2022-2023学年广西南宁四十七中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁四十七中九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形分别是中国铁路、中国交建、中国航天、中国公路的标志，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知点的坐标是，则点关于原点的对称点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度字，数据整理如下：，，，，，，，，，，对于这组数据，下列说法正确的是(    )

A. 众数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 中位数是

4. 下列命题中，正确的个数是(    )
   直径是弦，弦是直径；
   弦是圆上的两点间的部分；
   半圆是弧，但弧不一定是半圆；
   直径相等的两个圆是等圆；
   等于半径两倍的线段是直径．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 如图，在中，点，点分别是，的中点，点是上一点，且，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，此时点在边上，则旋转角的大小为(    )
    

A.  B.  C.  D.

7. 如图：为内一点，平分，，，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是(    )

A.  B.  C.  D. 或

9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 二次函数的图象如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 将个数，，，排成行、列，两边各加一条竖线，记成，并规定例如，则的根的情况为(    )

A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根

12. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；若为任意实数，则；；；若，且，则其中正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共12分）

13. 因式分解：______．
14. 已知关于的方程的两实数根互为相反数，则_____．
15. 飞机着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，则飞机停下前最后秒滑行的距离是______米．
16. 如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是______．

17. 如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中点到点的最大距离是______．

18. 如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角，再过点作轴交直线和直线于，两点，再以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，，按此规律进行下去，则等腰直角的边长为______用含正整数的代数式表示

三、计算题（本大题共2小题，共12分）

19. 计算：．
20. 解方程：．

四、解答题（本大题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    如图，在中，，是的一个外角．
    作的平分线；
    作线段的垂直平分线，与交于点，与边交于点，连接，．
    判断四边形的形状并加以证明．

22. 本小题分
    “聚焦双减，落实五项管理”，为了解双减政策实施以来同学们的学习状态，某校志愿
    者调研了七，八年级部分同学完成作业的时间情况．从七，八年级中各抽取名同学作业完成时间数据单位：分钟进行整理和分析，共分为四个时段表示作业完成时间，取整数；；；；，完成作业不超过分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息：
    七年级抽取名同学的完成作业时间：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    
    八年级抽取名同学中完成作业时间在时段的所有数据为：，，，，，，，．
    七、八年级抽取的同学完成作业时间统计表：

根据以上信息，解答下列问题：
填空：______，______，并补全统计图；
根据以上数据分析，双减政策背景的作业时间管理中，哪个年级落实得更好？请说明理由；写出一条即可
该校七年级有人，八年级有人，估计七，八年级时间管理优秀的共有多少人？

23. 本小题分
    如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
    方程；方程这两个方程中，是倍根方程的是______填序号即可；
    若是倍根方程，求的值；
    关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式．
24. 本小题分
    年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．
    直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
    将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？
    该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围．
25. 本小题分
    在正方形中，是边上一点点不与点、重合，连接．
    【感知】如图，过点作交于点易证≌不需要证明．
    【探究】如图，取的中点，过点作交于点，交于点．
    求证：；
    连接，若，求的长．
    【应用】如图，取的中点，连接，过点作交于点，连接、若，求四边形的面积．
     

26. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点点在点的左侧，且点坐标为，直线的解析式为．
    求抛物线的解析式；
    过点作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及相应点的坐标；
    将抛物线向左平移个单位，已知点为抛物线的对称轴上一动点，点为平移后的抛物线上一动点．在中，当四边形的面积最大时，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：点的坐标是，
点关于原点的对称点的坐标是，
故选：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
 

3.【答案】 

【解析】解：以上数据重新排列为：，，，，，，，，，，
众数为、中位数为，
故选：．
根据中位数、众数的概念求解可得．
本题考查的是众数和中位数的概念；熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：直径是弦，弦不一定直径，所以错误；
弦是圆上两点之间的线段，所以错误；
半圆是弧，但弧不一定是半圆，所以正确；
直径相等的两个圆是等圆，所以正确；
等于半径两倍的弦是直径，所以错误．
故选：．
根据与圆有关的定义对各命题进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：点，点分别是，的中点，，
，
在中，，点是的中点，，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
绕点按顺时针方向旋转后得到，
，等于旋转角，
，
，
旋转角为．
故选B．
先根据互余得到，再根据旋转的性质得，等于旋转角，再根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形的内角和定理计算出，于是得到旋转角为．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，延长交于，






