数学八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形当堂检测题

这是一份数学八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形当堂检测题，共28页。
专题10 正方形
专题测试
1．(2018春•巴南区期末)如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若AB＝AF，则∠BFE＝(　　)

A．45° B．30° C．60° D．55°
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵AB＝AF，
∴AF＝AD，

∴△ABF和△ADF都是等腰三角形，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BAD+∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，
∴2∠2+2∠3＝270°，
∴∠2+∠3＝135°，
∴∠BFE＝180°﹣135°＝45°，
故选：A．
2．(2018春•玄武区期末)如图，在边长为4的正方形ABCD内取一点E，使得BE＝CE，连接ED、BD．BD与CE相交于点O，若∠EOD＝75°，则△BED的面积为(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图所示：过点E作EF⊥BC，垂足为F，作EG⊥DC，垂足为G．

∵∠EOD＝75°，∠ECD+∠ODC＝∠EOD，
∴∠ECD＝30°．
∴∠ECB＝60°．
又∵BE＝CE，
∴△BCE为等边三角形．
∴EC＝BC＝4．
∴EFFC＝2．
∵在Rt△EGC中，∠ECG＝30°，
∴EGEC＝2．
∴S四边形BDECCB•EFDC•EG4×24×2＝44．
又∵S△BCDBC•DC＝8，
∴△BED的面积＝(44)﹣8＝44．
故选：B．
3．(2018春•洛宁县期末)如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作第n个正方形的面积为 (　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵正方形OA1B1C的边长为1，对角线A1C和OB1交于点M1，
∴第一个正方形的面积为1，点M1(，)，
则第二个正方形的面积为；
∵以A1M1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2，
∴点M2(，)，
则第三个正方形的面积为(1)2；
∵以A1M2为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3，
∴M3(，)，
则第四个正方形的面积为(1)2，
……
所以第n个正方形的面积为，
故选：C．
4．(2018春•乐亭县期末)已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有(　　)
①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；
③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC时，它是菱形，故①正确，
当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，
当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确，
当AC＝BD时，它是矩形，故④错误，
故选：A．
5．(2018秋•临渭区期末)正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC＝FC；②∠AED＝75°；③AFCE；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有(　　)个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°
∵△AEF是等边三角形
∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°
∵AD＝AB，AF＝AE
∴△ABF≌△ADE
∴BF＝DE
∴BC﹣BF＝CD﹣DE
∴CE＝CF
故①正确
∵CE＝CF，∠C＝90°
∴EFCE，∠CEF＝45°
∴AFCE，
∵∠AED＝180°﹣∠CEF﹣∠AEF
∴∠AED＝75°
故②③正确
∵AE＝AF，CE＝CF
∴AC垂直平分EF
故④正确
故选：D．
6．(2018春•澄海区期末)如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都是1，正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为(　　)

A． B． C．3 D．5
【答案】D
【解析】解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．

∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
即∠AED＝∠DFC＝90°．
∵ABCD为正方形，
∴∠ADC＝90°．
∴∠ADE+∠CDF＝90°．
又∵∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠CDF＝∠DAE．
在△ADE和△DCF中

∴△ADE≌△DCF(AAS)，
∴CF＝DE＝1．
∵DF＝2，
∴CD2＝12+22＝5，
即正方形ABCD的面积为5．
故选：D．
7．(2018春•慈溪市期末)如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM，则四边形ANCM是(　　)

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
【答案】B
【解析】证明：∵MN垂直平分AC，

∴AO＝CO，∠AOM＝90°，
又∵AD∥BC，
∴∠MAC＝∠NCA，
在△AOPM和△CON中，
，
∴△AOPM≌△CON，
∴OM＝ON，
∴AC和MN互相垂直平分，
∴四边形ANCM是菱形；
故选：B．
8．(2018春•如皋市期末)如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO．若AB＝4，AO＝6，则AC的长等于(　　)

A．12 B．16 C．8+6 D．4+6
【答案】B
【解析】解：在AC上取一点G使CG＝AB＝4，连接OG

∵∠ABO＝90°﹣∠AHB，∠OCG＝90°﹣∠OHC，∠OHC＝∠AHB
∴∠ABO＝∠OCG
∵OB＝OC，CG＝AB
∴△OGC≌△OAB
∴OG＝OA＝6，∠BOA＝∠GOC
∵∠GOC+∠GOH＝90°
∴∠GOH+∠BOA＝90°
即：∠AOG＝90°
∴△AOG是等腰直角三角形，AG＝12(勾股定理)
∴AC＝16．
故选：B．
9．(2018春•江夏区期末)如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠BDC交AC于F，交BC于E．若正方形ABCD的边长为2，则3OF+2CE＝(　　)(供参考(1)(1)＝a﹣1，其中a≥0)

