2020-2021学年第二章 整式的加减综合与测试导学案及答案

这是一份2020-2021学年第二章 整式的加减综合与测试导学案及答案，共19页。
第6讲 一元一次方程的实际应用
中考大纲


中考内容
中考要求
A
B
C
方程
了解方程是描述现实世界数量关系的有效模型；了解方程的解的意义；会由方程的解求方程中待定系数的值；了解估计方程解的过程
掌握等式的基本性质；能根据具体问题中的数量关系列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理
运用方程与不等式的有关内容解决有关问题
一元一次方程
了解一元一次方程的有关概念
能解一元一次方程

知识网络图



1和差倍分问题
知识概述


一． 列方程解应用题的步骤：
1． 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系；
2． 设：设未知数（一般求什么，就设什么为）；
3． 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；
4． 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；
5． 解：解所列出的方程，求出未知数的值；
6． 答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）．
二． 设未知数的方法：
1． 直接设未知数：指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况；
2． 间接设未知数：指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用；
3． 引入辅助未知数：为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程．
4． 辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去．
三． 和差倍分类常用关系式：
1． 比多，则；
2． 比少，则；
3． 是的倍，则；
4． 是的，则．

小试牛刀


【例】（2018•广东模拟）为了加快新农村建设，国务院决定：凡农民购买家电和摩托车享受政府13%的补贴（凭购物发票到乡镇财政所按13%领取补贴）．农民李伯伯家购买了一台彩电和一辆摩托车共花去6000元，且该辆摩托车的单价比所买彩电的单价的2倍还多600元．
（1）李伯伯可以到镇财政所领到的补贴是多少元？
（2）求李伯伯家所买的摩托车与彩电的单价各是多少元？
【解答】解：（1）根据题意可得：6000×13%=780，
答：李伯伯可以从政府领到补贴780元；
（2）设彩电的单价为x元/台，则摩托车的单价为：（2x+600）元，
x+2x+600=6000
3x=5400
解得：x=1800
2x+600=2×1800+600=4200，
答：彩电与摩托车的单价分别为1800元/台、4200元/辆．
再接再厉


　
【例】（2017秋•营山县期末）“元旦”期间，某文具店购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价如下表：
型号
进价（元/只）
售价（元/只）
A型
10
12
B型
15
23
（1）该店用1300元可以购进A，B两种型号的文具各多少只？
（2）若把所购进A，B两种型号的文具全部销售完，利润率超过40%没有？请你说明理由．
【解答】解：（1）设可以购进A种型号的文具x只，则可以购进B种型号的文具（100﹣x）只，
根据题意得：10x+15（100﹣x）=1300，
解得：x=40，
∴100﹣x=60．
答：该店用1300元可以购进A种型号的文具40只，B种型号的文具60只．
（2）（12﹣10）×40+（23﹣15）×60=560（元），
∵560÷1300×100%≈43.08%＞40%，
∴若把所购进A，B两种型号的文具全部销售完，利润率超过40%．
满分冲刺


【例】（2017秋•路北区期末）入冬以来，某家电销售部以150元/台的价格购进一款烤火器，很快售完，又用相同的货款再次购进这款烤火器，因单价提高了30元，进货量比第一次少了10台．
（1）家电销售部两次各购进烤火器多少台？
（2）若以250元/台的售价卖完这两批烤火器，家电销售部共获利多少元？
【解答】解：（1）设第一次购进烤火器x台，则第二次购进烤火器（x﹣10）台，
根据题意得：150x=180（x﹣10），
解得x=60，x﹣10=50．
答：家电销售部第一次购进烤火器60台，第二次购进50台．
（2）（250﹣150）×60+（250﹣180）×50=9500（元）．
答：以250元/台的售价卖完这两批烤火器，家电销售部共获利9500元．
总述

小结：
1． 列方程时设未知数的原则一般为“问啥设啥”；
2． 找等量关系是最重要也最难的一步，需要仔细审题，可以对关键词划线，见到“是”“为”“相等”等词时，可以等同于“”．



