人教版数学八年级上册专项培优练习四《全等三角形证明题专练》(含答案)
展开1.如图,在△ABC中,D为AB的中点,DE∥BC,交AC于点E,DE∥AC,交BC于点F.
(1)求证:DE=BF;
(2)连接EF,请你猜想线段EF和AB有何关系?并对你的猜想加以证明.
2.如图,在△ADF和△BCE中,AF=BE,AC=BD,∠A=∠B,∠B=32°,∠F=28°,BC=5cm,CD=1cm.
求:(1)∠1的度数;(2)AC的长.
3.如图,已知∠B+∠CDE=180°,AC=CE.求证:AB=DE.
4.已知,△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
(1)如图①,求证:AE=BD;
(2)如图②,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中四对全等的直角三角形.
5.如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D在同一条直线上.求证:BD=CE.
6.如图,在△ABC中,M为BC的中点,DM⊥BC,DM与∠BAC的角平分线交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,求证:BE=CF.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=60゜,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,AD、CE交于O.
(1)求∠AOC的度数;
(2)求证:AC=AE+CD.
8.如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE.
(1)求证:AC=CD;
(2)若AC=AE,求∠DEC的度数.
9.如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.
求证:AD+BC=AB.
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D,CG平分∠ACB交BD于点G,F为AB边上一点,连接CF,且∠ACF=∠CBG.
求证:(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
11.如图,在△ABC中,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.
(1)求证:∠EFA=90°﹣eq \f(1,2)∠B;
(2)若∠B=60°,求证:EF=DF.
12.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC.
(1)求证:S△ABD:S△ACD=AB:AC;
(2)若AB=4,AC=5,BC=6,求BD的长.
参考答案
1.证明:(1)∵D为AB的中点,
∴AD=DB,
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∵DF∥AC,
∴∠DFB=∠C,
∴∠AED=∠DFB,
在△ADE和△DBF中,
∴△ADE≌△DBF,
∴DE=BF.
(2)EF∥AB且 EF=eq \f(1,2)AB,如图,
∵DE∥BC,
∴∠EDF=∠DFB,
在△DBF和△FED中,
∴△DBF≌△FED
∴EF=BD=eq \f(1,2)AB,∠BDF=∠DFE,
∴EF∥AB.
2.解:(1)∵AC=BD
∴AD=BC且AF=BE,∠A=∠B
∴△ADF≌△BCE(SAS)
∴∠E=∠F=28°,
∴∠1=∠B+∠E=32°+28°=60°;
(2)∵△ADF≌△BCE
∴AD=BC=5cm,且CD=1cm,
∴AC=AD+CD=6cm.
3.证明:如图,过E点作EH∥AB交BD的延长线于H,故∠A=∠CEH,
在△ABC与△EHC中,
∴△ABC≌△EHC(ASA),
∴AB=HE,
∵∠B+∠CDE=180°,∠HDE+∠CDE=180°
∴∠HDE=∠B=∠H,
∴DE=HE.
∵AB=HE,
∴AB=DE.
4. (1)证明:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD;
(2)解:△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.
5.证明:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE,AB=AC,
又∵∠EAC=90°+∠CAD,∠DAB=90°+∠CAD,
∴∠DAB=∠EAC,
∵在△ADB和△AEC中
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴BD=CE.
6.解:连接DB.
∵点D在BC的垂直平分线上,
∴DB=DC;
∵D在∠BAC的平分线上,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF;
∵∠DFC=∠DEB=90°,
在Rt△DCF和Rt△DBE中,
DB=DC,DE=DF.
∴Rt△DCF≌Rt△DBE(HL),
∴CF=BE(全等三角形的对应边相等).
7.解:如图,在AC上截取AF=AE,连接OF
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
在△AOE和△AOF中
∴△AOE≌△AOF(SAS),
∴∠AOE=∠AOF,
∵∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC,∠ACB,
∴∠AOC=120°;
(2)∵∠AOC=120°,
∴∠AOE=60°,
∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF,
在△COF和△COD中,
∴△COF≌△COD(ASA)
∴CF=CD,
∴AC=AF+CF=AE+CD.
8.解:∵∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠3+∠4=∠4+∠5,
∴∠3=∠5,
在△ACD中,∠ACD=90°,
∴∠2+∠D=90°,
∵∠BAE=∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠D,
在△ABC和△DEC中,
∠1=∠D,∠3=∠5,BC=CE,
∴△ABC≌△DEC(AAS),
∴AC=CD;
(2)∵∠ACD=90°,AC=CD,
∴∠2=∠D=45°,
∵AE=AC,
∴∠4=∠6=67.5°,
∴∠DEC=180°-∠6=112.5°.
9.证明:在AB上截取AF=AD,
∵AE平分∠PAB,
∴∠DAE=∠FAE,
在△DAE和△FAE中,
∵,
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AFE=∠ADE,
∵AD∥BC,
∴∠ADE+∠C=180°,
∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠C,
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF=∠EBC,
在△BEF和△BEC中,
∵,
∴△BEF≌△BEC(AAS),
∴BC=BF,
∴AD+BC=AF+BF=AB.
10.证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=45°,
∵CG平分∠ACB,
∴∠BCG=eq \f(1,2)∠ACB=45°,
∴∠CAB=∠BCG,
在△ACF和△CBG中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ACF=∠CBG,AC=CB,∠CAB=∠BCG)),
∴△ACF≌△CBG(ASA),
∴AF=CG.
(2)如图,延长CG交AB于点H.
∵AC=BC, CG平分∠ACB,
∴CH⊥AB,且点H是AB的中点,
又∵AD⊥AB,
∴CH∥AD,
∴∠D=∠CGE,
又∵点H是AB的中点,
∴点G是BD的中点,
∴DG=GB,
∵△ACF≌△CBG,
∴CF=BG,
∴CF=DG,
∵E为AC边的中点,
∴AE=CE,
在△AED和△CEG中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DEA=∠GEC,∠D=∠CGE,AE=CE)),
∴△AED≌△CEG(AAS),
∴DE=GE,
∴DG=2DE,
又∵CF=DG,
∴CF=2DE.
11.证明:(1)∵∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B,
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴∠FAC=eq \f(1,2)∠BAC,∠FCA=eq \f(1,2)∠BCA,
∴∠FAC+∠FCA=eq \f(1,2)×(180°﹣∠B)=90°﹣eq \f(1,2)∠B,
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA,
∴∠EFA=90°﹣eq \f(1,2)∠B.
(2)如图,过点F作FG⊥BC于G,作FH⊥AB于H,作FM⊥AC于M.
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴FG=FH=FM,
∵∠EFH+∠DFH=120°,
∠DFG+∠DFH=360°﹣90°×2﹣60°=120°,
∴∠EFH=∠DFG,
在△EFH和△DFG中,
,
∴△EFH≌△DFG(AAS),
∴EF=DF.
12.(1)证明:过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF,
∵S△ABD=eq \f(1,2)AB•DE,S△ACD=eq \f(1,2)AC•DF,
∴S△ABD:S△ACD=(eq \f(1,2)AB•DE):(eq \f(1,2)AC•DF)=AB:AC;
(2)解:∵AD平分∠BAC,
∴=eq \f(4,5),
∴BD=eq \f(4,5)CD,
∵BC=6,
∴BD=.
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