数学九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试课后测评

人教版2022年九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测卷

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．2x﹣1＝0 B．＝7 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．ax2+bx+c＝0

2．一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是（　　）

A．1 B．8 C．7 D．2

3．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方结果正确的是（　　）

A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝1 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2

4．解方程（x﹣3）2＝4，最合适的方法是（　　）

A．直接开平方法 B．配方法 

C．公式法 D．因式分解法

5．已知是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为（　　）

A． B． C．2 D．1

6．如图，把一块长为20cm，宽为15cm的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为150cm2，设剪去的小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）

A．（20﹣2x）（15﹣x）＝150 B．（20﹣x）（15﹣2x）＝150 

C．（20﹣x）（15﹣x）＝150 D．（20﹣2x）（15﹣2x）＝150

7．我县某村从2018年开始大力发展文旅产业，打造农家生态文化旅游．据统计，该村2018年农家生态文化旅游收入约为200万元，2020年该村农家生态文化旅游收入达到288万元．据此估计该村从2018年到2020年农家生态文化旅游收入的年平均增长率为（　　）

A．2% B．4.4% C．20% D．44%

8．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（　　）

A．2022 B．2026 C．2030 D．2034

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

9．写出一元二次方程x（x+5）＝3x﹣10的一般形式：　   　．

10．若（m﹣2）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为 　   　．

11．一元二次方程（x+）2﹣32＝0的解为 　   　．

12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　   　．

13．有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过3轮传染后共有 　   　只鸡受到传染．

14．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 　   　．

三．解答题（共7小题，满分52分）

15．（6分）解方程：

（1）2x2﹣4x﹣3＝0．

（2）x2+4x﹣2＝0．

16．（6分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

17．（6分）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．

18．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．

（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．

（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC是等腰三角形？

19．（8分）阅读下面的材料：

解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12＝0，解得y1＝3，y2＝4，当y＝3时，x2＝3，x＝±，当y＝4时，x2＝4，x＝±2．∴原方程有四个根是：x1＝，x2＝﹣，x3＝2，x4＝﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．

（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0；

（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值．

20．（9分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC＝，其中p＝，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积．

21．（9分）阅读材料并解决下列问题：

材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．

材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求+的值．

解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，

∴+＝＝＝＝﹣3．

根据上述材料解决下面的问题：

（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝　   　，x1x2＝　   　．

（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．

（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．

参考答案

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．解：A．方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C．方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

D．当a＝0时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：C．

2．解：关于x的一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项分别为4、1和﹣3．

所以一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是4+1﹣3＝2．

故选：D．

3．解：x2﹣2x﹣1＝0，

x2﹣2x＝1，

x2﹣2x+1＝2，

（x﹣1）2＝2．

故选：D．

4．解：（x﹣3）2＝4，

两边开方得：x﹣3＝±2，

即最合适的方法是直接开平方法，

故选：A．

5．解：∵是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，

∴（2+）2﹣4（2+）+c＝0，

解得c＝1．

故选：D．

6．解：设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（20﹣2x）cm，宽为（15﹣2x）cm的长方形，

依题意，得：（20﹣2x）（15﹣2x）＝150．

故选：D．

7．解：设该村从2018年到2020年农家生态文化旅游收入的年平均增长率为x，

依题意得：200（1+x）2＝288，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

故选：C．

8．解：∵x1是方程x2﹣4x﹣2022＝0的实数根，

∴x12﹣4x1﹣2022＝0，

∴x12＝4x1+2022，

∴x12﹣2x1+2x2＝4x1+2022﹣2x1+2x2＝2022+2（x1+x2），

∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝4，

∴x12﹣2x1+2x2＝2022+2×4＝2030．

故选：C．

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

9．解：去括号得x2+5x＝3x﹣10，

移项合并得x2+2x+10＝0．

故答案为：x2+2x+10＝0．

10．解：由题意，得

m﹣2≠0，

∴m≠2，

故答案为：m≠2．

11．解：（x+）2﹣32＝0，

（x+）2＝32，

x+＝±4，

x+＝4或x+＝﹣4，

x1＝3，x2＝﹣5，

故答案为：x1＝3，x2＝﹣5．

12．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×k＝8﹣4k＝0，

解得：k＝2，

故答案为：2．

13．解：设每轮传染中1只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有x只鸡被传染，第二种传染中有x（1+x）只鸡被传染，

依题意得：1+x+x（1+x）＝81，

整理得：（1+x）2＝81，

解得：x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去），

∴81+81x＝81+81×8＝729，

∴经过3轮传染后共有729只鸡受到传染．

故答案为：729．

14．解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，

化简得x2+10x+7＝0，

∵m，n是该方程的两根，

∴m+n＝﹣10，mn＝7，

∴+＝＝，

故答案为：．

三．解答题（共7小题，满分52分）

15．解：（1）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，

∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，

则x＝＝，

∴x1＝，x2＝；

（2）∵x2+4x﹣2＝0，

∴x2+4x＝2，

∴x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6，

∴x+2＝±，

∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．

16．解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为20+×10＝（140﹣2x）件，

依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，

整理得：x2﹣110x+3000＝0，

解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．

答：每件售价应定为50元．

17．解：（1）∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，

∴，

解得：k＞﹣2且k≠﹣1，

∴实数k的取值范围为k＞﹣2且k≠﹣1．

（2）∵k＞﹣2且k≠﹣1，

∴满足条件的k的最小整数值为0，此时原方程为x2﹣2＝0，

解得：x1＝，x2＝﹣．

18．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，

∴无论k取何值时方程总有两个实数根．

（2）解：∵方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的解为：

x＝＝，即x1＝k+2，x2＝k+1，

∵AB、AC是方程的两个实数根，

∴AB≠AC，

∵BC＝5，

∴当k+2＝5，或k+1＝5时，△ABC是等腰三角形，

∴k＝3或4，

故当k为3或4时，△ABC是等腰三角形．

19．解：（1）设y＝x2+x，则y2﹣5y+4＝0，

整理，得

（y﹣1）（y﹣4）＝0，

解得y1＝1，y2＝4，

当x2+x＝1即x2+x﹣1＝0时，解得：x＝；

当当x2+x＝4即x2+x﹣4＝0时，解得：x＝；

综上所述，原方程的解为x1，2＝，x3，4＝；

（2）设x＝a2+b2，则x2﹣3x﹣10＝0，

整理，得

（x﹣5）（x+2）＝0，

解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去），

故a2+b2＝5．

20．解：（1）由题意得：△＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0，

化简得：64m≤﹣64，

解得：m≤﹣1且m≠﹣2；

（2）由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长，

∴x1＝x2，

∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0，

解得m＝﹣1，

∴x2﹣6x+9＝0，

解得x1＝x2＝3，

∵BC＝4，

∴△ABC的周长为：3+3+4＝10；

（3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4，

∴p＝＝5，

∴S△ABC＝＝＝，

过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，

∵I是△ABC角平分线的交点，

∴IF＝ID＝IE，

∴S△ABC＝＝＝＝，

解得ID＝，

∴S△BIC＝．

21．解：（1）在5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，

∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．

故答案为：﹣2，﹣；

（2）∵m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，m≠n，

∴m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，

∴m+n＝1，mn＝﹣，

∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；

（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，

∴p+2q＝7，2pq＝2，

∴p2+4q2＝（p+2q）2﹣4pq＝72﹣2×2＝45．