A．3 B．4+2 C．1 D．2
【答案】D
【解析】解：在正方形ABCD中，∵AD＝DC＝2，∠ADC＝90°，
∴AC＝2，
∴OC，
∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
∵ED平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE＝22.5°，
∴∠DEC＝67.5°，
∵∠FCE＝45°，
∴∠EFC＝67.5°＝∠DEC，
∴EC＝FC，
∴2CE+2OF＝2OC＝2，
过F作FG⊥CD于G，
∵AC⊥BD，ED平分∠BDC，
∴OF＝FG，
∵∠ACD＝45°，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴CFFGOF，
∴OFOF＝OC，
∴OF2，
∴3OF+2CE＝OF+2OF+2CE＝222．
故选：D．
10．(2018春•江海区期末)如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是(　　)

A．2 B．2 C．2 D．
【答案】A
【解析】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，

则S△BCE＝S△BCP+S△BEP，
即BE•hBC•PQBE•PR，
∵BE＝BC，
∴h＝PQ+PR，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴h＝42．
故选：A．
11．(2018春•遵义期末)如图，在正方形OABC中，点A的坐标是(﹣3，1)，点B的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是(　　)

A．(﹣2，4)，(1，3) B．(﹣2，4)，(2，3)
C．(﹣3，4)，(1，4) D．(﹣3，4)，(1，3)
【答案】A
【解析】解：如图所示：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，作BF⊥AE于F，

则∠AEO＝∠ODC＝∠BFA＝90°，
∴∠OAE+∠AOE＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝CO＝BA，∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COD＝90°，
∴∠OAE＝∠COD，
在△AOE和△OCD中，，
∴△AOE≌△OCD(AAS)，
∴AE＝OD，OE＝CD，
∵点A的坐标是(﹣3，1)，
∴OE＝3，AE＝1，
∴OD＝1，CD＝3，
∴C(1，3)，
同理：△AOE≌△BAF，
∴AE＝BF＝1，OE﹣BF＝3﹣1＝2，
∴B(﹣2，4)；
故选：A．
12．(2018春•安溪县期末)将n个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于_____．

【答案】(n﹣1)
【解析】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是．
n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为(n﹣1)(n﹣1)．
故答案为：(n﹣1)．
13．(2018春•江岸区期末)如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F分别在边AD和边BC上，且BF＝ED＝3cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P自A→F→B→A方向运动，点Q自C→D→E→C方向运动若点P、Q的运动速度分别为1cm/s，3cm/s，设运动时间为t(0＜t≤8)，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t＝_______．

【答案】3s或6s
【解析】解：由P、Q速度和运动方向可知，当Q运动EC上，P在AF上运动时，
若EQ＝FP，A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形
∴3t﹣7＝5﹣t
∴t＝3
当P、Q分别在BC、AD上时
若QD＝BP，形A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形
此时Q点已经完成第一周
∴4﹣[3(t﹣4)﹣4]＝t﹣5+1
∴t＝6
故答案为：3s或6s
14．(2018春•琼中县期末)如图，正方形ABCD中，E是AD上任意一点，CF⊥BE于F点，AG⊥BE于G点．
求证：AG＝BF．

【答案】见解析
【解析】证明：∵CF⊥BE于F点，AG⊥BE于G点，
∴∠AGB＝∠BFC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝∠ABG+∠CBF＝90°，
又∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ABG＝∠BCF，
在△ABG和△BCF中，
，
∴△ABG≌△BCF，
∴AG＝BF．
15．(2018春•宿豫区期末)如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点G．
(1)求证：△ADF≌△DCE；
(2)若BG＝BC，求的值．

【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADF＝∠DCE＝90°，
在△ADF和△DCE中
，
∴△ADF≌△DCE(SAS)，
(2)过点B作BH⊥AG于H，

由(1)得△ADF≌△DCE，
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADG+∠CDE＝90°，
∴∠ADG+∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∵BH⊥AG，
∴∠BHA＝90°，
∴∠BHA＝∠AGD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵∠ABH+∠BAH＝90°，∠DAG+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠DAG，
在△ABH和△ADG中
，
∴△ABH≌△ADG(AAS)，
∴AH＝DG，
∵BG＝BC，BA＝BC，
∴BA＝BG，
∴AHAG，
∴DGAG，
∴．
16．(2018春•安庆期末)操作与证明：如图，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AC、AE、AF．其中AC与EF交于点N，取AF中点M，连接MD、MN．
(1)求证：△AEF是等腰三角形；
(2)在(1)的条件下，请判断MD，MN的数量关系和位置关系，并给出证明．

