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2021-2022学年山西省阳泉市平定县四校联考八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年山西省阳泉市平定县四校联考八年级（上）期中数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山西省阳泉市平定县四校联考八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑。
1．（3分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）用三角尺可按如图方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
3．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，在图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部
④三角形的三个外角一定都是锐角．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
5．（3分）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′
6．（3分）如图，AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中全等三角形共有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
7．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
8．（3分）下列正多边形的地板瓷砖中，单独使用一种不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣1.5，3）
10．（3分）如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．则下列结论：
①△BEC≌△CDB；②△ABC是等腰三角形；③AE＝AD；④点O在∠BAC的平分线上，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如果一个多边形的内角和为1620°，那么这个多边形的一个顶点有 条对角线．
12．（3分）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ 度．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后得到四边形BCDE，则∠1+∠2＝ ．
14．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3＝ 度．
15．（3分）课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图所示），∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为 cm．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP．
17．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的中垂线，BE＝5，则求AC的长．
18．（8分）如图，已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°．
（1）根据要求用尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点D；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（2）在（1）的条件下，证明：△BDC是等腰三角形．
19．（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC＝2，求BE的长．
20．（9分）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作任一条直线AN，分别过点B，C作BD⊥AN于点D，CE⊥AN于点E，求证：DE＝BD﹣CE．
21．（10分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
22．（12分）如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
23．（13分）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1 S2（填“＞、＝、＜”）．
2021-2022学年山西省阳泉市平定县四校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑。
1．（3分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各个汉字进行判断即可得解．
【解答】解：A、“大”是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、“美”是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“国”不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）用三角尺可按如图方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．
【解答】解：在Rt△POM和Rt△PON中，
，
∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），
∴∠POM＝∠PON，
∴OP平分∠AOB，
故选：D．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，在图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】根据SSS证△ADB≌△ADC，根据等腰三角形的性质推出∠CAD＝∠BAD，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据勾股定理求出AE＝AF，根据SSS证△ADE≌△ADF，根据HL证△BDE≌△CDF．
【解答】解：有3对，是△ADB≌△ADC，△ADE≌△ADF，△BDE≌△CDF，
理由是：在△ADB和△ADC中
，
∴△ADB≌△ADC，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
由勾股定理得：AE＝AF，
在△AED和△AFD中
，
∴△AED△AFD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
故选：B．
4．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部
④三角形的三个外角一定都是锐角．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【分析】根据平行线的性质对①、②进行判断；
根据三角形高线的定义对③进行判断；
根据三角形外角定理对④进行判断．
【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以①错误；
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，所以②正确；
三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部，所以③正确；
三角形的三个外角最多只有一个锐角，所以④错误．
故选：B．
5．（3分）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、B、C选项正确，
AB∥B′C′不一定成立，故D选项错误，
所以，不一定正确的是D．
故选：D．
6．（3分）如图，AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中全等三角形共有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【分析】利用SAS确定出三角形BAD与三角形DCB全等，进而得到三角形AOB与三角形COD全等，三角形BAC与三角形DCA全等，即可得到结果．
