人教版数学八年级上册专项培优练习四《全等三角形证明题专练》（含答案）

这是一份人教版数学八年级上册专项培优练习四《全等三角形证明题专练》（含答案），共14页。

1.如图，在△ABC中，D为AB的中点，DE∥BC，交AC于点E，DE∥AC，交BC于点F.
(1)求证：DE=BF；
(2)连接EF，请你猜想线段EF和AB有何关系？并对你的猜想加以证明.
2.如图，在△ADF和△BCE中，AF=BE，AC=BD，∠A=∠B，∠B=32°，∠F=28°，BC=5cm，CD=1cm.
求：(1)∠1的度数；(2)AC的长.
3.如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE.求证：AB=DE.
4.已知，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.
(1)如图①，求证：AE=BD；
(2)如图②，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形.
5.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上.求证：BD=CE.
6.如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF.
7.如图，在△ABC中，∠ABC=60゜，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O.
(1)求∠AOC的度数；
(2)求证：AC=AE+CD.
8.如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.
(1)求证：AC=CD；
(2)若AC=AE，求∠DEC的度数.
9.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D.
求证：AD+BC=AB.

10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG.
求证：(1)AF=CG；
(2)CF=2DE.
11.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.
(1)求证：∠EFA=90°﹣eq \f(1,2)∠B；
(2)若∠B=60°，求证：EF=DF.
12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.
(1)求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC；
(2)若AB=4，AC=5，BC=6，求BD的长.

参考答案
1.证明：(1)∵D为AB的中点，
∴AD=DB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠C，
∴∠AED=∠DFB，
在△ADE和△DBF中，
∴△ADE≌△DBF，
∴DE=BF.
(2)EF∥AB且 EF=eq \f(1,2)AB，如图，
∵DE∥BC，
∴∠EDF=∠DFB，
在△DBF和△FED中，
∴△DBF≌△FED
∴EF=BD=eq \f(1,2)AB，∠BDF=∠DFE，
∴EF∥AB.
2.解：(1)∵AC=BD
∴AD=BC且AF=BE，∠A=∠B
∴△ADF≌△BCE(SAS)
∴∠E=∠F=28°，
∴∠1=∠B+∠E=32°+28°=60°；
(2)∵△ADF≌△BCE
∴AD=BC=5cm，且CD=1cm，
∴AC=AD+CD=6cm.
3.证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，
在△ABC与△EHC中，
∴△ABC≌△EHC(ASA)，
∴AB=HE，
∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°
∴∠HDE=∠B=∠H，
∴DE=HE.
∵AB=HE，
∴AB=DE.
4. (1)证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB＋∠ACD=∠DCE＋∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD；
(2)解：△ACB≌△DCE，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE，△NCB≌△MCE.
5.证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE，AB=AC，
又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE.
6.解：连接DB.
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC；
∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
∵∠DFC=∠DEB=90°，
在Rt△DCF和Rt△DBE中，
DB=DC，DE=DF.
∴Rt△DCF≌Rt△DBE(HL)，
∴CF=BE(全等三角形的对应边相等).
7.解：如图，在AC上截取AF=AE，连接OF
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AOE和△AOF中
∴△AOE≌△AOF(SAS)，
∴∠AOE=∠AOF，
∵∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠AOC=120°；
(2)∵∠AOC=120°，
∴∠AOE=60°，
∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF，
在△COF和△COD中，
∴△COF≌△COD(ASA)
∴CF=CD，
∴AC=AF+CF=AE+CD.
8.解：∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠3+∠4=∠4+∠5，
∴∠3=∠5，
在△ACD中，∠ACD=90°，
∴∠2+∠D=90°，
∵∠BAE=∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠D，
在△ABC和△DEC中，
∠1=∠D，∠3=∠5，BC=CE，
∴△ABC≌△DEC(AAS)，
∴AC=CD；
(2)∵∠ACD=90°，AC=CD，
∴∠2=∠D=45°，
∵AE=AC，
∴∠4=∠6=67.5°，
∴∠DEC=180°-∠6=112.5°.
9.证明：在AB上截取AF=AD，
∵AE平分∠PAB，
∴∠DAE=∠FAE，
在△DAE和△FAE中，
∵，
∴△DAE≌△FAE(SAS)，
∴∠AFE=∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠C=180°，
∵∠AFE+∠EFB=180°，
∴∠EFB=∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
在△BEF和△BEC中，
∵，
∴△BEF≌△BEC(AAS)，
∴BC=BF，
∴AD+BC=AF+BF=AB．
10.证明：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠BCG=eq \f(1,2)∠ACB=45°，
∴∠CAB=∠BCG，
在△ACF和△CBG中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ACF＝∠CBG,AC＝CB,∠CAB＝∠BCG))，
∴△ACF≌△CBG(ASA)，
∴AF=CG.
(2)如图，延长CG交AB于点H.
∵AC=BC， CG平分∠ACB，
∴CH⊥AB，且点H是AB的中点，
又∵AD⊥AB，
∴CH∥AD，
∴∠D=∠CGE，
又∵点H是AB的中点，
∴点G是BD的中点，
∴DG=GB，
∵△ACF≌△CBG，
∴CF=BG，
∴CF=DG，
∵E为AC边的中点，
∴AE=CE，
在△AED和△CEG中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DEA＝∠GEC,∠D＝∠CGE,AE＝CE))，
∴△AED≌△CEG(AAS)，
∴DE=GE，
∴DG=2DE，
又∵CF=DG，
∴CF=2DE.
11.证明：(1)∵∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC=eq \f(1,2)∠BAC，∠FCA=eq \f(1,2)∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=eq \f(1,2)×(180°﹣∠B)=90°﹣eq \f(1,2)∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°﹣eq \f(1,2)∠B.
(2)如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M.
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°﹣90°×2﹣60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG(AAS)，
∴EF=DF.
12.(1)证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵S△ABD=eq \f(1,2)AB•DE，S△ACD=eq \f(1,2)AC•DF，
∴S△ABD：S△ACD=(eq \f(1,2)AB•DE)：(eq \f(1,2)AC•DF)=AB：AC；
(2)解：∵AD平分∠BAC，
∴=eq \f(4,5)，
∴BD=eq \f(4,5)CD，
∵BC=6，
∴BD=.