【答案】见解析
【解析】证明：(1)如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∵△EFC是等腰直角三角形，
∴CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE＝AF，
∴△AFE是等腰三角形；
(2)DM＝MN，且DM⊥MN，
理由是：如图，在Rt△ADF中，∵M是AF的中点，
∴DMAF，
∵EC＝FC，AC平分∠ECF
∴AC⊥EF，EN＝FN
∴∠ANF＝90°
∴MNAF，
∴MD＝MN，
由(1)得：△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠FAD，
∵DMAF＝AM，
∴∠FAD＝∠ADM，
∵∠FMD＝∠FAD+∠ADM＝2∠FAD，
∵AM＝FM，EN＝FN
∴MN∥AE，
∴∠FMN＝∠EAF，
∵∠BAD＝∠EAF+∠BAE+∠FAD＝∠EAF+2∠FAD＝90°，
∴∠DMN＝∠FMN+∠FMD＝∠EAF+2∠FAD＝90°，
∴MD⊥MN.
17．(2018春•邻水县期末)已知：四边形ABCD是正方形，E是AB边上一点，F是BC延长线上一点，且DE＝DF．
(1)如图1，求证：DF⊥DE；
(2)如图2，连接AC，EF交于点M，求证：M是EF的中点．

【答案】见解析
【解析】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCB＝90°．
∴∠DCF＝180°﹣90°＝90°．
∴∠DAE＝∠DCF．
在Rt△DAE和Rt△DCF中，，
∴Rt△DAE≌Rt△DCF(HL)．
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDF+∠CDE＝90°，
即∠EDF＝90°，
∴DF⊥DE．
(2)过点F作GF⊥CF交AC的延长线于点G，

则∠GFC＝90°．
∵正方形ABCD中，∠B＝90°，
∴∠GFC＝∠B．
∴AB∥GF．
∴∠BAC＝∠G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°．
∴∠BAC＝∠BCA＝∠FCG＝∠G＝45°．
∴FC＝FG．
∵△DAE≌△DCF，
∴AE＝CF．
∴AE＝FG．
在△AEM和△GFM中，
，
∴△AEM≌△GFM(AAS)．
∴ME＝MF．
即M是EF的中点．
18．(2018春•增城区期末)如图①，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是延长线上一点．MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．
(1)若点F是AD的中点，求证：MD＝MN；
(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变．如图②所示，则结论“MD＝MN”是否成立．若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

【答案】见解析
【解析】解：(1)如图，取AD的中点F，连接FM．

∵∠FDM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠FDM＝∠BMN，
∵AFADAB＝AM＝MB＝DF，
∵BN平分∠CBE，即∠NBE∠CBE＝45°，
又∵AM＝AF，
∴∠AFM＝45°，
∴∠DFM＝∠MBN＝135°．
∵DF＝MB，
在△DFM和△MBN中
，
∴△DFM≌△MBN(ASA)．
∴DM＝MN．
(2)结论“DM＝MN”仍成立．
证明如下：如图，在AD上截取AF'＝AM，连接F'M．

∵DF'＝AD﹣AF'，MB＝AB﹣AM，AD＝AB，AF'＝AM，
∴DF'＝MB．
∵∠F'DM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠F'DM＝∠BMN．
又∠DF'M＝∠MBN＝135°，
在△DF'M和△MBN中
，
∴△DF'M≌△MBN(ASA)．
∴DM＝MN．
19．(2018春•岳池县期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．
(1)判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)若将平行四边形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，得到的四边形BPCO是什么四边形，并说明理由；
(3)若得到的是正方形BPCO，则四边形ABCD是_____．(选填平行四边形、矩形、菱形、正方形中你认为正确的一个)

【答案】见解析
【解析】解：(1)四边形BPCO为平行四边形，理由如下：
∵BP∥AC，CP∥BD，
∴四边形BPCO为平行四边形．
(2)四边形BPCO为矩形，理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，则∠BOC＝90°，
由(1)得四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为矩形．

