2022-2023学年广东省梅州市丰顺县建桥中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市丰顺县建桥中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列命题不正确的是(    )

A. 月球距离地球表面约米，用科学记数法表示为米
B. 用四舍五入法对取近似值为精确到
C. 若代数式有意义，则的取值范围是且
D. 数据、、、的中位数是

2. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交、于、两点，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打(    )

A. 折 B. 折 C. 折 D. 折

4. 已知关于的不等式，可化为，试化简，正确的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 不等式组的所有非负整数解的和是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法中正确的有等腰三角形的两条高线长相等；等腰三角形的两条角平分线长相等；等腰三角形两腰上的中线长相等；等腰三角形两腰上的高线长相等．(    )

A.  个 B.  个 C.  个 D.  个

7. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是．(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

8. 在平行四边形中，，延长至，延长至，连接，则(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，射线射线，与的平分线交于点，，点是射线上的一动点，连结并延长交射线于点给出下列结论：是直角三角形；；设，，则关于的函数表达式是，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共7小题，共28分）

11. 分解因式：______．
12. ______ ．
13. 在平行四边形中，过点作边的垂线，垂足在边上；过作直线的垂线，垂足为，已知的三条高或延长线相交于一点，，，，则______．
14. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值是______．

15. 如图，等腰中，，点是边上不与点、重合的一个动点，直线垂直平分，垂足为，当是等腰三角形时，的长为______ ．

16. 如图，，、交于点，三角形的面积等于，三角形的面积等于，那么三角形的面积等于______．

17. 如图，中，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以每秒和的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于，于设运动时间为秒，则当______秒时，与全等．

三、解答题（本题共8小题，共62分）

18. 解不等式组：
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．
    如图，将三角板的一边与射线重合时，则______；
    如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角和的度数；
    将三角板绕点逆时针旋转至图时，，求的度数．
     

21. 如图，在中，，为直线上一动点不与点，重合，在的右侧作，使得，，连接．
    当在线段上时，
    求证：≌．
    请判断点在何处时，，并说明理由．
    当时，若中最小角为，求的度数．

22. 如图，四边形是平行四边形，过的中点且交的延长线于点连接，．
    求证：≌；
    若且，判断四边形是什么特殊四边形？请说明理由．

23. 我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
    
    如图，在中，，且，请你在图中用尺规作图作出的一条“等分积周线”；
    在图中，过点能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法若不能，请说明理由．
    如图，四边形中，，垂直平分，垂足为，交于点，已知，，求证：直线为四边形的“等分积周线”；
    如图，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由．
24. 如图，将放在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，，是的角平分线，交轴于点，，垂足为
    
    求的长度．
    点是线段上的任意一点点不与、、重合，以为边，在的下方画出，交的延长线于点，在备用图中画出图形，并求的长用含的式子表示．
25. 实验探究：
    如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，请你观察图，猜想的度数是多少，并证明你的结论．
    将图中的三角形纸片剪下，如图折叠该纸片，探究与的数量关系．写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、月球距离地球表面约米，用科学记数法表示为米，是真命题；
B、用四舍五入法对取近似值为精确到，是真命题；
C、若代数式有意义，则的取值范围是，是假命题；
D、数据、、、的中位数是，是真命题；
故选：．
根据科学记数法．近似值，中位数判断即可．
本题考查真假命题的概念，以及科学记数法．近似值，中位数等知识点．
 

2.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，

故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出的度数，计算出结果．
本题考查的是线段垂直平分线的性质的知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设可打折，则有，
解得．
即最多打折．
故选：．
本题可设打折，根据保持利润率不低于，可列出不等式：，解出的值即可得出打的折数．
本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以．
 

4.【答案】 

【解析】解：可化为，
，
解得，
则原式

，
故选：．
由不等式的基本性质可得，即，再利用绝对值的性质化简可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的所有非负整数解是：，，，，，
不等式组的所有非负整数解的和是，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的两条腰上的高线长相等，原说法错误；
等腰三角形两底角的两条角平分线长相等，原说法错误；
等腰三角形两腰上的中线长相等，说法正确；
等腰三角形两腰上的高线长相等，说法正确．
所以说法中正确的有个．
故选：．
根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质，掌握三角形的高、中线以及角平分线的定义是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
当是腰长时，根据网格结构，可以找出以或为顶点的等腰直角三角形；当是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，垂直平分线上的格点都可以作为点，最后相加即可得解。
【解答】
解：如图，分情况讨论：

为等腰的底边时，符合条件的点有个；
为等腰的一条腰时，符合条件的点有个。
故符合条件的点共有个。
故选C。  

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，



故选：．
要求，只需求，而与互补，所以可以求出，进而求解问题．
主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图延长交于．
，
，
，，
，
，
，是直角三角形，故正确，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，故正确，
，，，
，
，
，故正确，
故选：．
正确．由，推出，由，，即可推出，延长即可解决问题．
正确．首先证明，再证明≌，即可解决问题．
正确．只要证明即可解决问题．
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

10.【答案】 

【解析】解：作轴于点，轴于，

设，则，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
当时，有最小值为，
的最小值为，
故选：．
利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用配方即可解决问题．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的变换旋转，配方法，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接用平方差公式进行分解．平方差公式：．
本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据完全平方公式，把等式左边展开后即可得出答案．
本题考查了完全平方公式，比较容易，主要是熟记完全平方公式．
 

