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山西省太原市小店区知达常青藤中学2021-2022学年八年级上学期调研数学试卷(10月份,解析版)
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这是一份山西省太原市小店区知达常青藤中学2021-2022学年八年级上学期调研数学试卷(10月份,解析版)，共21页。试卷主要包含了客观题，填空题，主观题等内容，欢迎下载使用。
山西省太原市小店区知达常青藤中学2021-2022学年八年级上学期调研数学试卷（10月份）解析版
一、客观题
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0.575757 D．
2．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝40°，∠B＝50°
3．（3分）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
4．（3分）设m＝，则（ ）
A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
5．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．（+）（﹣）＝3
C．＝+ D．＝×
6．（3分）如图，数轴上点A所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2
7．（3分）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
8．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（ ）
A．171 B．79 C．100 D．81
10．（3分）如图，△ABC是一张纸片，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，现将其折叠使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）比较大小： ．
13．（3分）已知＝5.706，＝18.044，那么0.3256的平方根是 ．
14．（3分）若实数m、n满足|m﹣6|＝0，且m、n恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为 ．
15．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC中AB边上的高为 ．
16．（3分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．
17．（3分）如图，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是 m．
18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是 ．
三、主观题
19．（12分）计算
（1）
（2）
（3）
20．（6分）把下列各数填入相应的集合中
在，，0，3.14，﹣，﹣，，7.151551⋯（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中
整数集合{ ……}；
分数集合{ ……}；
无理数集合{ ……}．
21．（6分）现有三块两直角边长分别为1和2的直角三角形纸板，借助下面5×5的网格，用全部纸板分别拼出3个面积为3且周长不同的四边形，并写出相应四边形的周长．
22．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．
23．（6分）晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：＝，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ．
（3）应用运算规律，化简：．
24．（9分）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形ABCD的长AD是个单位长度，长方形EFGH的长EH是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为．
（1）点H在数轴上表示的数是 ，点A在数轴上表示的数是 ；
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为x秒，问当x为多少时，原点O恰为线段MN的三等分点？
（3）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点，长方形ABCD以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形EFGH保持不动，设运动时间为t秒，是否存在一个t的值，使以M，N，F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求t的值；不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、客观题
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0.575757 D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、0.575757是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝40°，∠B＝50°
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵AB＝，BC＝4，AC＝5，
∴BC2+AC2＝AB2＝41，
∴∠C＝90°，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵AB：BC：AC＝3：4：5（设AB＝3x，BC＝4x，AC＝5x），
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠A＝40°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，注意：①如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，②三角形的内角和等于180°．
3．（3分）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
4．（3分）设m＝，则（ ）
A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
【分析】先估算出的范围，再求﹣1的范围，最后求的范围，即可解答．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴＜＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
5．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．（+）（﹣）＝3
C．＝+ D．＝×
【分析】直接利用二次根式混合运算法则结合二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意；
B．（+）（﹣）＝3，故此选项符合题意；
C.＝，故此选项不合题意；
D.＝×，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式混合运算以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
6．（3分）如图，数轴上点A所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据勾股定理，可得斜线的长，根据圆的性质，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得