(3)四边形ABCD是正方形，理由如下：
∵四边形BPCO是正方形，
∴OB＝OC，且OB⊥OC．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，
∴AC＝BD，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
20．(2018春•禄劝县期末)已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形．
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)在△ABC中，若AC＝BC，则四边形ADCE是____；(只写结论，不需证明)
(3)在(2)的条件下，当AC⊥BC时，求证：四边形ADCE是正方形．

【答案】见解析
【解析】证明：(1)∵四边形BCED是平行四边形，
∴BD∥CE，BD＝CE；
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝CE；
又∵BD∥CE，
∴四边形ADCE是平行四边形．
(2)在△ABC中，若AC＝BC，则四边形ADCE是矩形，
故答案为：矩形；
(3)∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°；
∵在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴CD＝ADAB；
∵在△ABC中，AC＝BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°；
∴平行四边形ADCE是正方形．
21．(2018春•中山市期末)如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA＝BC．
(1)证明：四边形DEFG为菱形；
(2)猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．

【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵D、E分别为AC、AB的中点，
∴ED∥BC，EDBC．
同理FG∥BC，FGBC，
∴ED∥FG，ED＝FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵AE＝BE，FH＝BF，
∴EFHA，
∵BC＝HA，
∴EFBC＝DE，
∴▱DEFG是菱形；
(2)猜想：AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，
理由是：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴CDAC，BEAB，
∴CD＝BE，
在△DCB和△EBC中，
∵，
∴△DCB≌△EBC(SAS)，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴HC＝HB，
∵点G、F分别为HC、HB的中点，
∴HGHC，HFHB，
∴GH＝HF，
由(1)知：四边形DEFG是菱形，
∴DF＝2FH，EG＝2GH，
∴DF＝EG，
∴四边形DEFG为正方形．
22．(2018春•韩城市期末)如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．
(1)求证：△BDE≌△BAC；
(2)①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；
②求证：四边形ADEG是平行四边形；
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．

【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD(同为∠EBA的余角)．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△BDE≌△BAC(SAS)，
(2)①∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，
∴∠EDA＝α﹣45°，
∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，
②证明：∵△BDE≌△BAC，
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°
＝225°﹣∠BAC
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形(一组对边平行且相等)．
(3)结论：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．
理由：由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．
∵四边形ABDI是正方形，
∴ADAB．
又∵四边形ACHG是正方形，
∴AC＝AG，
∴ACAB．
∴当∠BAC＝135°且ACAB时，四边形ADEG是正方形．
23．(2018春•曲阳县期末)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
(1)求证：BM＝CM；
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
(3)当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形MENF是正方形？为什么？

【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中，

∴△ABM≌△DCM(SAS)，
∴BM＝CM；
(2)四边形MENF是菱形．
证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NECM，
∵MFCM，
∴NE＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由(1)知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；

(3)当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．
理由：∵M为AD中点，
∴AD＝2AM，
∵AD：AB＝2：1，
∴AM＝AB，
∵∠A＝90
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，
同理∠DMC＝45°，
∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形，
即当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．
24．(2018春•闵行区期末)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点，E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连结BF．
(1)求证：四边形ADBF是平行四边形；
(2)当D为边BC的中点，且BC＝2AC时，求证：四边形ACDF为正方形．

【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠BDE，
在△AEF与△BED中，
，
∴△AEF≌△BED，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形；
(2)∵CD＝DB，AE＝BE，
∴DE∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠AFD＝∠FDB＝90°，
∴∠C＝∠CDF＝∠AFD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∵BC＝2AC，CD＝BD，
∴CA＝CD，
∴四边形ACDF是正方形．
25．(2018春•灵石县期末)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的角平分线，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交其延长线于点F．
求证：四边形ABFE是正方形．

【答案】见解析
【解析】证明：∵AE∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠BAE＝180°，
∴∠BAE＝90°，
∵EF⊥BC于F，
∴∠F＝90°，
∵∠F＝∠ABC＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∴∠AEB＝∠EBF＝45°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE，
∴四边形ABFE是正方形．
26．(2018春•涟源市期末)如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，连接DE、DF．
(1)试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论．
(2)若DE＝13，EF＝10，求AD的长．
(3)△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？

【答案】见解析
【解析】解：(1)四边形AEDF是菱形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°
∵在△AEO和△AFO中
∵，
∴△AEO≌△AFO(ASA)，
∴EO＝FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形；
(2)∵四边形AEDF是菱形，EF＝10，
∴∠DOE＝90°，OEEF＝5，AD＝2OD，
在Rt△DOE中，∵DE＝13，
∴OD12，
∴AD＝2OD＝24；
(3)当△ABC中，∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．