【解答】解：在△BAD和△DCB中，
，
∴△BAD≌△DCB（SAS），
△AOB≌△COD；△BAC≌△DCA，
故选：C．
7．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【分析】根据折叠的性质及∠1＝50°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可得到∠AEF的度数．
【解答】解：根据折叠以及∠1＝50°，得
∠BFE＝∠BFG＝（180°﹣∠1）＝65°．
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．
故选：B．
8．（3分）下列正多边形的地板瓷砖中，单独使用一种不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
【解答】解：A、正三角形的每个内角是60°，6个能密铺；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能密铺；
D、正八边形的每个内角为180°﹣360°÷8＝135°，不能整除360°，不能密铺．
故选：D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣1.5，3）
【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则可证明△ACO≌△ODB，则可求得OD和BD的长，可求得B点坐标．
【解答】解：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，
∵A（3，2），
∴AC＝2，OC＝3，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴AO＝BO，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠DOB＝∠DOB+∠OBD＝90°，
∴∠AOC＝∠OBD，
在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OD＝AC＝2，BD＝OC＝3，
∴B（﹣2，3）．
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．则下列结论：
①△BEC≌△CDB；②△ABC是等腰三角形；③AE＝AD；④点O在∠BAC的平分线上，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据高的定义求出∠BEO＝∠CDO＝90°，根据全等三角形的判定定理得出△BEO≌△CDO，根据全等三角形的性质得出BE＝CD，∠EBO＝∠DCO，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BEC≌Rt△CDB，根据全等三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，根据等腰三角形的判定得出△ABC是等腰三角形，根据AB＝AC和BE＝CD求出AE＝AD，根据角平分线的性质得出O在∠BAC的角平分线上，再得出选项即可．
【解答】解：∵△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEO＝∠CDO＝90°，
在△BEO和△CDO中，
，
∴△BEO≌△CDO（AAS），
∴BE＝CD，∠EBO＝∠DCO，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），故①正确；
∴∠EBC＝∠DCB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故②正确；
∵AB＝AC，BE＝CD，
∴AB﹣BE＝AC﹣CD，
∴AE＝AD，故③正确；
∵△BEO≌△CDO，
∴OE＝OD，
∵CE和BD是△ABC的高，
∴CE⊥AB，BD⊥AC，
∴点O在∠BAC的角平分线上，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如果一个多边形的内角和为1620°，那么这个多边形的一个顶点有 8 条对角线．
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【解答】解：设此多边形的边数为x，由题意得：
（x﹣2）×180＝1620，
解得；x＝11，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：11﹣3＝8，
故答案为：8．
12．（3分）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ 30 度．
【分析】根据邻补角的定义得到∠EDC＝180°﹣135°＝45°，根据平行线的性质得到∠1＝∠ABC＝75°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠CDF＝135°，
∴∠EDC＝180°﹣135°＝45°，
∵AB∥EF，∠ABC＝75°，
∴∠1＝∠ABC＝75°，
∴∠BCD＝∠1﹣∠EDC＝75°﹣45°＝30°，
故答案为：30．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后得到四边形BCDE，则∠1+∠2＝ 260° ．
【分析】利用∠1、∠2是△ADE的外角，利用外角性质，可得∠1＝∠ADE+∠A，∠2＝∠AED+∠A，利用等式性质可求∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠1、∠2是△ADE的外角，
∴∠1＝∠ADE+∠A①，∠2＝∠AED+∠A②，
∴∠1+∠2＝∠ADE+∠A+∠AED+∠A，
又∵∠ADE+∠A+∠AED＝180°，
∴∠1+∠2＝180°+80°＝260°．
故答案为：260°．
14．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3＝ 135 度．
【分析】根据对称性可得∠1+∠3＝90°，∠2＝45°．
【解答】解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等，
∴∠1+∠3＝90°，
又∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°．
15．（3分）课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图所示），∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为 cm．
【分析】首先证明△ACD≌△CEB（AAS），进而利用勾股定理，在Rt△AFB中，AF2+BF2＝AB2，求出即可．
【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，
设砌墙砖块的厚度为xcm，则BE＝2xcm，则AD＝3xcm，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，
∵∠ECB+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ACD和△CEB中，
，
∴△ACD≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝5x，AF＝AD﹣BE＝x，
∴在Rt△AFB中，
AF2+BF2＝AB2，
∴25x2+x2＝400，
解得；x＝．
故答案为：．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP．
【分析】首先求出∠M＝∠PSQ，进而利用AAS证明△MNS≌△SQP．
【解答】解：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，
∴∠M+∠MSN＝∠MSN+∠PSQ，
∴∠M＝∠PSQ；
在△MNS与△SQP中，
，
∴△MNS≌△SQP（AAS）．
17．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的中垂线，BE＝5，则求AC的长．
