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    人教版数学八年级上册专项培优练习四《全等三角形证明题专练》(含答案)

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    这是一份人教版数学八年级上册专项培优练习四《全等三角形证明题专练》(含答案),共14页。

    1.如图,在△ABC中,D为AB的中点,DE∥BC,交AC于点E,DE∥AC,交BC于点F.
    (1)求证:DE=BF;
    (2)连接EF,请你猜想线段EF和AB有何关系?并对你的猜想加以证明.
    2.如图,在△ADF和△BCE中,AF=BE,AC=BD,∠A=∠B,∠B=32°,∠F=28°,BC=5cm,CD=1cm.
    求:(1)∠1的度数;(2)AC的长.
    3.如图,已知∠B+∠CDE=180°,AC=CE.求证:AB=DE.
    4.已知,△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
    (1)如图①,求证:AE=BD;
    (2)如图②,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中四对全等的直角三角形.
    5.如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D在同一条直线上.求证:BD=CE.
    6.如图,在△ABC中,M为BC的中点,DM⊥BC,DM与∠BAC的角平分线交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,求证:BE=CF.
    7.如图,在△ABC中,∠ABC=60゜,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,AD、CE交于O.
    (1)求∠AOC的度数;
    (2)求证:AC=AE+CD.
    8.如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE.
    (1)求证:AC=CD;
    (2)若AC=AE,求∠DEC的度数.
    9.如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.
    求证:AD+BC=AB.

    10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D,CG平分∠ACB交BD于点G,F为AB边上一点,连接CF,且∠ACF=∠CBG.
    求证:(1)AF=CG;
    (2)CF=2DE.
    11.如图,在△ABC中,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.
    (1)求证:∠EFA=90°﹣eq \f(1,2)∠B;
    (2)若∠B=60°,求证:EF=DF.
    12.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC.
    (1)求证:S△ABD:S△ACD=AB:AC;
    (2)若AB=4,AC=5,BC=6,求BD的长.