斜线的为＝，
由圆的性质得：点A表示的数为﹣1+，即﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出斜线的长是解题关键．
7．（3分）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．
【解答】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，
∴7不是广义勾股数，故①结论正确；
②∵13＝22+32，
∴13是广义勾股数，故②结论正确；
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；
④设，，
则
＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）
＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，
ad＝bc或ac＝bd时，两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，
如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，
∴依次正确的是①②．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．
8．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b
【分析】根据＝|a|化简，然后去绝对值化简即可．
【解答】解：根据数轴知道﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+b﹣1+a﹣b
＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，掌握＝|a|是解题的关键．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（ ）
A．171 B．79 C．100 D．81
【分析】利用勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
连接BD，在直角△ABD和△BCD中，
BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S2＝125﹣46＝79，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
10．（3分）如图，△ABC是一张纸片，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，现将其折叠使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【分析】方法一：由折叠的性质得出AD＝BD，设AD＝x，则CD＝8﹣x，可得出62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝．再在直角三角形ADE中利用勾股定理即可得出答案．
方法二：直接利用勾股定理得出AB的长，再利用相似三角形的判定与性质得出DE的长．
【解答】解：方法一：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD＝BD，AE＝EB＝5，∠AED＝∠BED＝90°，
设AD＝x，则CD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，∵AC2+CD2＝AD2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝．
∴AD＝．
在Rt△ADE中，DE＝＝＝．
故选：A．
方法二：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵现将其折叠．使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AE＝BE＝5，
∵∠DEB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
即＝，
解得：DE＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出△BDE∽△BAC是解题关键．
二、填空题
11．（3分）计算的结果是 ．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，在解答此类题目时要先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
12．（3分）比较大小： ＜ ．
【分析】先估算出的值，再根据同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的数较大即可进行解答．
【解答】解：∵≈1.7，
∴﹣1＜1，
∴＜．
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是实数的大小比较及估算无理数的大小，解答此题时要熟知：同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的较大．
13．（3分）已知＝5.706，＝18.044，那么0.3256的平方根是 ±0.5706 ．
【分析】根据平方根的意义，被开方数的小数点每移动两位，其结果的小数点移动一位，据此计算即可．
【解答】解∵＝5.706，
∴0.3256的平方根是±0.5706；
故答案为：±0.5706．
【点评】本题主要考查了平方根与算术平方根，能根据小数点移动规律进行分析是解此题的关键．
14．（3分）若实数m、n满足|m﹣6|＝0，且m、n恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为 10或8 ．
【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，然后利用勾股定理解答；需要分类讨论：n直角边和斜边两种情况．
【解答】解：∵|m﹣6|＝0，且|m﹣6|≥0，≥0，
∴m＝6，n＝8．
①当m，n是直角边时，
∴直角三角形的斜边＝＝10，
②当m＝8是斜边时，斜边为8，
故答案为：10或8．
【点评】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，根据非负数的性质求得m、n的值是解题的突破口．
15．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC中AB边上的高为 2 ．
【分析】根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出AB，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形ABC面积，利用面积法求出AB边上的高即可．
【解答】解：如图，CD为AB边上的高，
∴AB＝＝2，
∵S△ABC＝9﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4，
∴CD＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
16．（3分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm．
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：＝15（cm），
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．
17．（3分）如图，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是 13 m．
【分析】设BC＝xm，根据题意用x表示出AC和OC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设BC＝xm，则AC＝xm，OC＝（25﹣x）m，