【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到BE＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠EAB＝15°，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接AE，
∵DE是AB的中垂线，
∴BE＝AE，
∴∠B＝∠EAB＝15°，
∴∠AEC＝30°，
∵∠C＝90°，
∴AC＝AE＝BE＝2.5．
18．（8分）如图，已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°．
（1）根据要求用尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点D；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（2）在（1）的条件下，证明：△BDC是等腰三角形．
【分析】（1）首先以B为圆心，任意长为半径画弧，两弧交AB、BC于M、N两点；再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于一点O，画射线BO交AC于D．
（2）根据三角形内角和为180°计算出∠ABC，∠C，∠CDB，∠DBC的度数，再根据等角对等边可证出结论．
【解答】解：（1）如图所示：BD即为所求；
（2）∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝72°÷2＝36°，
∴∠CDB＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∵∠C＝∠CDB＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BDC都是等腰三角形．
19．（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC＝2，求BE的长．
【分析】已知了CD的长，求BE的长，可通过证明三角形BEC和ACD全等来得出．这两个三角形中已知的条件只有一组直角，根据∠ABC＝∠BAC＝45°，因此∠ACB＝90°，AC＝BC，我们发现∠DAC和∠BCE同为∠ACD的余角，因此∠DAC＝∠BCE，这样就构成了三角形ACD和BCE全等的条件，两三角形全等．这样就能求出BE、CD的关系就能得出BE的长．
【解答】解：∵∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴BE＝CD＝2．
20．（9分）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作任一条直线AN，分别过点B，C作BD⊥AN于点D，CE⊥AN于点E，求证：DE＝BD﹣CE．
【分析】先根据垂直的定义得到∠AEC＝∠BDA＝90°，再根据等角的余角相等得到∠ABD＝∠CAE，则可利用“AAS”判断△ABD≌△CAE，所以AD＝CE，BD＝AE，于是有BD﹣CE＝AE﹣AD＝DE．
【解答】证明：∵CE⊥AN，BD⊥AN，
∴∠AEC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝90°，即∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．
21．（10分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
【分析】（1）由OB＝OC，即可求得∠OBC＝∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；
（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF＝∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．
【解答】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°，
∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．
理由：连接AO，
在△AOB和△AOC中，
∴△AOB≌△AOC（SSS）．
∴∠BAO＝∠CAO，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
22．（12分）如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE即可得出答案；
（2）根据△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG，由∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上，得出∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
根据AC＝BC即可证明；
（3）由△ACG≌△BCH，∴CG＝CH，根据∠ACG＝60°即可证明；
【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC＝BC，EC＝DC
∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACD＝∠ECB
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CBH＝∠CAG
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
又∵AC＝BC
∴△ACG≌△BCH；
（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH
∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）
又∵∠ACG＝60°
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；
23．（13分）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ DE ，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1 ＝ S2（填“＞、＝、＜”）．
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等，即可得出结论；
（2）作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，由“K字”模型得△ABF≌△DAM，则EN＝DM，再证明△DMG≌△ENG（AAS），则DG＝EG，即可得出结论；
（3）由“K字”模型和（2）的结论以及三角形面积关系即可得出结论．
【解答】（1）解：∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴∠ACB＝∠DEA＝90°＝∠BAD，
∴∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS）
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案为：DE；
（2）证明：如图2，过D作DM⊥AF于M，过E作EN⊥AF于N，
由“K字”模型得：△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF＝DM，
同理：AF＝EN，
∴EN＝DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD＝∠GNE＝90°，
在△DMG与△ENG中，
，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，
即点G是DE的中点；
（3）解：如图3，过D作PQ⊥CE于P，交AF于Q，过A作AM⊥PQ于M，过F作FN⊥PQ于N，
∵四边形ABCD和四边形DEGF为正方形，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，
由“K字”模型得：△ADM≌△DCP（AAS），△DFN≌△EDP（AAS），
∴S△ADM＝S△DCP，S△DFN＝S△EDP，
由（2）得：△AMQ≌△FNQ（AAS），
∴S△AMQ＝S△FNQ，
