专题29圆与四边形综合-2022-2023学年九年级数学上册考点精练（人教版）

专题29 圆与四边形综合

1．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”，如图1，四边形ABCD中，若，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形，根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半，根据以上信息回答：

(1)写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称______．

(2)如图2，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，若⊙O的半径为6，，求“奇妙四边形”ABCD的面积，

(3)如图3，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．

2．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．

(1)求证：AF=CE；

(2)若BF=2，，求⊙O的半径．

3．如图，四边形ABCD是的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分．

(1)求证：；

(2)若的半径为5，，求AD的长．

4．四边形ABCD内接于，AC为其中一条对角线．

(1)如图①，若，，求的度数；

(2)如图②，若AD经过圆心O，CE为的切线，B为的中点，，求的大小．

5．数学课上老师提出问题：“在矩形中，，，是的中点，是边上一点，以为圆心，为半径作，当等于多少时，与矩形的边相切？”．

小明的思路是：解题应分类讨论，显然不可能与边及所在直线相切，只需讨论与边及相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题：

(1)如图1，当与相切于点时，求的长；

(2)如图2，当与相切时，

①求的长；

②若点从点出发沿射线移动，连接，是的中点，则在点的移动过程中，直接写出点在内的路径长为______．

6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC=AB，⊙O为△ABC的外接圆．

（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；

（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．

①求证：AG=BG；②若AD=4，CD=5，求GF的长．

7．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）求证：△PEC是等腰三角形；

（3）若AC＋BC＝2时，求CD的长．

8．如图，，是的弦，平分．过点作的切线交的延长线于点，连接，．延长交于点，交于点，连接，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的长．

9．如图，已知内接于，AB是的直径，于点D，延长DO交于点F，连接．

（1）求证：；

（2）填空：

①当_________时，四边形是菱形；

②当_________时，．

10．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．

（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；

（2）若OB＝4，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．

11．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG，已知AG＝EG．

（1）求证：AG为⊙O的切线；

（2）已知AG＝2，填空：

①当四边形ABOF是菱形时，∠AEG＝　   　°；

②若OC＝2DC，△AGE为等腰直角三角形，则AB＝　   　．

12．如图，在中，，是的外接圆，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．

（1）求证：；

（2）填空：

①若，________；

②连接，当的度数为________时，四边形是菱形．

13．如图，在中，以为直径的经过点过点作的切线点是上不与点重合的一个动点，连接．

求证:；

填空:

当_           时，为等腰直角三角形:

当           时，四边形为菱形．

14．如图，已知是的直径，切于点，过作直线交于另一点，连接、．

（1）求证：平分；

（2）若是直径上方半圆弧上一动点，的半径为2，则

①当弦的长是          时，以，，，为顶点的四边形是正方形；

②当的长度是          时，以，，，为顶点的四边形是菱形．

15．如图，AB是⊙O的一条弦，C、D是⊙O上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD．

（1）若AC=BC，AB平分∠CBD，求证：AB=CD；

（2）若∠ADB=60°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值．