13.【答案】或 

【解析】解：如图，点在边上，

，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
；
如图，点在延长线上，

，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
故AH或．
故答案为：或．
分两种情况画图：点在边上，点在延长线上，利用含度角的直角三角形分别进行计算即可．
本题考查了平行四边形的性质，含度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．
是的平分线，
，
是点到直线的最短距离垂线段最短，
，，
．
的最小值是，
故答案为：．
作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
 

15.【答案】或 

【解析】解：等腰中，，
，
分两种情况：
当时，，
，
，
，
直线垂直平分，
；
当时，，
直线垂直平分，
；
故答案为：或．
由勾股定理求出，分两种情况：当时，，，由等腰直角三角形的性质得出，得出即可；
当时，，得出即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键，注意分类讨论．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
．
故答案为．
由于，则点、点到直线的距离相等，利用三角形面积公式得到，两三角形的面积都减去三角形的面积，则，，然后利用进行计算即可．
本题考查了两平行线之间的距离：两平行线之间的距离等于一条直线上任意一点到另条直线的距离．也考查了三角形的面积．
 

17.【答案】或或 

【解析】解：分为三种情况：如图，在上，在上，
，，
，
，
，，
，
则≌，
，
即，
；
如图，在上，在上，
由知：，
，
；
，即此种情况不符合题意；
当、都在上时，如图，
，
；
当到点停止，在上时，，时，解得．
和都在上的情况不存在，的速度是每秒，的速度是每秒；
故答案为：或或．
根据题意化成四种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于的方程，求出即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等．
 

18.【答案】解：解不等式，得．
解不等式，得．
原不等式组的解集为． 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式
，
当时，
原式
． 

【解析】先把分子，分母分解因式，约分化简后将的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
 

20.【答案】；
，是的角平分线，
   

         

  
，
       
，

            
，

       
  
             
． 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
见答案；
见答案；

根据和的度数可以得到的度数．
根据是的角平分线，可以求得的度数，由，可得的度数，从而可得的度数．
由，，，从而可得的度数，由，从而得到的度数．
本题考查角的计算和旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的量．
 

21.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌．
当时，
平分，
，
平分，
，
当点在中点时，或时，；
解：当时，则有，
为等边三角形，
如图：此时，

．
如图，此时，

如图，此时，．

如图，此时．

综上所述，满足条件的的度数为或或． 

【解析】根据即可证明；
运动到中点点时，；利用等腰三角形的三线合一即可证明；
分在线段上、当点在的延长线上、点在的延长线上，画出四种图形，如图，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
本题是三角形综合题，考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会运用分类讨论思想．
 

22.【答案】证明：四边形  是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌．
解：四边形 是正方形．理由如下：
由可知，≌，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，
，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
矩形是正方形． 

【解析】由证明≌即可；
先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形，然后证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质以及正方形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示：作线段的中垂线即可；

不能，
理由：如图，若直线平分的面积，那么，
，
，
，
过点不能画出一条“等分积周线”

连接、，设，
垂直平分，，，，
，，，，
和中，根据勾股定理可得出：
，即，
解得：，所以，，
，
，
，
，
，
，
直线为四边形的“等分积周线”；

如图，在上取一点，使得，在上取一点，使得，
作直线，则是的等分积周线，
理由：由作图可得：，在上取一点，使得，则有，
，
，
在和中

≌，
，
又易得，
，
，
，
是的等分积周线，
若如图，当，时，直线也是的等分积周线．其实是同一条，
另外本问的说理也可以通过作高，进行相关计算说明． 

【解析】作线段的中垂线即可得出答案；
若直线平分的面积，那么，得出，进而得出答案；
根据勾股定理可得出：，进而得出，，进而得出周长与面积分别相等得出答案即可；
在上取一点，使得，在上取一点，使得，作直线，则是的等分积周线，结合全等三角形的判定与性质得出答案．
此题主要考查了应用与设计作图和全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据题意正确分割图形是解题关键．
 

24.【答案】解：点，
，
在中，，是的平分线，，
，
．

，
，
如图中，当点在线段上时，在上取一点，使得．

，，，
，
，
是等边三角形，
，，
，即，
，
，
≌，
，
，
，
．

当点在线段上时，在的延长线上取一点，使得．

，
，，
，
是等边三角形，
，，即，
，
，
≌，
，
，
，
，
综上所述，． 

【解析】根据直角三角形度角的性质即可解决问题．
分两种情形：如图中，当点在线段上时，在上取一点，使得当点在线段上时，在的延长线上取一点，使得利用全等三角形的性质解决问题即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：猜想：．
理由：如图中，连接，直线是的垂直平分线，
，
由折叠可知，，
，
是等边三角形，
，
．

结论：．
折纸方案：如图中，折叠，使得点落在上处，折痕为，连接．
理由：由折叠可知≌，
，，
，
，
，
≌，
，
． 

【解析】猜想：只要证明是等边三角形即可；
结论：折纸方案：如图，折叠，使得点落在上处，折痕为，连接由折叠可知≌，只要证明≌，即可推出；
本题考查翻折变换、矩形的性质、剪纸问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折变换添加辅助线，属于中考常考题型．