∴S△ADQ+S△FNQ+S△DFN＝S△ADQ+S△AMQ+S△DFN＝S△ADM+S△DFN＝S△DCP+S△EDP，
即S1＝S2，
故答案为：＝．
2021-2022学年山西省阳泉市平定县四校联考八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑。
1．（3分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）用三角尺可按如图方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
3．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，在图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部
④三角形的三个外角一定都是锐角．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
5．（3分）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′
6．（3分）如图，AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中全等三角形共有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
7．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
8．（3分）下列正多边形的地板瓷砖中，单独使用一种不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣1.5，3）
10．（3分）如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．则下列结论：
①△BEC≌△CDB；②△ABC是等腰三角形；③AE＝AD；④点O在∠BAC的平分线上，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如果一个多边形的内角和为1620°，那么这个多边形的一个顶点有 条对角线．
12．（3分）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ 度．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后得到四边形BCDE，则∠1+∠2＝ ．
14．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3＝ 度．
15．（3分）课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图所示），∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为 cm．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP．
17．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的中垂线，BE＝5，则求AC的长．
18．（8分）如图，已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°．
（1）根据要求用尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点D；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（2）在（1）的条件下，证明：△BDC是等腰三角形．
19．（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC＝2，求BE的长．
20．（9分）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作任一条直线AN，分别过点B，C作BD⊥AN于点D，CE⊥AN于点E，求证：DE＝BD﹣CE．
21．（10分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
22．（12分）如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
23．（13分）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1 S2（填“＞、＝、＜”）．
2021-2022学年山西省阳泉市平定县四校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑。
1．（3分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各个汉字进行判断即可得解．
【解答】解：A、“大”是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、“美”是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“国”不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）用三角尺可按如图方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．
【解答】解：在Rt△POM和Rt△PON中，
，
∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），
∴∠POM＝∠PON，
∴OP平分∠AOB，
故选：D．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，在图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】根据SSS证△ADB≌△ADC，根据等腰三角形的性质推出∠CAD＝∠BAD，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据勾股定理求出AE＝AF，根据SSS证△ADE≌△ADF，根据HL证△BDE≌△CDF．
【解答】解：有3对，是△ADB≌△ADC，△ADE≌△ADF，△BDE≌△CDF，
理由是：在△ADB和△ADC中
，
∴△ADB≌△ADC，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
由勾股定理得：AE＝AF，
在△AED和△AFD中
，
∴△AED△AFD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
故选：B．
4．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部
④三角形的三个外角一定都是锐角．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【分析】根据平行线的性质对①、②进行判断；
根据三角形高线的定义对③进行判断；
根据三角形外角定理对④进行判断．
【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以①错误；
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，所以②正确；
三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部，所以③正确；
三角形的三个外角最多只有一个锐角，所以④错误．
故选：B．
5．（3分）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、B、C选项正确，
AB∥B′C′不一定成立，故D选项错误，
所以，不一定正确的是D．
故选：D．
6．（3分）如图，AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中全等三角形共有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【分析】利用SAS确定出三角形BAD与三角形DCB全等，进而得到三角形AOB与三角形COD全等，三角形BAC与三角形DCA全等，即可得到结果．
【解答】解：在△BAD和△DCB中，
，
∴△BAD≌△DCB（SAS），