由勾股定理得，BC2＝OB2+OC2，
即x2＝52+（25﹣x）2，
解得x＝13．
答：机器人行走的路程BC是13m．
故答案为：13
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是 2 ．
【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接BE，
则BE就是PA+PE的最小值，
∵Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴CE＝2cm，
∴BE＝，
∴PA+PE的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】考查等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
三、主观题
19．（12分）计算
（1）
（2）
（3）
【分析】（1）化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）先算乘法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（3）用平方差，完全平方公式展开，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+2
＝+2；
（2）原式＝6﹣3﹣
＝；
（3）原式＝4﹣3+3﹣2+2
＝6﹣2．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
20．（6分）把下列各数填入相应的集合中
在，，0，3.14，﹣，﹣，，7.151551⋯（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中
整数集合{ 0， ……}；
分数集合{ ，3.14 ……}；
无理数集合{ ，﹣，，7.151551⋯（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”） ……}．
【分析】根据实数的分类进行判定即可得出答案．
【解答】解：整数集合{0，﹣……}；
分数集合{，3.14……}；
无理数集合{，﹣，，7.151551⋯（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）……}．
故答案为：0，﹣；
，3.14；
，﹣，，7.151551⋯（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）．
【点评】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行进行求解是解决本题的关键．
21．（6分）现有三块两直角边长分别为1和2的直角三角形纸板，借助下面5×5的网格，用全部纸板分别拼出3个面积为3且周长不同的四边形，并写出相应四边形的周长．
【分析】根据题意设计出不同形状的四边形进而利用勾股定理求出周长即可．
【解答】解；如图所示：
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确利用勾股定理得出是解题关键．
22．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，再△ADC中利用勾股定理逆定理得到∠CAD＝90°，进而求出∠A的度数．
【解答】解：
连接AC，∵AB＝BC＝2，且∠ABC＝90°，
∴且∠CAB＝45°，
又∵AD＝1，CD＝3，
∴AD2+AC2＝CD2
∴∠CAD＝90°，
∴∠A＝∠CAD+∠CAB＝135°．
【点评】本题考查了勾股定理和其逆定理的运用，解题的关键是连接AC，构造直角三角形．
23．（6分）晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：＝，
特例4： ＝5 （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ＝（n+1）（n为正整数） ．
（3）应用运算规律，化简：．
【分析】（1）利用前面三个特例中数与数的关系写出第四个特例；
（2）根据四个特例中数子的变换规律写出用正整数n表示的运算规律；
（3）根据（2）中规律得到原式＝2019×，然后根据二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：（1）答案为＝5；
（2）答案为＝（n+1）（n为正整数）；
（3）原式＝2019×
＝2019
＝2019．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．（9分）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形ABCD的长AD是个单位长度，长方形EFGH的长EH是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为．
（1）点H在数轴上表示的数是 13 ，点A在数轴上表示的数是 ﹣11 ；
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为x秒，问当x为多少时，原点O恰为线段MN的三等分点？
（3）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点，长方形ABCD以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形EFGH保持不动，设运动时间为t秒，是否存在一个t的值，使以M，N，F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求t的值；不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据数轴上点的平移规律“左加右减”即可求得结论；（2）先根据题意求得点M、N在数轴上对应的数，再根据点M、N运动规律求得运动后所对应的数，点O为MN的三等分点要分两种情形：OM＝2ON或ON＝2OM进行讨论，分别列方程求解，要注意对结果要进行验证；（3）以M，N，F三点为顶点的三角形是直角三角形，∵∠FNM≠90°，只要分两种情形进行讨论：∠FMN＝90°或∠MFN＝90°，运用勾股定理即可构建方程求解．
【解答】解：（1）∵长方形EFGH的长EH是个单位长度，且点E在数轴上表示的数是，
∴点H在数轴上表示的数为5+＝13，
∵E，D两点之间的距离为，长方形ABCD的长AD是个单位长度，
∴点A在数轴上表示的数为5﹣12﹣4＝﹣11；
故答案为：13，﹣11；
（2）由题意知，线段AD的中点为M，则M表示的数为﹣9，线段EH上有一点N，且EN＝EH，则N表示的数为．
M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过x秒后，M点表示的数为，N点表示的数为，
即：OM＝，ON＝，
∵原点O恰为线段MN的三等分点，
∴OM＝2ON或2OM＝ON且点O在线段MN上，即M、N表示的数异号，
①当OM＝2ON时，则有，
解得或，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意．
②当2OM＝ON时，则有，
解得，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意；
综上所述，当或时，原点O恰为线段MN的三等分点．
（3）根据题意，因为M、N、F三点中点M的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况：
①当∠FMN＝90°时，点M与点E重合，此时4t＝14，
解得：t＝；
②当∠MFN＝90°时，
∵∠FEN＝90°，EF＝EN＝，
∴∠FNE＝45°，
∴∠EFM＝45°，
∵∠FEM＝90°，
∴∠FME＝45°＝∠EFM，
∴EM＝EF＝，
∴4t＝，
解得．
③如图，连接FN，
∵EFGH是长方形，
∴∠FEN＝90°，
∵EF＝EN＝，
∴∠FNM＝45°或135°，