2工程问题
知识概述


1． 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间，三者的关系式为：
①工作量=工作效率×工作时间；
②工作时间=；
③工作效率=．
2． 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体，如果完成全部工作的时间为，则工作效率为
小试牛刀



【例】（2017秋•双城市期末）某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个．2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？
【解答】解：设安排x人加工甲部件，则安排（85﹣x）人加工乙部件，根据题意得
3×16x=2×10×（85﹣x），
解得x=25，
所以85﹣25=60（人），
答：安排25人加工甲部件，安排60人加工乙部件．
再接再厉


【例】（2018春•惠安县期中）一项工程，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作．
（1）求甲、乙合作多少天才能把该工程完成．
（2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为2500元，乙队每天的施工费用为3000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元．
【解答】解：（1）设甲、乙合作x天才能把该工程完成，
根据题意得：×4+（+）x=1，
解得：x=20．
答：甲、乙合作20天才能把该工程完成．
（2）甲队的费用为2500×（20+4）=60000（元），
乙队的费用为3000×20=60000（元），
60000+60000=120000（元）．
答：完成此项工程需付给甲、乙两队共120000元．
　
【练习】（2018春•唐河县期中）现加工一批机器零件，甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，现由乙先做1天，然后两人合作完成，共付给报酬600元，若按个人完成的工作量付给报酬，该如何分配？
【解答】解：设然后两人合作x天完成．
则列方程：+=1，
解得：x=2，
则甲、乙各做了工作量的．
故甲、乙平分300元．
故若按个人完成的工作量付给报酬，甲、乙各分300元．
总述

总结：工作量、工作效率、工作时间三者的关系式．



3行程问题—相遇
知识概述


一． 行程问题中的三个基本量及其关系：
路程速度时间： ．
时间路程速度：．
速度路程时间：．
（其中为路程，为速度，为时间）
二． 相遇问题：快行距慢行距原距：．
（快速慢速）时间距离： ．
小试牛刀


　
【例】（2017秋•松桃县期末）A、B两地相距64千米，甲从A 地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米；
（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？
（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？
【解答】（1）解：设需经过x小时两人相遇，
由题意得，（14+18）x=64，
解得：x=2，
答；两人同时出发相向而行，需经过2小时两人相遇；

（2）设两人同时出发相向而行，需y小时两人相距16千米，
①当两人没有相遇他们相距16千米，
由题意得：（14+18）y+16=64，
解得：y=1.5（小时）；
②当两人相遇之后他们相距16千米，
由题意得：（14+18）y=64+16，
解得：y=2.5（小时）．
答：若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米．
再接再厉


【例】（2017秋•邗江区期末）如图在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，用x（秒）表示运动时间．
（1）求点P和点Q相遇时的x值．
（2）连接PQ，当PQ平分矩形ABCD的面积时，求运动时间x值．
（3）若点P、点Q运动到6秒时同时改变速度，点P的速度变为每秒3cm，点Q的速度为每秒1cm，求在整个运动过程中，点P、点Q在运动路线上相距路程为20cm时运动时间x值．

【解答】解：（1）根据题意得：x+2x=12×2+8，
解得：x=．
答：点P和点Q相遇时x的值为．
（2）∵PQ平分矩形ABCD的面积，
∴DQ=BP，即2x=12﹣x，
解得：x=4．
答：当运动4秒时，PQ平分矩形ABCD的面积．
（3）12+12+8=32cm，（1+2）×6=18cm，
∵32﹣18=14cm＜20cm，
∴变速前点P、点Q在运动路线上可以相距20cm；
（32﹣6）÷3=s，2×6+×1=cm，
∵＞20，
∴变速后且点P未到达点D时，点P、点Q在运动路线上可以相距20cm．
变速前：x+2x=32﹣20，
解得：x=4；
变速后：12+（x﹣6）+6+3×（x﹣6）=32+20，
解得：x=．
答：当运动时间为4秒或秒时，点P、点Q在运动路线上相距路程为20cm．
满分冲刺