平分，，
，
在和中，

为等腰三角形，
，，
，
，
．
故选A．

本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
延长交于，如图，利用平分，先判断为等腰三角形得到，，再证明，然后计算即可．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】
解：，
，
，，
，，
等腰三角形的三边是，，
，
不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
等腰三角形的三边是，，，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是；
即等腰三角形的周长是．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：当时，二次函数开口向下，顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当时，二次函数开口向上，顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：．
根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与二次函数与轴的交点分别为与，二次函数的开口向上，据此和一次函数与二次函数的性质分与判断一次函数与二次函数的图象．
此题主要考查了二次函数及一次函数的图象与系数的关系，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质，考查数形结合的数学思想，从图中得到函数的最小值和最大值是解题的关键．
函数的最小值是图象的最低点结合解析式可以得到，是顶点坐标的纵坐标，最大值从最高点可以看出来，即当时，，从而得到的取值范围．
【解答】
解：函数的最小值是，最大值是，
函数的取值范围是，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：根据规定得，整理得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先利用新规定得到，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，即，所以正确；
抛物线对称轴为直线，
函数的最大值为，
，即，所以正确；
抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
当时，，
，所以错误；
，，
，即，所以正确；
，
，
，
，
而，
，即，
，
，所以正确．
综上所述，正确的有共个．
故选：．
根据抛物线开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，即，即可判断；根据二次函数的性质得当时，函数有最大值，即可判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在的右侧，则当时，，所以，即可判断；把代入可对进行判断；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算得到可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置．也考查了二次函数的性质．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程为常数根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则；也考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根属于基础题．
设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得到，解得，然后分别计算，最后确定．
【解答】
解：设方程的两根分别为，，
的两实数根互为相反数，
，解得，
当，方程变为：，，方程没有实数根，所以舍去；
当，方程变为：，，方程有两个不相等的实数根；
．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：，
，抛物线开口向下，
当时，有最大值，此时，
飞机从落地到停下来共需秒，
飞机前秒滑行的距离为：米，
飞机停下前最后秒滑行的距离为：米，
故答案为：．
根据二次函数的解析式求得其对称轴即可得出飞机滑行所需时间为秒，再求出前秒飞机滑行的距离即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：抛物线与直线交点坐标为，，
或时，抛物线在直线上方，
使成立的的取值范围是或．
故答案为：或．
根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解．
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求解．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接、、，
，，
，
，四边形是矩形，
，
，
根据三角形的三边关系得，，
当过点时，等号成立，的值最大，最大值为．
故答案为：．
取的中点，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得过点时最大．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出过的中点时值最大是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：点在直线上，
点横坐标为，将代入得，
点坐标为．
为等腰直角三角形，
，
点坐标为．
过点作过点轴，
，的横坐标为，将分别代入与中得，的纵坐标分别为，，
即，，，
．
同理可得，
．
故答案为：．
列出各点坐标寻找规律，横纵坐标成倍扩大．
本题考查一次函数图象上点的特征及等腰直角三角形的性质，解题关键是通过计算找出点及边长变化规律．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】利用算术平方根、零指数幂、去绝对值、立方根的计算法则计算即可．
本题考查了算术平方根、零指数幂、去绝对值、立方根的计算，本题的关键要掌握这些计算法则．
 

20.【答案】解：，，，
，
，
，． 

【解析】先计算出，然后代入一元二次方程的求根公式进行求解．
本题解一元二次方程公式法：一元二次方程、、为常数，的求根公式为．
 

21.【答案】解：如图，射线即为所求．
如图，即为所求．

四边形为菱形，理由如下：
，
，
为的平分线，
，
，
，
为线段的垂直平分线，
，，，
，
，
为等腰三角形，
即，
，
四边形为菱形． 

【解析】根据角平分线的作图步骤作图即可．
根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可．
根据等腰三角形的性质、角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质，结合菱形的判定定理即可得出结论．
本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：将八年级抽取名同学的完成作业时间按从小到大的顺序，第，个数均在时段，
而时段的所有数据为：，，，，，，，，
按从小到大排列为：，，，，，，，，
则第，个数均为，所以中位数．
将七年级抽取名同学的完成作业时间出现次数最多的是分，因此众数是分，即，
故答案为：，，补全频数分布直方图如下：

七年级落实的好，理由：七年级学生完成作业的平均时间为分，比八年级的少；
七年级作业管理为优秀所占的比例为，八年级作业管理为优秀所占的比例为，
所以七、八年级作业管理为优秀的人数为人，
答：七，八年级时间管理优秀的共有人．
根据中位数、众数的意义求解即可；
从平均数、中位数、众数方面比较得出答案；
分别求出求出七，八年级时间管理优秀的人数，再相加即可．
本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
 

23.【答案】 

【解析】解：在方程中，；
在方程中，．
是倍根方程的是．
故答案为：．
整理得：，
是倍根方程，
，
．
是倍根方程，
，
整理得：．
在一次函数的图象上，
，
，，
此方程的表达式为．
根据“倍根方程”的定义，找出方程、中的值，由此即可得出结论；
将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出，整理后即可得出的值；
根据方程是倍根方程即可得出、之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出、之间的关系，进而即可求出、的值，此题得解．
本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：根据题意得：，
与之间的函数关系式为；
根据题意得：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元；
依题意剩余利润为元，
捐款后每天剩余利润不低于元，
，即，
由得或，
，，
捐款后每天剩余利润不低于元，，
答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 

【解析】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
根据销售利润销售量售价进价，列出平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的的取值范围即可
 

25.【答案】解：感知：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
探究：如图，

过点作于，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，
同感知的方法得，，
在和中，
，
≌，
，
由知，，
连接，
，点是的中点，
，
；
应用：同探究得，，
，
同探究得，，
，
． 

【解析】感知：利用同角的余角相等判断出，即可得出结论；
探究：判断出，同感知的方法判断出≌，即可得出结论；
利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，
应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．
 

26.【答案】解：直线的解析式为，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为、；
则，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
如图，过点、分别作轴的平行线分别交于点，交于点，

，则设直线的表达式为：，
联立并解得：或与点重合，故点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，即点，故BH，
设点，则点，
则四边形的面积，
，故有最大值，当时，的最大值为，此时点；

存在，理由：
，抛物线向左平移个单位，
则新抛物线的表达式为：，
点、的坐标分别为、；设点，点，；
当是平行四边形的边时，
点向右平移个单位向上平移个单位得到，同样点向右平移个单位向上平移个单位得到，
即，
则或，
故点的坐标为或；
当是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：，解得：，
，
故点的坐标；
综上点的坐标为：或或 

【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
利用直线的解析式求出点、的坐标，则，即，解得：，即可求解；
四边形的面积，即可求解；
分是平行四边形的边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．