∴∠FNM≠90°．
综上所述，存在这样的t，t的值为或．
【点评】本题主要考查了数轴，数形结合，绝对值方程和一元一次方程的应用，动点问题，勾股定理等知识点，第二问和第三问都要分类讨论，本题有较大难度，属于综合性较强的压轴题．
山西省太原市小店区知达常青藤中学2021-2022学年八年级上学期调研数学试卷（10月份）解析版
一、客观题
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0.575757 D．
2．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝40°，∠B＝50°
3．（3分）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
4．（3分）设m＝，则（ ）
A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
5．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．（+）（﹣）＝3
C．＝+ D．＝×
6．（3分）如图，数轴上点A所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2
7．（3分）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
8．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（ ）
A．171 B．79 C．100 D．81
10．（3分）如图，△ABC是一张纸片，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，现将其折叠使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）比较大小： ．
13．（3分）已知＝5.706，＝18.044，那么0.3256的平方根是 ．
14．（3分）若实数m、n满足|m﹣6|＝0，且m、n恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为 ．
15．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC中AB边上的高为 ．
16．（3分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．
17．（3分）如图，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是 m．
18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是 ．
三、主观题
19．（12分）计算
（1）
（2）
（3）
20．（6分）把下列各数填入相应的集合中
在，，0，3.14，﹣，﹣，，7.151551⋯（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中
整数集合{ ……}；
分数集合{ ……}；
无理数集合{ ……}．
21．（6分）现有三块两直角边长分别为1和2的直角三角形纸板，借助下面5×5的网格，用全部纸板分别拼出3个面积为3且周长不同的四边形，并写出相应四边形的周长．
22．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．
23．（6分）晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：＝，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ．
（3）应用运算规律，化简：．
24．（9分）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形ABCD的长AD是个单位长度，长方形EFGH的长EH是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为．
（1）点H在数轴上表示的数是 ，点A在数轴上表示的数是 ；
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为x秒，问当x为多少时，原点O恰为线段MN的三等分点？
（3）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点，长方形ABCD以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形EFGH保持不动，设运动时间为t秒，是否存在一个t的值，使以M，N，F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求t的值；不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、客观题
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0.575757 D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、0.575757是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝40°，∠B＝50°
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵AB＝，BC＝4，AC＝5，
∴BC2+AC2＝AB2＝41，
∴∠C＝90°，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵AB：BC：AC＝3：4：5（设AB＝3x，BC＝4x，AC＝5x），
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠A＝40°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，注意：①如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，②三角形的内角和等于180°．
3．（3分）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
4．（3分）设m＝，则（ ）
A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
【分析】先估算出的范围，再求﹣1的范围，最后求的范围，即可解答．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴＜＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
5．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．（+）（﹣）＝3
C．＝+ D．＝×
【分析】直接利用二次根式混合运算法则结合二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意；
B．（+）（﹣）＝3，故此选项符合题意；
C.＝，故此选项不合题意；
D.＝×，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式混合运算以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
6．（3分）如图，数轴上点A所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据勾股定理，可得斜线的长，根据圆的性质，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得
斜线的为＝，
由圆的性质得：点A表示的数为﹣1+，即﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出斜线的长是解题关键．