【练习】（2017秋•银海区期末）A、B两地相距216千米，甲、乙分别在A、B两地，若甲骑车的速度为15千米/时，乙骑车的速度为12千米/时．
1）甲、乙同时出发，背向而行，问几小时后他们相距351千米？
2）甲、乙相向而行，甲出发三小时后乙才出发，问乙出发几小时后两人相遇？
3）甲、乙相向而行，要使他们相遇于AB的中点，乙要比甲先出发几小时？
4）甲、乙同时出发，相向而行，甲到达B处，乙到达A处都分别立即返回，几小时后相遇？相遇地点距离A有多远？
【解答】解：（1）设x小时后他们相距351千米，
根据题意得：216+（15+12）x=351，
解得：x=5．
答：5小时后他们相距351千米．
（2）设乙出发y小时后两人相遇，则甲出发（y+3）小时后两人相遇，
根据题意得：15（y+3）+12y=216，
解得：y=．
答：乙出发小时后两人相遇．
（3）设乙比甲先出发z小时，
根据题意得：+z=，
解得：z=1.8．
答：乙要比甲先出发1.8小时．
（4）设t小时后相遇，
根据题意得：（15+12）t=216×3，
解得：t=24．
12×24﹣216=72（千米）．
答：24小时后相遇，相遇地点距离A有72千米．
　　
【巩固】（2017秋•高新区期末）列方程解应用题：
甲、乙两站相距448km，一列慢车从甲站出发开往乙站，速度为60km/h；一列快车从乙站出发开往甲站，速度为100km/h
（1）两车同时出发，出发后多少时间两车相遇？
（2）慢车先出发32min，快车开出后多少时间两车相距48km？
【解答】解：（1）设两车同时出发，出发后x小时两车相遇，依题意有
60x+100x=448，
解得x=2.8．
故两车同时出发，出发后2.8小时两车相遇；
（2）设慢车先出发32min，快车开出后y小时两车相距48km，
相遇前相距48km，依题意有
60×+60y+100y=448﹣48，
解得y=2.3；
相遇后相距48km，依题意有
60×+60y+100y=448+48，
解得y=2.9．
故慢车先出发32min，快车开出后2.3小时或2.9小时两车相距48km．
总述

小结：
1． “相遇问题”的关键词是“相向而行”；
2． 若两人不是同时出发，则从同时出发的时间为起点计算距离；
3． 应用题一定要注意单位统一．



4行程问题—追及
知识概述


一． 行程问题中的三个基本量及其关系：
路程速度时间： ．
时间路程速度：．
速度路程时间：．
（其中为路程，为速度，为时间）
二． 追及问题：快行距慢行距原距：．
（快速慢速）时间距离：．

小试牛刀


【例】（2017秋•郑州期末）乐乐家距离学校2800米，一天早晨，他以80米/分的速度上学，5分钟后乐乐的妈妈发现他忘了带数学书，妈妈立即以180米/分的速度去追乐乐，并且在途中追上了他．
（1）妈妈追上乐乐用了多长时间？
（2）放学后乐乐仍以80米/分的速度回家，出发10分钟时，同学英树以280米/分的速度从学校出发骑自行车回家，乐乐家和英树家是邻居（两家距离忽略不计，两人路上互不等待，两人到家后不再外出），请问英树出发多长时间，两人相距300米？
【解答】解：（1）设妈妈追上乐乐用了x分长时间，依题意有
180x=80x+80×5，
解得x=4．
故妈妈追上乐乐用了4分长时间；
（2）设英树出发y分长时间，两人相距300米，依题意有
①英树在乐乐后面相距300米，
280y=80y+80×10﹣300，
解得y=2.5；
②英树在乐乐前面相距300米
280y=80y+80×10+300，
解得y=5.5；
或80（y+10）=2800﹣300，
解得y=21.25．
故英树出发2.5分或5.5分或21.25分长时间，两人相距300米．
再接再厉