△AOB≌△COD；△BAC≌△DCA，
故选：C．
7．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【分析】根据折叠的性质及∠1＝50°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可得到∠AEF的度数．
【解答】解：根据折叠以及∠1＝50°，得
∠BFE＝∠BFG＝（180°﹣∠1）＝65°．
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．
故选：B．
8．（3分）下列正多边形的地板瓷砖中，单独使用一种不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
【解答】解：A、正三角形的每个内角是60°，6个能密铺；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能密铺；
D、正八边形的每个内角为180°﹣360°÷8＝135°，不能整除360°，不能密铺．
故选：D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣1.5，3）
【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则可证明△ACO≌△ODB，则可求得OD和BD的长，可求得B点坐标．
【解答】解：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，
∵A（3，2），
∴AC＝2，OC＝3，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴AO＝BO，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠DOB＝∠DOB+∠OBD＝90°，
∴∠AOC＝∠OBD，
在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OD＝AC＝2，BD＝OC＝3，
∴B（﹣2，3）．
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．则下列结论：
①△BEC≌△CDB；②△ABC是等腰三角形；③AE＝AD；④点O在∠BAC的平分线上，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据高的定义求出∠BEO＝∠CDO＝90°，根据全等三角形的判定定理得出△BEO≌△CDO，根据全等三角形的性质得出BE＝CD，∠EBO＝∠DCO，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BEC≌Rt△CDB，根据全等三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，根据等腰三角形的判定得出△ABC是等腰三角形，根据AB＝AC和BE＝CD求出AE＝AD，根据角平分线的性质得出O在∠BAC的角平分线上，再得出选项即可．
【解答】解：∵△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEO＝∠CDO＝90°，
在△BEO和△CDO中，
，
∴△BEO≌△CDO（AAS），
∴BE＝CD，∠EBO＝∠DCO，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），故①正确；
∴∠EBC＝∠DCB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故②正确；
∵AB＝AC，BE＝CD，
∴AB﹣BE＝AC﹣CD，
∴AE＝AD，故③正确；
∵△BEO≌△CDO，
∴OE＝OD，
∵CE和BD是△ABC的高，
∴CE⊥AB，BD⊥AC，
∴点O在∠BAC的角平分线上，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如果一个多边形的内角和为1620°，那么这个多边形的一个顶点有 8 条对角线．
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【解答】解：设此多边形的边数为x，由题意得：
（x﹣2）×180＝1620，
解得；x＝11，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：11﹣3＝8，
故答案为：8．
12．（3分）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ 30 度．
【分析】根据邻补角的定义得到∠EDC＝180°﹣135°＝45°，根据平行线的性质得到∠1＝∠ABC＝75°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠CDF＝135°，
∴∠EDC＝180°﹣135°＝45°，
∵AB∥EF，∠ABC＝75°，
∴∠1＝∠ABC＝75°，
∴∠BCD＝∠1﹣∠EDC＝75°﹣45°＝30°，
故答案为：30．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后得到四边形BCDE，则∠1+∠2＝ 260° ．
【分析】利用∠1、∠2是△ADE的外角，利用外角性质，可得∠1＝∠ADE+∠A，∠2＝∠AED+∠A，利用等式性质可求∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠1、∠2是△ADE的外角，
∴∠1＝∠ADE+∠A①，∠2＝∠AED+∠A②，
∴∠1+∠2＝∠ADE+∠A+∠AED+∠A，
又∵∠ADE+∠A+∠AED＝180°，
∴∠1+∠2＝180°+80°＝260°．
故答案为：260°．
14．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3＝ 135 度．
【分析】根据对称性可得∠1+∠3＝90°，∠2＝45°．
【解答】解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等，
∴∠1+∠3＝90°，
又∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°．
15．（3分）课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图所示），∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为 cm．
【分析】首先证明△ACD≌△CEB（AAS），进而利用勾股定理，在Rt△AFB中，AF2+BF2＝AB2，求出即可．
【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，
设砌墙砖块的厚度为xcm，则BE＝2xcm，则AD＝3xcm，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，
∵∠ECB+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ACD和△CEB中，
，
∴△ACD≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝5x，AF＝AD﹣BE＝x，
∴在Rt△AFB中，
AF2+BF2＝AB2，
∴25x2+x2＝400，
解得；x＝．
故答案为：．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP．
【分析】首先求出∠M＝∠PSQ，进而利用AAS证明△MNS≌△SQP．
【解答】解：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，
∴∠M+∠MSN＝∠MSN+∠PSQ，
∴∠M＝∠PSQ；
在△MNS与△SQP中，
，
∴△MNS≌△SQP（AAS）．
17．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的中垂线，BE＝5，则求AC的长．
【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到BE＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠EAB＝15°，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接AE，