7．（3分）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．
【解答】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，
∴7不是广义勾股数，故①结论正确；
②∵13＝22+32，
∴13是广义勾股数，故②结论正确；
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；
④设，，
则
＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）
＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，
ad＝bc或ac＝bd时，两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，
如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，
∴依次正确的是①②．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．
8．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b
【分析】根据＝|a|化简，然后去绝对值化简即可．
【解答】解：根据数轴知道﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+b﹣1+a﹣b
＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，掌握＝|a|是解题的关键．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（ ）
A．171 B．79 C．100 D．81
【分析】利用勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
连接BD，在直角△ABD和△BCD中，
BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S2＝125﹣46＝79，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
10．（3分）如图，△ABC是一张纸片，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，现将其折叠使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【分析】方法一：由折叠的性质得出AD＝BD，设AD＝x，则CD＝8﹣x，可得出62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝．再在直角三角形ADE中利用勾股定理即可得出答案．
方法二：直接利用勾股定理得出AB的长，再利用相似三角形的判定与性质得出DE的长．
【解答】解：方法一：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD＝BD，AE＝EB＝5，∠AED＝∠BED＝90°，
设AD＝x，则CD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，∵AC2+CD2＝AD2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝．
∴AD＝．
在Rt△ADE中，DE＝＝＝．
故选：A．
方法二：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵现将其折叠．使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AE＝BE＝5，
∵∠DEB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
即＝，
解得：DE＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出△BDE∽△BAC是解题关键．
二、填空题
11．（3分）计算的结果是 ．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，在解答此类题目时要先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
12．（3分）比较大小： ＜ ．
【分析】先估算出的值，再根据同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的数较大即可进行解答．
【解答】解：∵≈1.7，
∴﹣1＜1，
∴＜．
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是实数的大小比较及估算无理数的大小，解答此题时要熟知：同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的较大．
13．（3分）已知＝5.706，＝18.044，那么0.3256的平方根是 ±0.5706 ．
【分析】根据平方根的意义，被开方数的小数点每移动两位，其结果的小数点移动一位，据此计算即可．
【解答】解∵＝5.706，
∴0.3256的平方根是±0.5706；
故答案为：±0.5706．
【点评】本题主要考查了平方根与算术平方根，能根据小数点移动规律进行分析是解此题的关键．
14．（3分）若实数m、n满足|m﹣6|＝0，且m、n恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为 10或8 ．
【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，然后利用勾股定理解答；需要分类讨论：n直角边和斜边两种情况．
【解答】解：∵|m﹣6|＝0，且|m﹣6|≥0，≥0，
∴m＝6，n＝8．
①当m，n是直角边时，
∴直角三角形的斜边＝＝10，
②当m＝8是斜边时，斜边为8，
故答案为：10或8．
【点评】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，根据非负数的性质求得m、n的值是解题的突破口．
15．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC中AB边上的高为 2 ．
【分析】根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出AB，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形ABC面积，利用面积法求出AB边上的高即可．
【解答】解：如图，CD为AB边上的高，
∴AB＝＝2，
∵S△ABC＝9﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4，
∴CD＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
16．（3分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm．
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：＝15（cm），
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．
17．（3分）如图，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是 13 m．
【分析】设BC＝xm，根据题意用x表示出AC和OC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设BC＝xm，则AC＝xm，OC＝（25﹣x）m，
由勾股定理得，BC2＝OB2+OC2，
即x2＝52+（25﹣x）2，
解得x＝13．
答：机器人行走的路程BC是13m．
故答案为：13
