中考数学专题复习 专题25 正方形

中考数学总复习六大策略

1、学会运用函数与方程思想。

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法

2、学会运用数形结合思想。

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。

3、要学会抢得分点。

一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。

4、学会运用等价转换思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

5、学会运用分类讨论的思想。

如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

6、转化思想:

体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。

专题25  正方形问题

1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质：

(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；

(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；

(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴；

(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；

(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3．正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

一是先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形。

二是先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。

4．正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，S=

【例题1】(2020•台州)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为　   　．(用含a，b的代数式表示)

【对点练习】(2019·广西贺州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为　   　．

【例题2】(2020•青岛)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为　    　．

【对点练习】(2019内蒙古包头)如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是(　　)

A． B． C．﹣1 D．

【例题3】(2020•湘西州)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．

(1)求证：△BAE≌△CDE；

(2)求∠AEB的度数．

【对点练习】(2019湖南株洲)如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．

(1)求证：△DOG≌△COE；

(2)若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG的边长．

一、选择题

1．(2020•河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(﹣2，6)和(7，0)．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为(　　)

A．(，2) B．(2，2) C．(，2) D．(4，2)

2．(2020•湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是(　　)

A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2

3．(2020•温州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为(　　)

A．14 B．15 C．8 D．6

4．(2020•南京)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0，8)．则点D的坐标是(　　)

A．(9，2) B．(9，3) C．(10，2) D．(10，3)

5.(2020•天津)如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是(　　)

A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)

二、填空题

6．(2020•连云港)如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为(3，9)、(12，9)，则顶点A的坐标为　     　．

7．(2020•绍兴)如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为　    　．

8．(2020•天水)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为　     　．

9．(2020•德州)如图，在矩形ABCD中，AB2，AD．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是2；②弧D'D″的长度是π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是　      　．

10．(2020•攀枝花)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：

①AF⊥DE；②DG；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．

其中正确的结论有　   　．(请填上所有正确结论的序号)

11．(2020•咸宁)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点(不与点B，C重合)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：

①△ABE∽△ECG；

②AE＝EF；

③∠DAF＝∠CFE；

④△CEF的面积的最大值为1．

其中正确结论的序号是　     　．(把正确结论的序号都填上)

12．(2020•河南)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　   　．

三、解答题

13．(2020•遵义)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点(点E与点A、C不重合)，连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．

(1)求证：EF＝DE；

(2)当AF＝2时，求GE的长．

14．(2019湖南湘西州)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF

＝CE．

(1)求证：△ABF≌△CBE；

(2)若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．

15.(2020湖北仙桃模拟)如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：

(1)AE⊥BF；

(2)四边形BEGF是平行四边形．

16．(2019•山东泰安)如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．

(1)试判断AG与FG是否相等？并给出证明；

(2)若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

17.(2019•四川省凉山州)如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．