∵DE是AB的中垂线，
∴BE＝AE，
∴∠B＝∠EAB＝15°，
∴∠AEC＝30°，
∵∠C＝90°，
∴AC＝AE＝BE＝2.5．
18．（8分）如图，已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°．
（1）根据要求用尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点D；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（2）在（1）的条件下，证明：△BDC是等腰三角形．
【分析】（1）首先以B为圆心，任意长为半径画弧，两弧交AB、BC于M、N两点；再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于一点O，画射线BO交AC于D．
（2）根据三角形内角和为180°计算出∠ABC，∠C，∠CDB，∠DBC的度数，再根据等角对等边可证出结论．
【解答】解：（1）如图所示：BD即为所求；
（2）∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝72°÷2＝36°，
∴∠CDB＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∵∠C＝∠CDB＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BDC都是等腰三角形．
19．（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC＝2，求BE的长．
【分析】已知了CD的长，求BE的长，可通过证明三角形BEC和ACD全等来得出．这两个三角形中已知的条件只有一组直角，根据∠ABC＝∠BAC＝45°，因此∠ACB＝90°，AC＝BC，我们发现∠DAC和∠BCE同为∠ACD的余角，因此∠DAC＝∠BCE，这样就构成了三角形ACD和BCE全等的条件，两三角形全等．这样就能求出BE、CD的关系就能得出BE的长．
【解答】解：∵∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴BE＝CD＝2．
20．（9分）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作任一条直线AN，分别过点B，C作BD⊥AN于点D，CE⊥AN于点E，求证：DE＝BD﹣CE．
【分析】先根据垂直的定义得到∠AEC＝∠BDA＝90°，再根据等角的余角相等得到∠ABD＝∠CAE，则可利用“AAS”判断△ABD≌△CAE，所以AD＝CE，BD＝AE，于是有BD﹣CE＝AE﹣AD＝DE．
【解答】证明：∵CE⊥AN，BD⊥AN，
∴∠AEC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝90°，即∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．
21．（10分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
【分析】（1）由OB＝OC，即可求得∠OBC＝∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；
（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF＝∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．
【解答】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°，
∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．
理由：连接AO，
在△AOB和△AOC中，
∴△AOB≌△AOC（SSS）．
∴∠BAO＝∠CAO，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
22．（12分）如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE即可得出答案；
（2）根据△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG，由∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上，得出∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
根据AC＝BC即可证明；
（3）由△ACG≌△BCH，∴CG＝CH，根据∠ACG＝60°即可证明；
【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC＝BC，EC＝DC
∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACD＝∠ECB
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CBH＝∠CAG
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
又∵AC＝BC
∴△ACG≌△BCH；
（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH
∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）
又∵∠ACG＝60°
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；
23．（13分）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ DE ，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1 ＝ S2（填“＞、＝、＜”）．
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等，即可得出结论；
（2）作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，由“K字”模型得△ABF≌△DAM，则EN＝DM，再证明△DMG≌△ENG（AAS），则DG＝EG，即可得出结论；
（3）由“K字”模型和（2）的结论以及三角形面积关系即可得出结论．
【解答】（1）解：∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴∠ACB＝∠DEA＝90°＝∠BAD，
∴∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS）
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案为：DE；
（2）证明：如图2，过D作DM⊥AF于M，过E作EN⊥AF于N，
由“K字”模型得：△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF＝DM，
同理：AF＝EN，
∴EN＝DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD＝∠GNE＝90°，
在△DMG与△ENG中，
，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，
即点G是DE的中点；
（3）解：如图3，过D作PQ⊥CE于P，交AF于Q，过A作AM⊥PQ于M，过F作FN⊥PQ于N，
∵四边形ABCD和四边形DEGF为正方形，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，
由“K字”模型得：△ADM≌△DCP（AAS），△DFN≌△EDP（AAS），
∴S△ADM＝S△DCP，S△DFN＝S△EDP，
由（2）得：△AMQ≌△FNQ（AAS），
∴S△AMQ＝S△FNQ，
∴S△ADQ+S△FNQ+S△DFN＝S△ADQ+S△AMQ+S△DFN＝S△ADM+S△DFN＝S△DCP+S△EDP，
即S1＝S2，
故答案为：＝．
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