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是 2 ．
【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接BE，
则BE就是PA+PE的最小值，
∵Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴CE＝2cm，
∴BE＝，
∴PA+PE的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】考查等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
三、主观题
19．（12分）计算
（1）
（2）
（3）
【分析】（1）化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）先算乘法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（3）用平方差，完全平方公式展开，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+2
＝+2；
（2）原式＝6﹣3﹣
＝；
（3）原式＝4﹣3+3﹣2+2
＝6﹣2．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
20．（6分）把下列各数填入相应的集合中
在，，0，3.14，﹣，﹣，，7.151551⋯（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中
整数集合{ 0， ……}；
分数集合{ ，3.14 ……}；
无理数集合{ ，﹣，，7.151551⋯（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”） ……}．
【分析】根据实数的分类进行判定即可得出答案．
【解答】解：整数集合{0，﹣……}；
分数集合{，3.14……}；
无理数集合{，﹣，，7.151551⋯（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）……}．
故答案为：0，﹣；
，3.14；
，﹣，，7.151551⋯（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）．
【点评】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行进行求解是解决本题的关键．
21．（6分）现有三块两直角边长分别为1和2的直角三角形纸板，借助下面5×5的网格，用全部纸板分别拼出3个面积为3且周长不同的四边形，并写出相应四边形的周长．
【分析】根据题意设计出不同形状的四边形进而利用勾股定理求出周长即可．
【解答】解；如图所示：
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确利用勾股定理得出是解题关键．
22．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，再△ADC中利用勾股定理逆定理得到∠CAD＝90°，进而求出∠A的度数．
【解答】解：
连接AC，∵AB＝BC＝2，且∠ABC＝90°，
∴且∠CAB＝45°，
又∵AD＝1，CD＝3，
∴AD2+AC2＝CD2
∴∠CAD＝90°，
∴∠A＝∠CAD+∠CAB＝135°．
【点评】本题考查了勾股定理和其逆定理的运用，解题的关键是连接AC，构造直角三角形．
23．（6分）晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：＝，
特例4： ＝5 （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ＝（n+1）（n为正整数） ．
（3）应用运算规律，化简：．
【分析】（1）利用前面三个特例中数与数的关系写出第四个特例；
（2）根据四个特例中数子的变换规律写出用正整数n表示的运算规律；
（3）根据（2）中规律得到原式＝2019×，然后根据二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：（1）答案为＝5；
（2）答案为＝（n+1）（n为正整数）；
（3）原式＝2019×
＝2019
＝2019．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．（9分）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形ABCD的长AD是个单位长度，长方形EFGH的长EH是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为．
（1）点H在数轴上表示的数是 13 ，点A在数轴上表示的数是 ﹣11 ；
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为x秒，问当x为多少时，原点O恰为线段MN的三等分点？
（3）若线段AD的中点为M，线段EH上有一点，长方形ABCD以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形EFGH保持不动，设运动时间为t秒，是否存在一个t的值，使以M，N，F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求t的值；不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据数轴上点的平移规律“左加右减”即可求得结论；（2）先根据题意求得点M、N在数轴上对应的数，再根据点M、N运动规律求得运动后所对应的数，点O为MN的三等分点要分两种情形：OM＝2ON或ON＝2OM进行讨论，分别列方程求解，要注意对结果要进行验证；（3）以M，N，F三点为顶点的三角形是直角三角形，∵∠FNM≠90°，只要分两种情形进行讨论：∠FMN＝90°或∠MFN＝90°，运用勾股定理即可构建方程求解．
【解答】解：（1）∵长方形EFGH的长EH是个单位长度，且点E在数轴上表示的数是，
∴点H在数轴上表示的数为5+＝13，
∵E，D两点之间的距离为，长方形ABCD的长AD是个单位长度，
∴点A在数轴上表示的数为5﹣12﹣4＝﹣11；
故答案为：13，﹣11；
（2）由题意知，线段AD的中点为M，则M表示的数为﹣9，线段EH上有一点N，且EN＝EH，则N表示的数为．
M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过x秒后，M点表示的数为，N点表示的数为，
即：OM＝，ON＝，
∵原点O恰为线段MN的三等分点，
∴OM＝2ON或2OM＝ON且点O在线段MN上，即M、N表示的数异号，
①当OM＝2ON时，则有，
解得或，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意．
②当2OM＝ON时，则有，
解得，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意；
综上所述，当或时，原点O恰为线段MN的三等分点．
（3）根据题意，因为M、N、F三点中点M的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况：
①当∠FMN＝90°时，点M与点E重合，此时4t＝14，
解得：t＝；
②当∠MFN＝90°时，
∵∠FEN＝90°，EF＝EN＝，
∴∠FNE＝45°，
∴∠EFM＝45°，
∵∠FEM＝90°，
∴∠FME＝45°＝∠EFM，
∴EM＝EF＝，
∴4t＝，
解得．
③如图，连接FN，
∵EFGH是长方形，
∴∠FEN＝90°，
∵EF＝EN＝，
∴∠FNM＝45°或135°，
∴∠FNM≠90°．
综上所述，存在这样的t，t的值为或．
【点评】本题主要考查了数轴，数形结合，绝对值方程和一元一次方程的应用，动点问题，勾股定理等知识点，第二问和第三问都要分类讨论，本题有较大难度，属于综合性较强的压轴题．
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