    参考答案
    1.证明:(1)∵D为AB的中点,
    ∴AD=DB,
    ∵DE∥BC,
    ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
    ∵DF∥AC,
    ∴∠DFB=∠C,
    ∴∠AED=∠DFB,
    在△ADE和△DBF中,
    ∴△ADE≌△DBF,
    ∴DE=BF.
    (2)EF∥AB且 EF=eq \f(1,2)AB,如图,
    ∵DE∥BC,
    ∴∠EDF=∠DFB,
    在△DBF和△FED中,
    ∴△DBF≌△FED
    ∴EF=BD=eq \f(1,2)AB,∠BDF=∠DFE,
    ∴EF∥AB.
    2.解:(1)∵AC=BD
    ∴AD=BC且AF=BE,∠A=∠B
    ∴△ADF≌△BCE(SAS)
    ∴∠E=∠F=28°,
    ∴∠1=∠B+∠E=32°+28°=60°;
    (2)∵△ADF≌△BCE
    ∴AD=BC=5cm,且CD=1cm,
    ∴AC=AD+CD=6cm.
    3.证明:如图,过E点作EH∥AB交BD的延长线于H,故∠A=∠CEH,
    在△ABC与△EHC中,
    ∴△ABC≌△EHC(ASA),
    ∴AB=HE,
    ∵∠B+∠CDE=180°,∠HDE+∠CDE=180°
    ∴∠HDE=∠B=∠H,
    ∴DE=HE.
    ∵AB=HE,
    ∴AB=DE.
    4. (1)证明:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
    ∴AC=BC,DC=EC,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
    ∴∠BCD=∠ACE,
    ∴△ACE≌△BCD(SAS),
    ∴AE=BD;
    (2)解:△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.
    5.证明:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
    ∴AD=AE,AB=AC,
    又∵∠EAC=90°+∠CAD,∠DAB=90°+∠CAD,
    ∴∠DAB=∠EAC,
    ∵在△ADB和△AEC中
    ∴△ADB≌△AEC(SAS),
    ∴BD=CE.
    6.解:连接DB.
    ∵点D在BC的垂直平分线上,
    ∴DB=DC;
    ∵D在∠BAC的平分线上,DE⊥AB,DF⊥AC,
    ∴DE=DF;
    ∵∠DFC=∠DEB=90°,
    在Rt△DCF和Rt△DBE中,
    DB=DC,DE=DF.
    ∴Rt△DCF≌Rt△DBE(HL),
    ∴CF=BE(全等三角形的对应边相等).
    7.解:如图,在AC上截取AF=AE,连接OF
    ∵AD平分∠BAC,
    ∴∠BAD=∠CAD,
    在△AOE和△AOF中
    ∴△AOE≌△AOF(SAS),
    ∴∠AOE=∠AOF,
    ∵∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC,∠ACB,
    ∴∠AOC=120°;
    (2)∵∠AOC=120°,
    ∴∠AOE=60°,
    ∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF,
    在△COF和△COD中,
    ∴△COF≌△COD(ASA)
    ∴CF=CD,
    ∴AC=AF+CF=AE+CD.
    8.解:∵∠BCE=∠ACD=90°,
    ∴∠3+∠4=∠4+∠5,
    ∴∠3=∠5,
    在△ACD中,∠ACD=90°,
    ∴∠2+∠D=90°,
    ∵∠BAE=∠1+∠2=90°,
    ∴∠1=∠D,
    在△ABC和△DEC中,
    ∠1=∠D,∠3=∠5,BC=CE,
    ∴△ABC≌△DEC(AAS),
    ∴AC=CD;
    (2)∵∠ACD=90°,AC=CD,
    ∴∠2=∠D=45°,
    ∵AE=AC,
    ∴∠4=∠6=67.5°,
    ∴∠DEC=180°-∠6=112.5°.
    9.证明:在AB上截取AF=AD,
    ∵AE平分∠PAB,
    ∴∠DAE=∠FAE,
    在△DAE和△FAE中,
    ∵,
    ∴△DAE≌△FAE(SAS),
    ∴∠AFE=∠ADE,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠ADE+∠C=180°,
    ∵∠AFE+∠EFB=180°,
    ∴∠EFB=∠C,
    ∵BE平分∠ABC,
    ∴∠EBF=∠EBC,
    在△BEF和△BEC中,
    ∵,
    ∴△BEF≌△BEC(AAS),
    ∴BC=BF,
    ∴AD+BC=AF+BF=AB.
    10.证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
    ∴∠CAB=45°,
    ∵CG平分∠ACB,
    ∴∠BCG=eq \f(1,2)∠ACB=45°,
    ∴∠CAB=∠BCG,
    在△ACF和△CBG中,
    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ACF=∠CBG,AC=CB,∠CAB=∠BCG)),
    ∴△ACF≌△CBG(ASA),
    ∴AF=CG.
    (2)如图,延长CG交AB于点H.
    ∵AC=BC, CG平分∠ACB,
    ∴CH⊥AB,且点H是AB的中点,
    又∵AD⊥AB,
    ∴CH∥AD,
    ∴∠D=∠CGE,
    又∵点H是AB的中点,
    ∴点G是BD的中点,
    ∴DG=GB,
    ∵△ACF≌△CBG,
    ∴CF=BG,
    ∴CF=DG,
    ∵E为AC边的中点,
    ∴AE=CE,
    在△AED和△CEG中,
    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DEA=∠GEC,∠D=∠CGE,AE=CE)),
    ∴△AED≌△CEG(AAS),
    ∴DE=GE,
    ∴DG=2DE,
    又∵CF=DG,
    ∴CF=2DE.
    11.证明:(1)∵∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B,
    又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
    ∴∠FAC=eq \f(1,2)∠BAC,∠FCA=eq \f(1,2)∠BCA,
    ∴∠FAC+∠FCA=eq \f(1,2)×(180°﹣∠B)=90°﹣eq \f(1,2)∠B,
    ∵∠EFA=∠FAC+∠FCA,
    ∴∠EFA=90°﹣eq \f(1,2)∠B.
    (2)如图,过点F作FG⊥BC于G,作FH⊥AB于H,作FM⊥AC于M.
    ∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
    ∴FG=FH=FM,
    ∵∠EFH+∠DFH=120°,
    ∠DFG+∠DFH=360°﹣90°×2﹣60°=120°,
    ∴∠EFH=∠DFG,
    在△EFH和△DFG中,

    ∴△EFH≌△DFG(AAS),
    ∴EF=DF.
    12.(1)证明:过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
    ∵AD平分∠BAC,
    ∴DE=DF,
    ∵S△ABD=eq \f(1,2)AB•DE,S△ACD=eq \f(1,2)AC•DF,
    ∴S△ABD:S△ACD=(eq \f(1,2)AB•DE):(eq \f(1,2)AC•DF)=AB:AC;
    (2)解:∵AD平分∠BAC,
    ∴=eq \f(4,5),
    ∴BD=eq \f(4,5)CD,
    ∵BC=6,
    ∴BD=.
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