【例】（2017秋•滕州市期末）如图，在长方形ABCD中，AB=14cm，AD=8cm，动点P沿AB边从点A开始，向点B以1cm/s的速度运动；动点Q从点D开始沿DA→AB边，向点B以2cm/s的速度运动．P，Q同时开始运动，当点Q到达B点时，点P和点Q同时停止运动，用t（s）表示运动的时间．
（1）当点Q在DA边上运动时，t为何值，使AQ=AP？
（2）当t为何值时，AQ+AP等于长方形ABCD周长的？
（3）当t为何值时，点Q能追上点P？

【解答】解：（1）当点Q在DA边上运动，运动时间为ts时，AQ=（8﹣2t）cm，AP=tcm，
根据题意得：8﹣2t=t，
解得：t=．
答：t为时，AQ=AP．
（2）当点Q在DA边上运动时（0≤t≤4），此时AQ=（8﹣2t）cm，AP=t，
根据题意得：8﹣2t+t=2×（14+8）×，
解得：t=；
当点Q在AB边上运动时（4≤t≤11），此时AQ=（2t﹣8）cm，AP=t，
根据题意得：2t﹣8+t=2×（14+8）×，
解得：t=．
综上所述：当t为或时，AQ+AP等于长方形ABCD周长的．
（3）根据题意得：2t﹣8=t，
解得：t=8．
答：当t为8时，点Q能追上点P．
满分冲刺

　
【练习】（2017秋•利川市期末）甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为24千米．甲队步行速度为4千米/时，乙队步行速度为6千米/时．甲队出发1小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在两队之间来回进行一次联络（不停顿），他跑步的速度为10千米/时．
（1）乙队追上甲队需要多长时间？
（2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？
（3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为1千米？
【解答】解：（1）设乙队追上甲队需要x小时，
根据题意得：6x=4（x+1），
解得：x=2．
答：乙队追上甲队需要2小时．
（2）设联络员追上甲队需要y小时，
10y=4（y+1），
∴y=，
设联络员从甲队返回乙队需要a小时，
6（+a）+10a=×10，
∴a=，
∴联络员跑步的总路程为10（+）=
答：他跑步的总路程是千米．
（3）要分三种情况讨论：
设t小时两队间间隔的路程为1千米，则
①当甲队出发1小时后，相遇前与乙队相距1千米，
由题意得：6（t﹣1）﹣4（t﹣1）=4×1﹣1，
解得：t=2.5．
②当甲队出发1小时后，相遇后与乙队相距1千米，
由题意得：6（t﹣1）﹣4（t﹣1）═4×1+1，
解得：t=3.5．
③乙队到达后两队间间隔的路程为1千米，
由题意得：4t=24﹣1，
解得：t=5.75．
答：2.5小时或3.5小时或5.75小时两队间间隔的路程为1千米．
　
【例】（2017秋•长清区期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数____；点P表示的数_____（用含t的代数式表示）
（2）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是_____．
（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
（4）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？

【解答】解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22，
∴点B表示的数是8﹣22=﹣14，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
∴点P表示的数是8﹣5t．

（2）①当点P在点A、B两点之间运动时：

MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=×22=11，
②当点P运动到点B的左侧时：

MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=11，
∴线段MN的长度不发生变化，其值为11．

（3）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：
①点P、Q相遇之前，
由题意得3t+2+5t=22，解得t=2.5；
②点P、Q相遇之后，
由题意得3t﹣2+5t=22，解得t=3．
答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；

