=OB=x，则OE=OB−BE=(x−8)，
在Rt△COE中：由勾股定理得CE2=CO2−OE2，
在Rt△CBE中：由勾股定理得CE2=BC2−BE2，
∴x2−(x−8)2=122−82，
解得x=9
∴⊙O的半径为9．
【解析】(1)根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠P=∠C，再由条件∠PBC=∠C可得∠P=∠PBC，然后可得CB//PD；
(2)设OC=OB=x，则OE=OB−BE=(x−8)，利用勾股定理建立方程x2−(x−8)2=122−82，解方程即可得到答案．
本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价(x+5)元，
由题意得900x=1200x+5，
解得：x=15，
经检验：x=15是原分式方程的解，
x+5=20，
答：A种纪念品每件的进价为15元，则B种纪念品每件的进价20元；
(2)设A种纪念品购进a件，由题意得：
(18−15)a+(25−20)(500−a)≥1700，
解得：a≤400，
∵a为整数，
∴a的最大值为400．
答：A种纪念品最多购进400件．
【解析】(1)设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价(x+2)元，根据用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同列出分式方程，再解即可；
(2)设A种纪念品购进a件，由题意得不等关系：A种纪念品的总利润+B种纪念品的总利润≥1700元，根据不等关系列出不等式，再解即可．
此题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，再列出不等式和分式方程即可．
21.【答案】a≤−565
【解析】(1)解：由运动员的竖直高度y(m)与水平距离x(m)满足二次函数的关系，
设二次函数的关系为y=ax2+bx+c，
代入(0,10)，(1,10)，(1.5,6.25)，
得c=10a+b+c=10,94a+32b+c=6.25，
解得a=−5b=5c=10，
∴y关于x的关系式为y=−5x2+5x+10；
(2)把y=0代入y=−5x2+5x+10，
得−5x2+5x+10=0，
解得x1=2，x2=−1(不合题意，舍去)，
∴运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米；
(3)①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下：
由运动员的竖直高度y(m)与水平距离x(m)满足二次函数的关系为y=−5x2+5x+10，
整理得y=−5(x−12)2+454，
得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为454m，即k=454，
把h=0代入h=−5t2+454，
得−5t2+454=0，
解得x1=1.5，x2=−1.5(不合题意，舍去)，
∵1.5<1.6，
∴运动员甲不能成功完成此动作；
②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度y(m)与水平距离x(m)的关系为y=ax2−ax+10(a<0)，
得顶点为(12,10−14a)，
得k=10−14a，
得h=−5t2+10−14a，
把h=0代入h=−5t2+10−14a，
得t2=2−120a，
由运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，得t≥1.6，
则t2≥1.62，即2−120a≥1．62，
解得a≤−565．
故答案为：a≤−565．
(1)设二次函数的关系为y=ax2+bx+c，代入(0,10)，(1,10)，(1.5,6.25)，算出a、b、c的值，即可得到函数表达式；
(2)把y=0代入y=−5x2+5x+10，即可求出结果；
(3)①把二次函数整理为y=−5(x−12)2+454，得k=454，把h=0代入h=−5t2+454，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果；
②求得顶点为(12,10−14a)，得k=10−14a，把h=0代入y=−5t2+10−14a，得t2=2−120a，由t2≥1.62，列不等式即可求出t的取值范围．
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，本题的关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质解题．
22.【答案】3 3
【解析】解：(1)如图1所示，过点A作AE⊥BC于E，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AC=BC=6，CE=12BC=3，
∴AE= AC2−CE2= 62−32=3 3，
∵CD=2，
∴S△ACD=12AE⋅CD=3 3；
故答案为：3 3；
(2)如图2所示，延长EB到G使得BG=DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABG=∠BAD=90°，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG=AF，∠DAF=∠BAG，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=45°，
∴∠BAG+∠BAE=45°，
∴∠EAG=∠EAF=45°，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEG(SAS)，
∴EG=EF=5，S△AEF=S△AEG，
又∵AB=6，
∴S△AEF=S△AEG=12AB⋅EG=15；
(3)存在一个面积最小的△AEF；理由如下：
把△ADF绕点A顺时针旋转90°并把边长缩小为原来的 33，得到△ABG，
∴AG= 33AF,∠FAG=90°，
∵∠EAF=60°，
∴∠EAG=30°，
过点E作EM⊥AG于M，作EN⊥AF于N，则四边形AMEN是矩形，
∴ME=AN，
∴ME=AN=NEtan∠EAN= 3NE3，
∴S△AGES△AEF=12AG⋅ME12AF⋅NE=13，
∴S△AEF=3S△AEG，
∴当△AEG的面积最小时，△AEF的面积最小；
如图3所示，作△AEG的外接圆，圆心为O，连接OA，OG，OE，过点O作OH⊥EG于H，设OG=OA=OE=r，
∴∠GOE=2∠GAE=60°，
∴∠GOH=∠EOH=30°，
∴OH= 32OG= 32r,GE=2GH=r，
∵S△AGE=12GE⋅AB=2GE=2r，
∴当r最小时，△AEG的面积最小，
∵OA+OH≥AB，
∴r+ 32r≥4，
∴r≥16−8 3，
∴当A、O、H三点共线时，r有最小值，最小值为16−8 3，
∴(S△AEF)最小值=3(S△AEG)最小值=3×2×(16−8 3)=96−48 3，
∴存在一个面积最小的△AEF，其最小值为96−48 3．
(1)如图所示，过点A作AE⊥BC于E，利用等边三角形的性质得到AC=BC=6，CE=12BC=3，再利用勾股定理得到AE=3 3，即可利用S△ACD=12AE⋅CD求出答案；
(2)如图所示，延长EB到G使得BG=DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF(SAS)，得到AG=AF，∠DAF=∠BAG，再证明△AEF≌△AEG(SAS)，得到EG=EF=5，S△AEF=S△AEG，则S△AEF=S△AEG=12AB⋅EG=15；
(3)把△ADF绕点A顺时针旋转90°并把边长缩小为原来的 33，得到△ABG，则AG= 33AF,∠FAG=90°，∠EAG=30°；过点E作EM⊥AG于M，作EN⊥AF于N，则四边形AMEN是矩形，则ME=AN，解直角三角形得到ME=AN= 3NE3，进而得到S△AGES△AEF=12AG⋅ME12AF⋅NE=13，即S△AEF=3S△AEG，则当△AEG的面积最小时，△AEF的面积最小；如图所示，作△AEG的外接圆，圆心为O，连接OA，OG，OE，过点O作OH⊥EG于H，设OG=OA=OE=r，由圆周角定理得到∠GOE=2∠GAE=60°，则∠GOH=∠EOH=30°，推出OH= 32OG= 32r,GE=2GH=r，由于S△AGE=12GE⋅AB=2GE=2r，则当r最小时，△AEG的面积最小，故当A、O、H三点共线时，r有最小值，最小值为16−8 3，则(S△AEF)最小值=3(S△AEG)最小值=3×2×(16−8 3)=96−48 3，即存在一个面积最小的△AEF，其最小值为96−48 3．
本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键．水平距离x(m)
0
1
1.5
竖直高度y(m)
10
10
6.25