2021-2022学年内蒙古自治区乌兰察布市高二上学期期末考试数学（文）试题含答案

乌兰察布市2021-2022学年高二上学期期末考试

文数试题

本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

2．已知命题：，，则：（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

3．抛物线的准线方程为（    ）

A．    B．    C．   D．

4．已知双曲线，则该双曲线的实轴长为（    ）

A．1    B．2    C．    D．

5．曲线在处的切线方程为（    ）

A．  B． C．   D．

6．已知命题：；：若，则．下列判断正确的是（    ）

A．为真，为真，为假  B．为真，为假，为真

C．为假，为假，为假  D．为真，为假，为假

7．函数的最大值为（    ）

A．16    B．27    C．32    D．40

8．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A．    B．    C．   D．

9．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被圆截得的弦长为，则的离心率为（    ）

A．    B．     C．2    D．

10．关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．   C．  D．

11．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，点为上不在坐标轴上的任意一点，且，，，四条直线的斜率之积大于，则的离心率的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

12．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（    ）

A．   B．   C．   D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若：存在，使是真命题，则实数的取值范围是______．

14．若曲线在点处的切线斜率为2，则______．

15．已知点是双曲线右支上的一点，且以点及焦点，为定点的三角形的面积为4，则点的坐标是______．

16．已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是______．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）

已知函数，若的图像在点处的切线斜率为．

（1）求，的值；

（2）求的极值．

19．（12分）已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题：关于的方程无实根．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围．

20．（12分）

已知抛物线的焦点在直线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线经过点，且与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程．

21．（12分）已知椭圆的短轴长是2，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知，若直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，是否存在常数，使得恒成立，并说明理由．

22．（12分）已知函数，，其中．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，证明：．

参考答案

一、选择题

1．B2．C3．D

4．B5．C6．D7．C8．B

9．A10．A11．C

12．B

二、填空题

13．

14．1

15．

16．

三、解答题

17．解：（1）由题意得当时，，可得集合，（2分）

由得或，所以，（4分）

故．（5分）

（2）的解集为，

又因为，所以．（8分）

又“”是“”的充分不必要条件，所以，

所以（两等号不同时成立），解得，

故实数的取值范围是．（10分）

18．解：（1），，（2分）

（6分）

（2）由（1）得，，

令，得，，（9分）

或，，

所以的极大值为，极小值为．（12分）

19．解：（1）因为方程表示焦点在轴上的双曲线，所以，解得．（4分）

（2）若为真命题，则，解得，（6分）

因为为假命题，为真命题，所以，一真一假．（8分）

当真假时，则；（9分）

当假真时，解得．（10分）

综上所述，实数的取值范围是．（12分）

20．解：（1）抛物线的焦点在轴上，且开口向上，

直线与轴的交点为，则，

所以，，故抛物线的方程为．（4分）

（2）当直线的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点，成立．（6分）

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立，

，

即，解得或，（10分）

所以直线的方程为或．

综上所述，的方程为或或．（12分）

21．解：（1）因为椭圆的短轴长是2，

所以，而离心率，解得，

所以椭圆的方程为．（4分）

（2）存在常数，使得恒成立．

联立消去并整理得，（6分）

设，，则，，

又，，

，（10分）

则有，而线段的中点为，

于是得，并且有，

所以存在常数，使恒成立．（12分）

22．（1）解：的定义域为，

因为．（2分）

当时，，在上单调递增；（3分）

当时，令，解得；令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增．（5分）

综上所述，当时，在上单调递增，无单调递减区间；

当时，在上单调递减，在上单调递增．（6分）

（2）证明：因为，所以，即证．

因为，所以即证，

当时，，，，所以．（8分）

当时，令，则，

令，则，

所以在上单调递增，所以，（10分）

所以在上单调递增，所以．

综上所述，，即．（12分）