（4）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，

则AC=5x，BC=3x，
∵AC﹣BC=AB，
∴5x﹣3x=22，
解得：x=11，
∴点P运动11秒时追上点Q．
故答案为：﹣14，8﹣5t；11．
总述

小结：
1． “追及问题”的关键词是“同向而行”；
2． “行军问题”的公式为，其中是队伍长度，是往返队伍的总时间．


综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，电子蚂蚁P、Q在边长为1个单位长度的正方形ABCD的边上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作顺时针运动，电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度秒的速度绕正方形作逆时针运动，则它们第2019次相遇在（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【解答】解：设两只电子蚂蚁每隔x秒相遇一次，
根据题意得：（+）x＝1×4，
解得：x＝2．
∵电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动，
2秒后它到达B点，即第一次它们相遇在B点，
∴第2次相遇在C点，第3次相遇在D点，第4次相遇在A点，第5次相遇在B点，第6次相遇在C点，…．
又∵2019÷4＝504……3，
∴第2019次相遇和第3次相遇地点相同，即第2019次相遇在点D．
故选：D．
2．已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度和车长分别是（　　）
A．20米/秒，200米 B．18米/秒，180米
C．16米/秒，160米 D．15米/秒，150米
【解答】解：设火车的速度是x米/秒，
根据题意得：
800﹣40x＝60x﹣800，
解得：x＝16，
即火车的速度是16米/秒，
火车的车长是：60×16﹣800＝160（米），
故选：C．
3．在2019年1月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数（如图，如框出了10，17，24），则这三个数的和可能的是（　　）

A．21 B．27 C．50 D．75
【解答】解：设三个数中间的一个数为x，则另外两个数分别为x﹣7、x+7，
根据题意得：（x﹣7）+x+（x+7）＝21或（x﹣7）+x+（x+7）＝27或（x﹣7）+x+（x+7）＝50或（x﹣7）+x+（x+7）＝75，
解得：x＝7或x＝9或x＝或x＝25，
又∵x＝7或x＝或x＝25不符合题意，
∴这三个数的和只可能是27．
故选：B．
二．填空题（共1小题）
4．春节假期，小陈驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了40分钟，返回时平均速度提高了25千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少了10分钟，求小陈去时的平均速度，设他去时驾车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为　x＝（x+25）　．
【解答】解：设他去时驾车的平均速度为x千米/小时，则返回时驾车的平均速度为（x+25）千米/小时，
依题意，得：x＝（x+25）．
故答案为：x＝（x+25）．
三．解答题（共3小题）
5．甲、乙两人在400米的环形跑道上进行早锻炼，甲慢跑速度为105米/分，乙步行速度为25米/分，两人同时同地同向出发，经过多少时间，两人第一次相遇？（请列一元一次方程求解）
【解答】解：设经过x分钟后两人第一次相遇，
可列方程：105x﹣25x＝400
解得x＝5
答：经过5分钟，两人第一次相遇．
6．用A4纸在某眷印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费1元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.4元，在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.8元，当复印的张数超过20页时，请问答以下问题．
（1）复印张数为多少页时，某眷印社与某图书馆的收费相同？
（2）如何选择更省钱？
【解答】解：（1）设复印张数为x页，（x＞20），列方程得：
20+0.4（x﹣20）＝0.8x
解得：x＝30
答：复印张数为30页时，某眷印社与某图书馆的收费相同．

（2）20+0.4（x﹣20）＞0.8x
解得：x＜30
答：当复印张数大于0小于30页时，选某图书馆；当复印张数为30页时，两店一样；当复印张数大于30页时，选某眷印社．
7．小邢和小华相约放学后去公园跑步，她们一起以4km/h的速度从学校出发，走了15分钟后小邢发现忘了带作业，就以5km/h的速度回学校去拿，到达学校后，又用了6分钟取作业，之后便以同样的速度去追赶小华，结果在距公园3km处追上了小华，试求学校与公园的距离．
【解答】解：根据题意得：
走了15分钟后，二者与学校的距离为：4×＝1（km），
小邢返回学校所用的时间t1＝＝0.2h，
二者分开后小华走的时间为t2＝0.2+＝0.3（h），
二者分开后小华走的距离为：4×0.3＝1.2（km），
设小邢追上小华所用的时间为th，
根据题意得：
5t＝4t+1+1.2，
解得：t＝2.2，
这段时间小华走的距离为：4×2.2＝8.8（km），
学校与公园的距离为：8.8+1+1.2+3＝14（km），
答：学校与公园的距离为14km．